高中数学选修21第三章+空间向量与立体几何+测试题含详解精华版汇编.docx

高中数学选修21第三章+空间向量与立体几何+测试题含详解精华版汇编.docx

《高中数学选修21第三章+空间向量与立体几何+测试题含详解精华版汇编.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学选修21第三章+空间向量与立体几何+测试题含详解精华版汇编.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高中数学选修21第三章+空间向量与立体几何+测试题含详解精华版汇编

高中数学选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题

（时间：

120分钟，满分：

150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）

1．向量a＝（2x,1,3），b＝（1，－2y,9），若a与b共线，则（　　）

A．x＝1，y＝1　　　　　B．x＝，y＝－

C．x＝，y＝－D．x＝－，y＝

解析　由a∥b知，a＝λb，∴2x＝λ，1＝－2λy,3＝9λ，∴λ＝，x＝，y＝－.

答案　C

2．已知a＝（－3,2,5），b＝（1，x，－1），且a·b＝2，则x的值是（　　）

A．6B．5C．4D．3

解析　a·b＝－3＋2x－5＝2，∴x＝5.

答案　B

3．设l1的方向向量为a＝（1,2，－2），l2的方向向量为b＝（－2,3，m），若l1⊥l2，则实数m的值为（　　）

A．3B．2C．1D.

解析　∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝0，∴－2＋6－2m＝0，∴m＝2.

答案　B

4．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的（　　）

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，而a·b＝|a||b|.

∴cos〈a，b〉＝1，∴〈a，b〉＝0.

∴a与b共线．反之，若a与b共线，也可能a·b＝－|a|·|b|，因此应选B.

答案　B

5．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝（　　）

A.b＋cB.c－bC.b－cD.b＋c

解析　如图，＝＋

＝＋

＝＋（－）

＝＋

＝c＋b.

答案　A

6．已知a，b，c是空间的一个基底，设p＝a＋b，q＝a－b，则下列向量中可以与p，q一起构成空间的另一个基底的是（　　）

A．aB．bC．cD．以上都不对

解析　∵a，b，c不共面，

∴a＋b，a－b，c不共面，∴p，q，c可构成空间的一个基底．

答案　C

7．已知△ABC的三个顶点A（3,3,2），B（4，－3,7），C（0,5,1），则BC边上的中线长为（　　）

A．2B．3C.D.

解析　BC的中点D的坐标为（2,1,4），

∴＝（－1，－2,2）．

∴||＝＝3.

答案　B

8．与向量a＝（2,3,6）共线的单位向量是（　　）

A．（，，）B．（－，－，－）

C．（，－，－）和（－，，）D．（，，）和（－，－，－）

解析　|a|＝＝7，∴与a共线的单位向量是±（2,3,6），故应选D.

答案　D

9．已知向量a＝（2,4，x），b＝（2，y,2），若|a|＝6且a⊥b，则x＋y为（　　）

A．－3或1B．3或－1C．－3D．1

解析　由|a|＝6，a⊥b，

得解得或

∴x＋y＝1，或－3.

答案　A

10．已知a＝（x,2,0），b＝（3,2－x，x2），且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是（　　）

A．x>4B．x<－4C．0

解析　∵〈a，b〉为钝角，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉<0，即3x＋2（2－x）<0，∴x<－4.

答案　B

11．已知空间四个点A（1,1,1），B（－4,0,2），C（－3，－1，0），D（－1,0,4），则直线AD与平面ABC所成的角为（　　）

A．30°B．45°C．60°D．90°

解析　设平面ABC的一个法向量为n＝（x，y，z），

∵＝（－5，－1,1），＝（－4，－2，－1），

由n·＝0及n·＝0，得

令z＝1，

得x＝，y＝－，∴n＝（，－，1）．

又＝（－2，－1,3），设AD与平面ABC所成的角为θ，则

sinθ＝＝＝，

∴θ＝30°.

答案　A

12．已知二面角α－l－β的大小为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为（　　）

A．2B．3C．4D．5

解析　过点P分别作平面α，β的垂线l1和l2，则l1与l2所成的角为130°或50°，问题转化为过点P与直线l1，l2成65°角的直线有几条，与l1，l2共面的有一条，不共面的有2条．因此，共有3条．

答案　B

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上）

13．已知{i，j，k}为单位正交基底，且a＝－i＋j＋3k，b＝2i－3j－2k，则向量a＋b与向量a－2b的坐标分别是________；________.

解析　依题意知，a＝（－1,1,3），b＝（2，－3，－2），则a＋b＝（1，－2,1），

a－2b＝（－1,1,3）－2（2，－3，－2）＝（－5,7,7）．

答案　（1，－2,1）　（－5,7,7）

14．在△ABC中，已知＝（2,4,0），＝（－1,3,0），则∠ABC＝________.

解析　cos〈，〉＝＝＝，

∴〈，〉＝，∴∠ABC＝π－＝.

答案　

15．正方体ABCD－A1B1C1D1中，面ABD1与面B1BD1所夹角的大小为________．

解析　

建立空间直角坐标系D－xyz，如图．

设正方体的棱长为1，则A（1,0,0），B（1,1,0），B1（1,1,1），D1（0,0,1）．

∴＝（1,0，－1），＝（1,1，－1），＝（1,1,0）．

设平面ABD1的法向量为m＝（x1，y1，z1），平面B1BD1的法向量为n＝（x2，y2，z2），则由m·＝0，m·＝0，可得m＝（1,0,1），由n·＝0，n·D1B1＝0，得n＝（1，－1,0），∴cos〈m，n〉＝＝.∴所求二平面的大小为60°.

答案　60°

16．在下列命题中：

①若a，b共线，则a，b所在的直线平行；②若a，b所在的直线是异面直线，则a，b一定不共面；③若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面；④已知三向量a，b，c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc，其中不正确的命题为________．

解析　①a，b共线，包括a与b重合，所以①错．

②空间任意两个向量均共面，所以②错．

③以空间向量的一组基底{a，b，c}为例，知它们两两共面，但它们三个不共面，所以③错．

④当与a，b，c共面时，不成立，所以④错．

答案　①②③④

三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）如图，空间四边形OABC中，E，F分别为OA，BC的中点，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.

解　＝＋＝－＋（＋）＝－a＋b＋c.

18．（12分）设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k，试问是否存在实数a，b，c使a4＝aa1＋ba2＋ca3成立？

如果存在，求出a，b，c的值；如果不存在，请说明理由．

解　假设a4＝aa1＋ba2＋ca3成立．

由已知a1＝（2，－1,1），a2＝（1,3，－2），

a3＝（－2,1，－3），a4＝（3,2,5），可得

（2a＋b－2c，－a＋3b＋c，a－2b－3c）＝（3,2,5）．

∴

解得：

a＝－2，b＝1，c＝－3.

故有a4＝－2a1＋a2－3a3.

综上知，满足题意的实数存在，

且a＝－2，b＝1，c＝－3.

19．（12分）四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7，∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°，求AC′的长．

解　＝＋＋＝＋＋，

∴（）2＝（＋＋）2

＝2＋2＋2＋2（·＋·＋·）

＝25＋9＋49＋2（5×3cos60°＋5×7cos45°＋3×7cos45°）

＝98＋56.

∴||＝，

即AC′的长为.

20．（12分）如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB＝2，PC与平面ABCD所成角是45°，F是AD的中点，M是PC的中点．

求证：

DM∥平面PFB.

证明　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由PC与平面ABCD所成的角为45°，即∠PCD＝45°，得PD＝2，则P（0,0,2），C（0,2,0），B（2,2,0），F（1,0,0），D（0,0,0），M（0,1,1），

∴＝（1,2,0），＝（－1,0,2），＝（0,1,1）．

设平面PFB的法向量为n＝（x，y，z），则

∴即

令y＝1，则x＝－2，z＝－1.

故平面PFB的一个法向量为n＝（－2,1，－1）．

∵·n＝0，∴⊥n.

又DM⊄平面PFB，则DM∥平面PFB.

21．（12分）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在C1C上，且C1E＝3EC.

（1）证明A1C⊥平面BED；

（2）求二面角A1－DE－B的余弦值．

解　以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.

依题设B（2,2,0），C（0,2,0），E（0,2,1），A1（2,0,4）．

＝（0,2,1），＝（2,2,0），

＝（－2,2，－4），＝（2,0,4）．

（1）∵·＝0，·＝0，

∴A1C⊥BD，A1C⊥DE.

又DB∩DE＝D，

∴A1C⊥平面DBE.

（2）设向量n＝（x，y，z）是平面DA1E的法向量，则n⊥、n⊥.

∴2y＋z＝0,2x＋4z＝0.

令y＝1，则z＝－2，x＝4，

∴n＝（4,1，－2）．

∴cos〈n，〉＝＝.

∵〈n，〉等于二面角A1－DE－B的平面角，

∴二面角A1－DE－B的余弦值为.

在调查中我们注意到大多数同学都比较注重工艺品的价格，点面氛围及服务。

标题：

大学生“负债消费“成潮流2004年3月18日22．（12分）正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．

（1）证明：

平面AED⊥平面A1FD1；

（2）在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.

（4）牌子响解　

（1）证明：

建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，不妨设正方体的棱长为2，则A（2,0,0），E（2,2,1），F（0,1,0），A1（2,0,2），D1（0,0,2）．

在上海，随着轨道交通的发展，地铁商铺应运而生，并且在重要商圈已经形成一定的气候，投资经营地铁商铺逐渐为一大热门。

在人民广场地下的迪美购物中心，有一家DIY自制饰品店--“碧芝自制饰品店”

5、你认为一件DIY手工艺制品在什么价位可以接受？

设平面AED的法向量为n1＝（x1，y1，z1），则

4、如果学校开设一家DIY手工艺制品店，你是否会经常去光顾？

∴

我们认为：

创业是一个整合的过程，它需要合作、互助。

大学生创业“独木难支”。

在知识经济时代，事业的成功来自于合作，团队精神。

创业更能培养了我们的团队精神。

我们一个集体的智慧、力量一定能够展示我们当代大学生的耐心.勇气和坚强的毅力。

能够努力克服自身的弱点，取得创业的成功。

令y1＝1，得n1＝（0,1，－2）．

同理可得平面A1FD1的法向量n2＝（0,2,1）．

∵n1·n2＝0，∴平面AED⊥平面A1FD1.

（2）由于点M在AE上，

关于DIY手工艺制品的消费调查∴可设＝λ＝λ（0,2,1）＝（0,2λ，λ），

可得M（2,2λ，λ），于是＝（0,2λ，λ－2）．

要使A1M⊥平面DAE，需A1M⊥AE，

（一）大学生的消费购买能力分析∴·＝（0,2λ，λ－2）·（0,2,1）＝5λ－2＝0，得λ＝.

（三）DIY手工艺品的“自助化”故当AM＝AE时，即点M坐标为（2，，）时，A1M