综合法求二面角解析.docx
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综合法求二面角解析
综合法求二面角
方法:
1.在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,把菱形沿对角线AC折起,使折起后BD=,则二面角B-AC-D的余弦值为( )
2.如图所示,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.
(1)证明:
平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A—BE—P的大小.
(1)证明 如图所示,连接BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,
△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.
又AB∥CD,所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD,
BE⊂平面ABCD,
所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,
因此BE⊥平面PAB.
又BE⊂平面PBE,
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解 由
(1)知,BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,
所以PB⊥BE.又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角.
在Rt△PAB中,tan∠PBA==,则∠PBA=60°.
故二面角A—BE—P的大小是60°.
3.如图,在三棱锥P—ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC.
(1)求证:
BC⊥平面PAC.
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角并说明理由.
(1)证明 ∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.又∠BCA=90°,∴AC⊥BC.
又∵AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC.
(2)解 ∵DE∥BC,又由
(1)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC.
又∵AE⊂平面PAC,PE⊂平面PAC,
∴DE⊥AE,DE⊥PE.
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角.
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,
∴∠PAC=90°.
∴在棱PC上存在一点E,
使得AE⊥PC.这时∠AEP=90°,
故存在点E,使得二面角A—DE—P为直二面角.
4.如图所示,三棱锥P—ABC中,D是AC的中点,PA=PB=PC=,AC=2,AB=,BC=.
(1)求证:
PD⊥平面ABC;
(2)求二面角P—AB—C的正切值.
(1)证明 连接BD,
∵D是AC的中点,PA=PC=,
∴PD⊥AC.
∵AC=2,AB=,BC=,
∴AB2+BC2=AC2.
∴∠ABC=90°,即AB⊥BC.
∴BD=AC==AD.
∵PD2=PA2-AD2=3,PB=,
∴PD2+BD2=PB2.∴PD⊥BD.
∵AC∩BD=D,∴PD⊥平面ABC.
(2)解 取AB的中点E,连接DE、PE,由E为AB的中点知DE∥BC,
∵AB⊥BC,∴AB⊥DE.
∵PD⊥平面ABC,∴PD⊥AB.
又AB⊥DE,DE∩PD=D,∴AB⊥平面PDE,∴PE⊥AB.
∴∠PED是二面角P—AB—C的平面角.
在△PED中,DE=BC=,PD=,∠PDE=90°,
∴tan∠PED==.
∴二面角P—AB—C的正切值为.
5.如图所示,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面
ABCD,底面边长为a,E是PC的中点.
(1)求证:
PA∥面BDE;
(2)求证:
平面PAC⊥平面BDE;
(3)若二面角E-BD-C为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.
.
(1)证明 连接OE,如图所示.
∵O、E分别为AC、PC的中点,∴OE∥PA.
∵OE⊂面BDE,PA⊄面BDE,
∴PA∥面BDE.
(2)证明 ∵PO⊥面ABCD,∴PO⊥BD.
在正方形ABCD中,BD⊥AC,
又∵PO∩AC=O,
∴BD⊥面PAC.
又∵BD⊂面BDE,
∴面PAC⊥面BDE.
(3)解 取OC中点F,连接EF.
∵E为PC中点,
∴EF为△POC的中位线,∴EF∥PO.
又∵PO⊥面ABCD,∴EF⊥面ABCD.
∵OF⊥BD,∴OE⊥BD.
∴∠EOF为二面角E-BD-C的平面角,∴∠EOF=30°.
在Rt△OEF中,OF=OC=AC=a,∴EF=OF·tan30°=a,
∴OP=2EF=a.
∴VP-ABCD=×a2×a=a3.
6.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1,D是棱AA1
的中点,DC1⊥BD.
(1)证明:
DC1⊥BC;
(2)求二面角A1-BD-C1的大小.
(1)证明 由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于D为AA1的中点,故DC=DC1.
又AC=AA1,可得DC+DC2=CC,所以DC1⊥DC.而DC1⊥BD,CD∩BD=D,所以DC1⊥平面BCD.
因为BC⊂平面BCD,所以DC1⊥BC.
(2)解 DC1⊥BC,CC1⊥BC⇒BC⊥平面ACC1A1⇒BC⊥AC,取A1B1的中点O,过点O作OH⊥BD于点H,连接C1O,C1H,A1C1=B1C1⇒C1O⊥A1B1,面A1B1C1⊥面A1BD⇒C1O⊥面A1BD,又∵DB⊂面A1DB,∴C1O⊥BD,又∵OH⊥BD,∴BD⊥面C1OH,C1H⊂面C1OH,∴BD⊥C1H,得点H与点D重合,且∠C1DO是二面角A1-BD-C的平面角,设AC=a,则C1O=a,C1D=a=2C1O⇒∠C1DO=30°,故二面角A1-BD-C1的大小为30°.
7.(2010江西理数)如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,。
(1)求点A到平面MBC的距离;
(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。
【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识,同时也考查了空间想象能力和推理能力
解法一:
(1)取CD中点O,连OB,OM,则OB⊥CD,
OM⊥CD.又平面平面,则MO⊥平面,所以MO∥AB,A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E,则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=,MO∥AB,MO由
(1)知,O是BE的中点,则BCED是菱形.
作BF⊥EC于F,连AF,则AF⊥EC,∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角,设为.
因为∠BCE=120°,所以∠BCF=60°.
,
,
所以,所求二面角的正弦值是.
8.(广东10)18.(本小题满分14分)
如图5,是半径为a的半圆,AC为直径,点E为的中点,点B和点C为线段AD的三等分点.平面AEC外一点F满足,FE=a.
(1)证明:
EB⊥FD;
(2)已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点,使得,求平面与平面所成二面角的正弦值.
(2)设平面与平面RQD的交线为.
由BQ=FE,FR=FB知,.
而平面,∴平面,
而平面平面=,
∴.
由
(1)知,平面,∴平面,
而平面,平面,
∴,
∴是平面与平面所成二面角的平面角.
在中,,
,.
.
故平面与平面所成二面角的正弦值是.
9.(11新课标)18.(本小题满分12分)如图,四棱锥中,底面为平行四边形,=,=,⊥底面.
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)若=,求二面角的余弦值.
【命题意图】本题考查了线面、线线垂直的判定与性质、利用向量法求二面角的方法,是容易题目.
【解析】(Ⅰ)∵=,=,由余弦定理得=,
∴=,∴⊥,
又∵⊥面,∴⊥,∴⊥面,∴
(Ⅱ)如图,以为坐标原点,的长为单位长,射线为轴正半轴建立空间直角坐标系,则(1,0,0),(0,,0),(0,0,1),
=(-1,,0),=(0,,-1),=(-1,0,0).
设平面的法向量为=(,,),则,
即,取=1,则=,=,
∴=(,1,),
设平面的法向量为=(,,),则,即,取=-1,则=0,=-,∴=(0,-1,-),==,
故二面角的余弦值为.
注意:
本题可以把二面角转化为两个二面角的和即二面角与直二面角的和,而二面角用综合法易求。
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- 综合法 二面角 解析