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本章教学时间约需19课时,具体安排如下:
1.1正数和负数约2课时
1.2有理数约4课时
1.3有理数的加减法约4课时
1.4有理数的乘除法约4课时
1.5有理数的乘方约3课时
数学活动
小结约2课时
一、教科书内容和课程学习目标
引入负数是实际的需要,也是学习第三学段数学内容,特别是数与代数内容的需要。
引进数轴可以把有理数用数轴上的一个点直观地表示出来,从而可以直观地介绍相反数、绝对值,同时为用数轴引进有理数的加法法则与乘法法则作准备。
引入相反数的概念,一方面,可以加深对相反意义的量的认识,另一方面,可以为学习绝对值、有理数减法等作准备。
引入绝对值的的概念,可以加深对有理数的认识:
一个有理数由符号与绝对值确定。
两个负数比较大小,有理数运算也要借助绝对值这个概念。
本章的重点是有理数的运算。
加法与乘法都是在介绍运算法则——着重是符号法则的基础上,进行基本运算,然后结合具体例子引入运算律,并运用运算律简化运算。
减法与除法,则是着重介绍如何向加法与乘法转化,从而利用加法与乘法的运算法则、运算律进行运算。
乘方是几个相同因数的乘积,也就可以利用乘法运算。
科学记数法与乘方有关,因而可进一步加以介绍。
近似数在实际问题中有广泛的应用,有必要在本章作进一步的认识。
利用计算器计算分两次安排,一次在加减乘除运算之后,一次在乘方运算之后。
学会了使用计算器进行有理数运算,较复杂的计算就可以用计算器完成。
简单的有理数运算仍需要学生熟练地用笔算完成。
本章的教学要求如下:
1.通过实际例子,感受引入负数的必要性。
会用正负数表示实际问题中的数量。
2.理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数。
借助数轴理解相反数和绝对值的意义,会求有理数的相反数与绝对值(绝对值符号内不含字母),会比较有理数的大小。
通过上述内容的学习,体会从数与形两方面考虑问题的方法。
3.掌握有理数的加、减、乘、除运算,理解有理数的运算律,并能运用运算律简化运算。
能运用有理数的运算解决简单的问题。
4.理解乘方的意义,会进行乘方的运算及简单的混合运算(以三步为主)。
5.通过实例进一步感受大数,并能用科学记数法表示。
了解近似数与有效数字的概念。
“第二章 整式的加减”简介(新)
本章“整式的加减”属于代数学,是《数学课程标准》中“数与代数”领域的重要内容.从《数学课程标准》看,关于式的内容主要研究整式、分式和二次根式等内容。
关于整式,主要研究整式的加、减、乘、除运算,对于整式的这四种运算,本套教科书分为两章安排,本章是整式运算的第一章,主要研究整式的加减运算,关于整式的乘除运算,安排在八年级上册的“第15章整式的乘除及因式分解”一章中。
课时安排:
本章教学时间约需8课时,具体分配如下(仅供参考):
2.1整式约2课时
2.2整式的加减约4课时
数学活动
本章知识结构框图:
通过本章学习,应使学生达到以下学习目标:
1.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念,弄清它们之间的区别与联系。
2.理解同类项概念,掌握合并同类项的方法,掌握去括号时符号的变化规律,能正确地进行同类项的合并和去括号。
在准确判断、正确合并同类项的基础上,进行整式的加减运算。
3.理解整式中的字母表示数,整式的加减运算建立在数的运算基础上;
理解合并同类项、去括号的依据是分配律;
理解数的运算律和运算性质在整式的加减运算中仍然成立。
4.能够分析实际问题中的数量关系,并用还有字母的式子表示出来。
一、内容安排
本章的主要内容是单项式、多项式、整式的概念,合并同类项、去括号以及整式加减运算等。
本章内容属于《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中的“数与代数”领域,本章内容的编写是在学生已有的用字母表示数以及有理数运算的基础上展开的。
整式的加减运算是学习下一章“一元一次方程”的直接基础,也是以后学习分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础,同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具。
全章包括两节内容。
这两节内容都是由章前引言中的问题引出的。
在章前引言中,教科书以2006年正式通车的青藏铁路为背景,根据路程、速度和时间的关系设计了几个问题,解决这些问题要用到用字母表示数、用式子表示数量关系以及对式子进行化简等,为引出单项式、合并同类项及去括号等概念和法则提供实际背景,使学生感到学习这些概念和运算是实际的需要。
第2.1节“整式”主要介绍单项式、多项式、整式及其相关概念。
这些概念是结合实际问题给出的。
在引出这些概念的过程中,教科书充分重视与实际问题的联系,在实际情景中抽象出数学概念。
本节开始,教科书从章前引言中的问题
(1)入手,在速度已知的前提下,利用公式“路程=速度
时间”,首先计算当时间是具体数字时火车所行驶的路程,然后逐步过渡到当时间用字母表示时火车所行驶的路程,这个路程可以用含有字母的式子表示出来。
教科书的这种设计,一方面让学生在回顾复习小学所学的用字母表示数的同时,感受到式子中的字母表示数,含有字母的式子可以表示实际问题中的数量关系,式子更具有一般性等;
另一方面,由于列出的这个式子是一个单项式,从而为后面引出单项式的概念做必要的铺垫。
接下去,教科书设置一个“思考”栏目,要求以填空的方式写出几个实际问题的答案,这些答案都是用含有字母的式子来表示实际问题中的数量关系,所列出的式子都是单项式。
这样,教科书就结合实际问题引出了对单项式概念的讨论,通过分析所列出的这些式子的共同特点给出单项式的概念、单项式的系数和次数的概念等。
为了进一步巩固概念,教科书设计一个例题,例题中包括五个实际问题,要求用单项式解决问题。
通过这个例题,在巩固单项式概念的同时,也让学生进一步熟悉分析实际问题中的数量关系,并用单项式表示出来,为学习下一章列方程打基础。
有了单项式的概念,教科书在此基础上开始研究多项式的概念。
对于多项式概念的引入,教科书采用的方式与单项式概念的引入基本相同。
首先设置一个“思考”栏目,栏目中包括四个实际问题,解决这些实际问题,需要分析问题中的数量关系,并用含有字母的式子表示这些关系。
由于所列出的式子都是多项式,通过分析这些式子的共同特点,教科书给出了多项式的概念,以及多项式的项数和次数的概念等。
为了进一步熟悉多项式的概念,类似于单项式,教科书也给出一个例题,例题中有四个实际问题,要求用多项式表示问题中的数量关系,从而得到实际问题答案。
对于多项式的概念,教科书紧密结合实际问题展开,并充分注意对列式表示数量关系的训练,这样就可以做到在引出和巩固多项式概念的同时,进一步培养学生分析实际问题中的数量关系并列式表示数量关系的能力,为下一章学习列方程打基础。
第2.2节“整式的加减”是在学习合并同类项和去括号的基础上,研究整式加减的运算法则。
本节内容的编写充分重视了“数式通性”,是在有理数运算的基础上,通过类比来研究整式的加减运算法则。
本节开始首先研究了同类项的概念和合并同类项的方法。
教科书从章前引言中的问题
(2)出发,通过分析这个实际问题中的数量关系,列出式子
,化简这个式子需要合并同类项,这样教科书就通过实际问题引出了对合并同类项内容的讨论。
接下去,教科书设置“探究”栏目,栏目中包括两个问题,第一个问题是关于有理数的运算,实际上是在式子
中,当t取2和-2时的算式,计算这两个算式可以利用分配律,这为解决问题
(2)提供方法上的引导。
问题
(2)要求根据问题
(1)中的方法化简式子
,由于这个式子中的字母t表示数,问题
(1)和问题
(2)中的式子有相同的结构,这样,教科书通过分析算式与含有字母的式子的结构,通过与数的运算进行对比,引出了合并同类项的方法,即利用分配律合并同类项。
至此,教科书对同类项的讨论只涉及到一次的情形,重点引出了合并同类项的依据,为更一般的同类项的合并提供方法上指导。
对于一般的同类项的合并,教科书设置了一个“探究”栏目,要求类比前面所研究关于式子
的化简,讨论更一般的同类项(例如多项式中的项的次数高于1,字母不止一个等)的合并,并结合这个“探究”栏目,讨论了同类项的特点,给出同类项的概念。
之后,教科书采用与数进行类比的方式,讨论了利用数的运算律(如交换律、结合律、分配律等)将多项式中的同类项进行合并,进一步体现了“数式通性”。
与合并同类项一样,去括号也是是整式加减的基础,教科书在充分讨论合并同类项之后,研究去括号的内容。
教科书从章前引言的问题(3)出发,利用速度、时间和路程的关系,在已知速度和时间的前提下,列出表示路程的式子
,这两个式子都带有括号,化简它们首先需要去括号,这样教科书就结合一个实际例子引出了对去括号的探讨。
类比着数的运算,分析去括号前后各项符号的变化情况,就可以得到去括号的符号变化规律。
研究了合并同类项和去括号的内容,就可以学习整式的加减运算法则。
接下去,教科书通过几个具体例子,利用合并同类项和去括号的法则,归纳得出了整式加减运算的法则。
“第三章一元一次方程”简介(新)
一、教科书内容和课程学习目标
1.教科书内容
本章继第一章“有理数”和第二章“整式及其加减”之后,属于《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中的“数与代数”领域。
人们对方程的研究有悠久的历史,方程是重要的数学基本概念,它随着实践需要而产生,并且具有极其广泛的应用。
从数学科学本身看,方程是代数学的核心内容,正是对于它的研究推动了整个代数学的发展。
从代数中关于方程的分类看,一元一次方程是最简单的代数方程,也是所有代数方程的基础。
本章主要内容包括:
一元一次方程及其相关概念,一元一次方程的解法,利用一元一次方程分析与解决实际问题。
其中,以方程为工具分析问题、解决问题,即根据问题中的等量关系建立方程模型是全章的重点,同时也是难点。
分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系,是始终贯穿于全章的主线,而对一元一次方程的有关概念和解法的讨论,是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的。
列方程中蕴涵的“数学建模思想”和解方程中蕴涵的“化归思想”,是本章始终渗透的主要数学思想。
讨论一元一次方程的解法时,会直接应用“合并同类项”“去括号”等法则,而有理数运算和整式加减运算是解一元一次方程的基础知识。
全章共包括四节:
3.1从算式到方程
这一节分为两个小节.
3.1.1一元一次方程
在小学阶段,数学课中用算术方法解应用题是重要内容,此外还有关于最简单的方程的内容.本小节先通过一个具体行程问题,引导学生尝试如何用算术方法解决它,然后再一步一步引导学生列出含未知数的式子表示有关的量,并进一步依据相等关系列出含未知数的等式——方程.这样安排目的在于突出方程的根本特征,引出方程的定义,并使学生认识到方程是更方便、更有力的数学工具,从算术方法到代数方法是数学的进步.
算式表示用算术方法进行计算的程序,列算式是依据问题中的数量关系,算式中只能含已知数而不能含未知数.列方程也是依据问题中的数量关系(特别是相等关系),它打破了列算式时只能用已知数的限制,方程中可以根据需要含有相关的已知数和未知数,未知数进入式子是新的突破.正因如此,一般地说列方程要比列算式考虑起来更直接、更自然,因而有更多优越性.
本小节中引出了方程、一元一次方程、方程的解等基本概念,并且对于“根据实际问题中的数量关系,设未知数,列出一元一次方程”的分析问题过程进行了归纳.
3.1.2等式的性质
方程是含未知数的等式,为适合初中学生学习,本章不涉及方程的同解理论,而以等式的性质作为解方程的根据.本小节通过观察、归纳引出等式的两条性质,并直接利用它们讨论一些较简单的一元一次方程的解法.这将为后面几节进一步讨论较复杂的一元一次方程的解法准备理论依据.
3.2一元一次方程的讨论
(一)———合并同类项与移项
本节仍然结合一些实际问题展开,重点讨论两方面的问题:
(1)如何根据实际问题列方程?
这是贯穿全章的中心问题.
(2)如何解方程?
这节重点讨论解方程中的“合并同类项”和“移项”,这样就已经可解
类型的一元一次方程.
本节首先提及在数学史上对解方程颇有影响的一部著作,即生活在约780~850年间的阿拉伯数学家阿尔-花拉子米所著的《对消与还原》一书,提问“对消”与“还原”是什么意思,作为后面要讨论的内容的引子.在本节内容展开中引出“合并同类项”和“移项”.
本节中用框图形式归纳出“用一元一次方程分析和解决实际问题的基本过程”.
3.3一元一次方程的讨论
(二)———去括号与去分母
本节继续结合一些实际问题讨论一元一次方程,重点讨论两方面的问题:
本节重点讨论解方程中的“去括号”和“去分母”,这样就可以解各种类型的一元一次方程,并归纳出一元一次方程解法的一般步骤.
本节从一道“用电问题”,引出解方程中的“去括号”问题;
又从古代埃及的纸莎草文书中的一道题,引出带有分母的一元一次方程,进而讨论用去分母的方法解这类方程.
在本节中,以解一个具体方程的过程为例,用框图形式表示了一元一次方程解法的一般步骤.
3.4实际问题与一元一次方程
本节在前面已经讨论过由实际问题抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的一般步骤的基础上,进一步以“探究”的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题.要探究的三个问题(“销售中的盈亏”“油菜种植的计算”“球赛积分表问题”)要比前几节的问题复杂些,问题情境与实际情况更接近.
本节的重点是建立实际问题的方程模型.通过探究活动,可以进一步体验一元一次方程与实际的密切联系,加强数学建模思想,培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力.
由于本节问题的背景和表达都比较贴近实际,其中的有些数量关系比较隐蔽,所以在探究过程中正确地建立方程是主要难点.突破难点的关键是弄清问题背景,分析清楚有关数量关系,特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系.
2.本章知识结构图
(1)利用一元一次方程解决问题的基本过程
(2)本章知识安排的前后顺序
3.课程学习目标
1.经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程,体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型,了解一元一次方程及其相关概念,认识从算式到方程是数学的进步。
2.通过观察、归纳得出等式的性质,能利用它们探究一元一次方程的解法。
3.了解解方程的基本目标(使方程逐步转化为x=a的形式),熟悉解一元一次方程的一般步骤,掌握一元一次方程的解法,体会解法中蕴涵的化归思想。
4.能够“找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的关系,设未知数,列出方程表示问题中的等量关系”,体会建立数学模型的思想。
5.通过探究实际问题与一元一次方程的关系,进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程(见上图),感受数学的应用价值,提高分析问题、解决问题的能力。
4.课时安排
本章教学时间约需18课时,具体分配如下(仅供参考):
3.1从算式到方程约4课时
3.2一元一次方程的讨论
(一)———合并同类项与移项约4课时
3.3一元一次方程的讨论
(二)———去括号与去分母约4课时
3.4实际问题和一元一次方程约4课时数学活动小结约2课时
“第四章图形认识初步”简介(新)
《义务教育课程标准实验教科书·
数学》七年级上册第四章是“图形认识初步”。
这一章是义务教育第三学段“空间与图形”领域的起始章,在这一章,将在前面两个学段学习的“空间与图形”内容的基础上,让学生进一步欣赏丰富多彩的图形世界,看到更多的立体图形与平面图形,初步了解立体图形与平面图形之间的关系,并通过线段和角认识一些简单的图形,并能初步进行应用。
本章共安排了4个小节以及两个选学内容,教学时间约需16课时,大体分配如下(仅供参考):
4.1多姿多彩的图形约4课时
实验与探究七桥问题与一笔画
4.2直线、射线、线段约3课时阅读与思考长度的测量
4.3角约5课时
4.4课题学习:
制作长方体形状的包装纸盒约2课时
数学活动小结约2课时
本章的主要内容是图形的初步认识,教科书首先通过引言中北京奥林匹克公园的俯瞰图和第4.1节开始的实物照片入手,展示现实生活中多姿多彩的图形世界和将要学习的图形与几何知识的之间的密切联系。
接着,教科书从学生生活中熟悉的长方体形物体入手,让学生经历从具体物体的外形抽象出几何体、平面、直线、点等概念以及立体图形和平面图形的概念;
让学生通过从不同方向看立体图形得到平面图形和想象几何体的展开图的过程,认识可以用平面图形表示立体图形,以及立体图形与平面图形的联系.并进一步从线与线相交形成点,面与面相交形成线,点动成线,线动成面,面动成体的角度进一步认识基本几何图形:
点、线、面、体,并初步引入几何图形的集合观点。
在此基础上,学习最基本的平面图形——直线、射线、线段和角的知识。
我们生活其中的现实空间的各种物体都以其所具有的各种空间形式存在于我们周围,学习有关图形与几何的知识能使人们更好的认识现实空间,并把有关的知识应用于实际生活和工作之中.因此,在学习有关图形与几何的知识过程中,应该注意图形与几何的知识与客观实际的联系。
教科书首先从常见的长方体形状的实物抽象出一个特殊的几何体——长方体,以及从不同侧面得到长方形或正方形等平面图形,再从棱、顶点得到线段、点,以此为特例,推广到从其他实物可以抽象得到其他圆柱、球等几何体,并指出在小学学习的其他几何图形也是从各种形状的物体中抽象出来的,从此再引入一般的几何图形的概念。
这样的过程可以让学生初步体会几何图形的抽象性特点和数学的抽象性。
一、教科书内容和课程学习目标
本章知识结构如下图所示:
教科书简略介绍了立体图形和平面图形的概念,这是图形与几何的两个基本概念。
三视图是初中数学教学内容的一个组成部分,联系立体图形和平面图形的概念,教科书在此介绍了与此相关的内容,即通过从不同方向观察立体图形会得到不同的平面图形,从而常用这样得到的几个平面图形来表示立体图形。
不过,在这里只涉及最基本的几何体的问题。
此外还简单介绍了几何体的展开图的知识。
为了对点、线、面、体的基本概念有进一步的了解,教科书又介绍了几何体与面的关系,从具体事物中得到曲面和平面等几何概念的形象,点、线、面相互之间的密切关系,从运动的观点来认识几何图形,以及对几何图形概念的初步集合观点。
这样,从多个角度认识几何基本概念,使学生形成初步完整的几何概念,丰富学生基本几何图形概念的认识。
直线、射线、线段和角都是一些重要而基本的几何图形,有关直线、射线、线段和角的概念和性质,表示方法、画法、计算等,都是重要的几何基础知识,是学习后续图形与几何的知识以及其他数学知识的必备的知识基础。
在小学阶段,学生对于直线、射线、线段和角等图形与几何的内容有了初步感性知识,认识是很粗浅的,有必要在初中阶段深入学习,逐步提高到理性认识的水平。
教科书在第4.2节首先让学生通过探究得到关于直线的基本事实:
经过两点有一条直线,并且只有一条直线。
接着,教科书介绍了关于直线的基本事实的实际应用,以及直线的表示。
线段与射线是与直线密切相关的两个基本概念,教科书介绍了它们的表示、画法、比较,以及线段的和与差等。
在图形与几何的教学中,图形的画法的教学是一个重要内容,这是应该在教学中引起重视的问题。
教科书在本节介绍了一个基本作图:
作一条线段等于已知线段。
关于线段的基本事实“两点的连线中,线段最短”的性质是一个重要的性质,在许多的问题尤其是有关线路长短之类的几何不等式问题中是一个基本的出发点。
教科书让学生通过思考、探究、比较得到以上的基本事实,并举例说明其应用。
对于角的概念,教科书在4.3节首先结合丰富的实例,认识学习角概念的实际必要性,并引入角概念的定义。
对于角的概念,可以从静态和动态两种角度去认识,在后续三角函数的学习中更需要从动态的角度去认识角,所以教科书也是从这两个角度去引入角的概念的。
接着,教科书安排了角的表示,角的度量,角的画法,角的比较,角平分线,补角和余角等内容.
教科书在第4.4节安排了一个课题学习:
“设计制作长方体形状的包装纸盒”。
这个课题学习内容的安排目的在于让学生借助所学的几何初步知识,逐渐学会独立思考,学会与他人合作,并经历发现问题、分析问题、和解决问题的过程,并在活动过程中培养空间想象能力,逻辑思维能力和动手操作能力和在实践中应用数学的能力。
要完成这个课题学习,应该做好对要解决的问题的分析,做好课题学习的准备等组织工作。
本章的内容是以后学习的重要基础,如何通过结合立体图形与平面图形的互相转化的学习来发展空间观念,一些重要的概念、性质等是本章的一项重点内容.建立和发展学生的空间观念是图形与几何学习的核心目标之一,能由实物形状想象出几何图形,由几何图形想象出实物形状,进行几何体与其三视图、展开图之间的相互转化是培养空间观念的重要方面.
本章中许多概念在前一学段有初步的了解,但比较分散,现在要比较系统的学习,要进一步加深认识.另外,尽管学生在小学阶段已经学习了一些图形与几何的知识,但是学生对于进入初中以后进一步学习图形与几何知识和所需要改变的学习方法等还未必能较快地适应,例如,如何从具体事物中抽象出各种具体几何图形?
如何掌握各种几何图形的概念?
如何区分一些相近的概念?
另外,对图形的表示和画图、作图,对几何语言的学习、运用等,都需要一个学习并逐渐熟悉的过程。
这些,对于今后的学习都很重要,同时也是本章的难点.
在本章,要注意多从实物和模型出发,让学生感受到几何知识的应用无处不在,可以结合一些具体问题,让学生感受到学习图形与几何知识的重要性和必要性,另外要注意培养学生学习的兴趣.同时要注意概念的定义和性质的表述,逐步使学生懂得几何语句的意义并能建立几何语句与图形之间的联系,逐步学习用语言正确表达概念、性质.这些不仅是学习好本章的关键,对于学好以后各章也是很重要的.
课程学习目标
1.通过实物和具体模型,了解从物体外形抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念,能识别一些基本几何体(长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等).初步了解立体图形与平面图形的概念.
2.能画出从不同方向看一些基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)以及它们的简单组合得到的平面图形;
了解直棱柱、圆柱、圆锥的展开图,能根据展开图想象相应的几何体,制作立体模型,在平面图形和立体图形相互转换的过程中,初步培养空间观念和几何直觉.
3.进一步认识直线、射线、线段的概念和它们的联系与区别,掌握它们的表示方法;
掌握关于直线和线段的基本事实:
两点确定一条直线,两点之间线段最短,了解这些性质在生活和生产实际中的应用;
理解两点之间距
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