最新现代控制理论基础考试题B卷及答案.docx
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最新现代控制理论基础考试题B卷及答案
一•(本题满分10分)
请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。
其中状丽-态变量的设置如图所示,系统的输出变量为流经电感l2的电流强度。
行为规范
L*+Rx〔+X3=u«L2X2+Rx2=x3
CX3+X2=x
写成矩阵形式为
(本题满分10分)
单输入单输出离散时间系统的差分方程为
y(k2)5y(k1)3y(k)=r(k1)2r(k)
回答下列问题:
(1)求系统的脉冲传递函数;
(2)分析系统的稳定性;
(3)取状态变量为N(k)二y(k),X2(k)=X1(k•1)-r(k),求系统的状态空间表达式;
(4)分析系统的状态能观性。
【解答】
(1)在零初始条件下进行z变换有:
z25z3Y(z)h[z2R(z)
系统的脉冲传递函数:
匕可二¥2-
R(z)z2+5z+3
(2)系统的特征方程为
D(z)=z25z3=0
特征根为乙=-4.3,Z2=-0.7,z1>1,所以离散系统不稳定。
(3)由X1(k)=y(k),X2(k)二为(k1)—r(k),可以得到
X2(k1)=X1(k2)-r(k1)=y(k2)—r(k1)
由已知得
y(k2)-r(k1)=2r(k)_5y(k1)-3y(k)=2r(k)-5xdk1)-3/)=2r(k)-5X2(k)r(k)丨-3为化)=-3为(k)-5x2(k)-3r(k)
于是有:
X2(k1^-3X1(k)-5x2(k)-3r(k)
又因为
X!
(k1)=x2(k)r(k)
所以状态空间表达式为
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xi(k1)01xi(k)1
”X2(k+1)「]—3—5」X2(k)「弋J
心1。
必:
(4)系统矩阵为
5
能观性矩阵为Q。
=『[=『
0]cG」]01一
3.(本题满分10分)
回答下列问题:
(1)简述线性系统的对偶原理;
(2)简述线性定常系统的状态稳定性与输出稳定性的相互关系;
(3)r输入r输出r2阶线性解耦系统等效于多少个独立的单输入单输出系统?
【解答】
(1)若线性系统1与线性系统2互为对偶,则系统1的能控性等价于系统2的能观性,系统1的能观性等价于系统2的能控性。
(2)若线性定常系统的状态稳定,则输出必稳定,反之,若线性定常系统的输出稳定,则状态未必稳定。
当且仅当线性定常系统的传递函数没有零极点对消现象时,其状态稳定性和输出稳定性才是等价的。
(3)r输入r输出r2阶线性解耦系统等效于r个独立的单输入单输出系统。
4.(本题满分10分)丸=捲-冷cosx2
设有一个2阶非线性系统,其状态方程为(,判断该系统在坐标比=X2
原点处的稳定性,并证明你的判断。
【解】此系统在坐标原点处不稳定。
【证明】
取李雅普诺夫函数Vx)=X12x2,显然是正定函数,此外,沿着状态轨线的导数为:
V(x)=2为凡2x2X2=2为^-^cosx;?
2>2^2xf-2x1x2cosx22x;
=2X;-浓2cosx22x;=2ixj-X1X2COSX21x;cos2X22x;-1x;cos2X2
42
写成矩阵形式为
丸+2-3
detQl-A)=
1九
显然系统渐近稳定。
「T_1_51
系统的能控性矩阵为Qc=[bAb】=I,显然,Qc满秩,所以系统状态
一-1一
完全能控。
11X
j
6.(本题满分10分)
某系统的状态空间表达式为
001
IX+Iu
J-6一①
y-101lx
设计一个全维状态观测器,使观测器的两个极点均为-10
【解答】
设全维观测器方程为
0011ln
X=.-I【0
i1-6一12一
22
(九+10)=丸2+20丸+100
根据多项式恒等的条件得
6+1^20
£=100
解得100,全维状态观测器方程为
2=14
7.(本题满分10分)
证明对于状态空间表达式的线性变换,其特征方程保持不变。
【证明】设原线性系统为
乂=Ax+Bu
y=Cx+Du
其特征方程为detsi-A=0
设线性变换为x二Tz,变换后的线性系统为
Z=T‘ATz+T,Buy=CTz+Du
该系统的特征方程为
detsiTAT=0
写成
detsTJT-T」AT=0
detTJsi-AT=0
detTJdetsi-AdetT=0
detT'detTdetsi-A=0
detT,Tdetsi-A、=0
detidetsi-A=0
detsi-A=0
证毕
显然,其特征方程保持不变。
8.(本题满分10分)
开环系统的结构如图所示:
试用状态反馈的方法,使闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间ts二5.65秒(也=0.02),超调量为▽p=4.32%,其中一个闭环特征值为-5。
求状态反馈控制律的数学表达式。
【解答】将上述方块图该画成模拟结构图,如下:
H1P
*=X2
X2=-5x25x3
写成状态空间表达式为'Xj=-Xj+2u,即
y=Xi
「「0101「01
「|o-55|x+|0!
u
_o0-1_2
♦y=〔100】x
闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间ts=5.65秒(心=0.02),可得:
4
ts5.65,n0.707,
n
超调量为二p=e=4.32%,解得」0.707,所以,■n:
T。
期望闭环特征多项式为
s5s22\s;s5s2•2s1
f(s)二s35*2s215,2s5
s-1
二det0s5
_2k|-2k?
设状态反馈控制律为u二Kk2k3lx,代入可得闭环系统的状态方程
0
1
1
0
1
X=0
-5
5x
_2k1
2k2
2k^1
闭环特征多项式为
厂s001「0
1
0
r
1
f(s)=det(sl-A)=det
0s0-0
-5
5
1
1
J。
0s]2k1
2k2
2k3-
-1」丿
0
一5二s36-2k3s25-10k2T0k3s-10ki
s-2k31
6-2k3=5.2二6.414
根据多项式恒等条件可得:
5-10k2-10k3=1=8.07
-10k^5
匕=-0.5
解得:
<k2=-0.1,状态反馈控制律为
k3=-0.207
u-|k1k2k3】x--0.5^-0.1x2-0.207x3。
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