高中数学经典高考难题集锦.docx
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高中数学经典高考难题集锦
2015年10月18日姚杰的高中数学组卷
一.选择题(共5小题)
1.(2013•黑龙江)若存在正数x使2x(x﹣a)<1成立,则a的取值范围是( )
A.(﹣∞,+∞)B.(﹣2,+∞)C.(0,+∞)D.(﹣1,+∞)
2.(2012•陕西)小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则( )
A.a<v<B.v=C.<v<D.v=
3.(2008•江西)已知函数f(x)=2x2+(4﹣m)x+4﹣m,g(x)=mx,若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m的取值范围是( )
A.[﹣4,4]B.(﹣4,4)C.(﹣∞,4)D.(﹣∞,﹣4)
4.(2006•重庆)若a,b,c>0且,则2a+b+c的最小值为( )
A.B.C.D.
5.(2004•山东)a2+b2=1,b2+c2=2,c2+a2=2,则ab+bc+ca的最小值为( )
A.﹣B.﹣C.﹣﹣D.+
二.解答题(共25小题)
6.(2007•重庆)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足S1>1,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N*.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足,并记Tn为{bn}的前n项和,求证:
3Tn+1>log2(an+3),n∈N*.
7.(2007•上海)如果有穷数列a1,a2,a3,…,am(m为正整数)满足条件a1=am,a2=am﹣1,…,am=a1,即ai=am﹣i+1(i=1,2,…,m),我们称其为“对称数列”.例如,数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,2,4,8都是“对称数列”.
(1)设{bn}是7项的“对称数列”,其中b1,b2,b3,b4是等差数列,且b1=2,b4=11.依次写出{bn}的每一项;
(2)设{cn}是49项的“对称数列”,其中c25,c26,…,c49是首项为1,公比为2的等比数列,求{cn}各项的和S;
(3)设{dn}是100项的“对称数列”,其中d51,d52,…,d100是首项为2,公差为3的等差数列.求{dn}前n项的和Sn(n=1,2,…,100).
8.(2007•福建)数列{an}的前N项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).
(Ⅰ)求数列{an}的通项an;
(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Tn.
9.(2007•上海)若有穷数列a1,a2…an(n是正整数),满足a1=an,a2=an﹣1…an=a1即ai=an﹣i+1(i是正整数,且1≤i≤n),就称该数列为“对称数列”.
(1)已知数列{bn}是项数为7的对称数列,且b1,b2,b3,b4成等差数列,b1=2,b4=11,试写出{bn}的每一项
(2)已知{cn}是项数为2k﹣1(k≥1)的对称数列,且ck,ck+1…c2k﹣1构成首项为50,公差为﹣4的等差数列,数列{cn}的前2k﹣1项和为S2k﹣1,则当k为何值时,S2k﹣1取到最大值?
最大值为多少?
(3)对于给定的正整数m>1,试写出所有项数不超过2m的对称数列,使得1,2,22…2m﹣1成为数列中的连续项;当m>1500时,试求其中一个数列的前2008项和S2008.
10.(2006•北京)设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn.
(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式.
11.(2006•山东)已知数列{an}中,,点(n,2an+1﹣an)在直线y=x上,其中n=1,2,3….
(Ⅰ)令bn=an+1﹣an﹣1,求证数列{bn}是等比数列;
(Ⅱ)求数列{an}的通项;
(Ⅲ)设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和,是否存在实数λ,使得数列为等差数列?
若存在,试求出λ.若不存在,则说明理由.
12.(2006•山东)已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3,…
(1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;
(2)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项;
(3)记,求数列{bn}的前n项Sn,并证明.
13.(2006•天津)已知数列{xn},{yn}满足x1=x2=1,y1=y2=2,并且(λ为非零参数,n=2,3,4,…).
(1)若x1,x3,x5成等比数列,求参数λ的值;
(2)当λ>0时,证明;当λ>1时,证明:
.
14.(2006•天津)已知数列{xn}满足x1=x2=1并且为非零参数,n=2,3,4,…).
(1)若x1、x3、x5成等比数列,求参数λ的值;
(2)设0<λ<1,常数k∈N*且k≥3,证明.
15.(2005•山东)已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*)
(I)证明数列{an+1}是等比数列;
(II)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f'
(1)并比较2f'
(1)与23n2﹣13n的大小.
16.(2005•重庆)数列{an}满足a1=1且8an+1an﹣16an+1+2an+5=0(n≥1).记.
(Ⅰ)求b1、b2、b3、b4的值;
(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn.
17.(2004•上海)设P1(x1,y1),P1(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N)是二次曲线C上的点,且a1=|OP1|2,a2=|OP2|2,…,an=|OPn|2构成了一个公差为d(d≠0)的等差数列,其中O是坐标原点.记Sn=a1+a2+…+an.
(1)若C的方程为=1,n=3.点P1(10,0)及S3=255,求点P3的坐标;(只需写出一个)
(2)若C的方程为(a>b>0).点P1(a,0),对于给定的自然数n,当公差d变化时,求Sn的最小值;
(3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P1,P2,…Pn存在的充要条件,并说明理由.
18.(2003•上海)已知数列{an}(n为正整数)是首项是a1,公比为q的等比数列.
(1)求和:
a1C20﹣a2C21+a3C22,a1C30﹣a2C31+a3C32﹣a4C33;
(2)由
(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论,并加以证明.
(3)设q≠1,Sn是等比数列{an}的前n项和,求:
S1Cn0﹣S2Cn1+S3Cn2﹣S4Cn3+…+(﹣1)nSn+1Cnn.
19.(2014秋•周村区校级月考)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.
(1)求数列{bn}的通项bn;
(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a>0,且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和.试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.
20.(2010•重庆)在数列{an}中,a1=1,an+1=can+cn+1(2n+1)(n∈N*),其中实数c≠0.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若对一切k∈N*有a2k>azk﹣1,求c的取值范围.
21.(2010•安徽模拟)已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线,当n≤y≤n+1(n=0,1,2,…)时,该图象是斜率为bn的线段(其中正常数b≠1),设数列|xn|由f(xn)=n(n=1,2,…)定义.
(1)求x1、x2和xn的表达式;
(2)求f(x)的表达式,并写出其定义域;
(3)证明:
y=f(x)的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点.
22.(2009•陕西)已知数列{xn}满足x1=,xn+1=,n∈N*;
(1)猜想数列{x2n}的单调性,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明:
.
23.(2009•上海)已知{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列
(1)若an=3n+1,是否存在m,n∈N*,有am+am+1=ak?
请说明理由;
(2)若bn=aqn(a、q为常数,且aq≠0)对任意m存在k,有bm•bm+1=bk,试求a、q满足的充要条件;
(3)若an=2n+1,bn=3n试确定所有的p,使数列{bn}中存在某个连续p项的和式数列中{an}的一项,请证明.
24.(2008•北京)对于每项均是正整数的数列A:
a1,a2,…,an,定义变换T1,T1将数列A变换成数列T1(A):
n,a1﹣1,a2﹣1,…,an﹣1;对于每项均是非负整数的数列B:
b1,b2,…,bm,定义变换T2,T2将数列B各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列T2(B);又定义S(B)=2(b1+2b2+…+mbm)+b12+b22+…+bm2.设A0是每项均为正整数的有穷数列,令Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2,…).
(Ⅰ)如果数列A0为5,3,2,写出数列A1,A2;
(Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列A,证明S(T1(A))=S(A);
(Ⅲ)证明:
对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0,存在正整数K,当k≥K时,S(Ak+1)=S(Ak).
25.(2007•四川)已知函数f(x)=x2﹣4,设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N*),其中x1为正实数.
(Ⅰ)用xn表示xn+1;
(Ⅱ)证明:
对一切正整数n,xn+1≤xn的充要条件是x1≥2
(Ⅲ)若x1=4,记,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式.
26.(2006•江苏)设数列{an}、{bn}、{cn}满足:
bn=an﹣an+2,cn=an+2an+1+3an+2(n=1,2,3,…),
证明:
{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1(n=1,2,3,…)
27.(2006•辽宁)已知函数f(x)=,其中a,b,c是以d为公差的等差数列,且a>0,d>0.设x0为f(x)的极小值点,在[1﹣]上,f′(x)在x1处取得最大值,在x2处取得最小值,将点(x0,f(x0)),(x1,f′(x1)),(x2,f′(x2,f(x2))依次记为A,B,C.
(Ⅰ)求x0的值;
(Ⅱ)若△ABC有一边平行于x轴,且面积为2+,求a,d的值.
28.(2005•江西)已知数列{an}的各项都是正数,且满足:
a0=1,an+1=(4﹣an),n∈N.
(1)证明an<an+1<2,n∈N;
(2)求数列{an}的通项公式an.
29.(2003•江苏)设a>0,如图,已知直线l:
y=ax及曲线C:
y=x2,C上的点Q1的横坐标为a1(0<a1<a).从C上的点Qn(n≥1)作直线平行于x轴,交直线l于点Pn+1,再从点Pn+1作直线平行于y轴,交曲线C于点Qn+1.Qn(n=1,2,3,…)的横坐标构成数列{an}.
(Ⅰ)试求an+1与an的关系,并求{an}的通项公式;
(Ⅱ)当时,证明;
(Ⅲ)当a=1时,证明.
30.(1977•北京)在2和30中间插入两个正数,这两个正数插入后使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,求插入的两个正数?
2015年10月18日姚杰的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共5小题)
1.(2013•黑龙江)若存在正数x使2x(x﹣a)<1成立,则a的取值范围是( )
A.(﹣∞,+∞)B.(﹣2
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