实数实数的概念运算及大小比较文档格式.docx
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上述规定的三要素缺一个不可,2:
实数与数轴上的点是一一对应的,3:
数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数.)
(2)相反数
实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数,叫做互为相反数,零的相反数是零).
注意:
从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.
(3)绝对值
注意:
从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离
(4)倒数
实数a(a≠0)的倒数是
(乘积为1的两个数,叫做互为倒数);
零没有倒数.
知识点3:
平方根、算术平方根、立方根
若x2=a,则x叫做a的平方根。
记作
,而正的平方根叫做算术平方根
知识点4:
零指数、负整指数幂
a0=1(a≠0);
(a≠0)
知识点5:
科学记数法、近似数、有效数字
把一个数写成a×
10n(1≤a<10,n是整数)的形式
一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位,四舍五入得到的数从左边第一个非零数字起到末位数字止,所有的数字叫做这个近似数的有效数字
知识点6:
三种重要的非负数(绝对值、偶次方、算术平方根)
知识点7:
常见的几种无理数(开方开不尽的数、含圆周率的数、无限不循环的数)
知识点8:
实数的运算
实数的运算法则
(1)加法
同号两数相加,取原来的符号,并把绝对值相加;
异号两数相加。
取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
任何数与零相加等于原数。
(2)减法
(3)乘法
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
零乘以任何数都得零.即
(4)除法
(5)乘方
(6)开方如果x2=a且x≥0,那么
;
如果x3=a,那么
在同一个式子里,先乘方、开方,然后乘、除,最后加、减.有括号时,先算括号里面的.
实数的运算律:
(1)加法交换律a+b=b+a
(2)加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)
(3)乘法交换律ab=ba.
(4)乘法结合律(ab)c=a(bc)
(5)分配律a(b+c)=ab+ac
其中a、b、c表示任意实数.运用运算律有时可使运算简便.
知识点9:
实数的大小比较(常见的方法-数轴比较法;
差值比较法;
商值比较法;
绝对值比较法)
【典型例题】
例1判断题:
(1)两有理数的和、差、积、商是有理数;
(2)有理数与无理数的积是无理数;
(3)有理数与无理数的和、差是无理数;
(4)小数都是有理数;
(5)零是整数,是有理数,是实数,是自然数;
(6)任何数的平方是正数;
(7)实数与数轴上的点一一对应;
(8)两无理数的和是无理数。
解:
(1)对
(2)不对(3)对(4)不对(5)对(6)不对(7)对(8)不对
例2选择题:
(1)如果a是实数,下列四种说法:
①
和
都是正数,
②
,那么a一定是负数,
③a的倒数是
④a和
的两个数表示的点分别在原点的两侧,
其中正确的说法有(A)
A.0B.1C.2D.3
(2)下列说法中,正确的是(B)
A.|m|与-m互为相反数
B.
与
互为倒数
C.1998.8用科学记数法表示为1.9988×
102
D.0.4949用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为0.50
(3)近似数1.30所表示的准确数A的范围是(C)
A.1.25≤A<1.35 B.1.20<A<1.30
C.1.295≤A<1.305 D.1.300≤A<1.305
(4)2006年全年国内生产总值按可比价格计算,比上年增长9.5%,达到136515亿元,136515亿元用科学记数法表示(保留4个有效数字)为(B)
A.
元B.
元
C.
元D.
例3填空题:
(1)下列各数中:
,0,
,1.101001
,2,
.
有理数集合{…};
正数集合{…};
整数集合{…};
自然数集合{…};
分数集合{…};
无理数集合{…};
绝对值最小的数的集合{…};
略
(2)无理数a满足不等式
,请写出两个符合条件的无理数_______、_______.
(3)观察下列数表:
1234…第一行
2345…第二行
3456…第三行
4567…第四行
第第第第
一二三四
列列列列
根据表中所反映的规律,猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为___11___,第n行(n为正整数)与第n列的交叉点上的数应为____2n-1_____.
(4)已知:
,……,若
(a、b都是正整数),则a+b的最小值是_19____.
例4有条件化简:
①当1<a<2时,化简
②a,b,c为三角形的三边,化简
③如图,化简
。
①因为1<a<2所以
原式=
②因为|a+b-c|=a+b-c|a-b-c|=b+c-a
所以原式=a+b-c+b+c-a=2b
③
例5无条件化简:
化简
步骤①找零点;
②分段;
③讨论。
①当m<-2时
=-m-2+3-m=-2m+1
②当-2≤m≤3时
=m+2+3-m=5
③当m>3时
=m+2+m-3=2m-1
例6阅读下面材料并完成填空:
你能比较两个数20042005和20052004的大小吗?
为了解决这个问题先把问题一般化,要比较nn+1和(n+1)n的大小(的整数),先从分析n=1,=2,=3,……这些简单的情况入手,从中发现规律,经过归纳,猜想出结论。
通过计算,比较下列①——⑦各组中两个数的大小(在横线上填“>、=、<”号=
①1221;
②2332;
③3443;
④4554;
⑤5665;
⑥6776;
⑦7887
(2)对第
(1)小题的结果进行归纳,猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系是
(3)根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是:
2004200520052004
(1)<<>>>>>
(2)当n<3时,nn+1<(n+1)n
当n≥3时,nn+1>(n+1)n
(3)20042005>20052004
例7计算:
(1)
(2)
(1)原式=3-1+4×
+
=4+
(2)0.3-1-(-
)-2+43-3-1+(π-3)0+tg230°
=
-36+64-
+1+
分析:
本题运用方根的概念,零指数幂的法则,负整数指数幂的法则,特殊三角函数值,分母有理化等知识加以计算。
例8化简:
这道题隐含着a<0是解此题的关键,而a<0时,|a|=-a,这一点是该题错误的根本原因,另外,在化简
时,注意计算步骤要严谨。
原式=-a
-a2×
(-
)
+(-a)=-a
例9若|a|=3,
,ab<0,则a-b=
本题主要是运用绝对值的意义、二次根式成立的条件等数学知识。
因为|a|=3所以a=3或a=-3
b=4
又因为ab<0所a=-3,b=4所以a-b=-7
拓展:
此类命题拓展的思路是将绝对值、方根、代数式的化简综合构建考题。
如计算:
(1)当
时,
=。
(2)若
互为相反数,则a2006a2007=。
例10已知:
值
因为x=
所以x2=
例11给出下列算式:
32-12=8=8×
1
52-32=16=8×
2
72-52=24=8×
3
92-72=32=8×
4
……
观察上面一系列等式,你能发现什么规律?
用代数式来表示这个规律。
(2n+1)2-(2n-1)2=8n(n取正整数)
预测:
本题以列代数式为载体,体现了用字母表示数的简明性和普遍性,蕴含着一种数学简洁的美。
同时可考查观察能力和抽象概括能力,渗透着从特殊到一般的辩证关系。
该题是通过观察给出的运算,找到反映其规律的表达式。
这是中考中的热点问题,此类问题不仅考查对知识的掌握,同时考查观察分析的能力。
【模拟试题】
(答题时间:
30分钟)
一.选择题
1.下列说法正确的是( )
A.无限小数都是无理数
B.无理数都是无限小数
C.带根号的数都是无理数
D.不带根号的数一定不是无理数。
2.和数轴上的点一一对应的数是( )
A.整数B.有理数C.无理数D.实数
3.若2a与1-a互为相反数,则a等于( )
A.1 B.-1 C.D.
4.当=-a时,实数a在数轴上对应的点在( )
A.原点右侧B.原点左侧
C.原点或原点的右侧D.原点或原点的左侧
5.代数式++的所有可能的值有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个
6.下列命题中:
(1)几个有理数相乘,如果负因数个数是奇数,则积必为负;
(2)两数之积为1,那么这两数都是1或都是-1;
(3)两个实数之和为正数,积为负数,则两数异号,且正数的绝对值较大;
(4)一个实数的偶次幂是正数,那么这个实数一定大于零,
其中错误的命题的个数是( )
A.1个B.2个 C.3个 D.4个
二.填空题
7.0的相反数是 ,3-л的相反数是 ,
的相反数是 ;
-л的绝对值是 ,0的绝对值是 ,
的倒数是
8.把下列语句译成式子:
(1)a是负数
(2)a、b两数异号
(3)a、b互为相反数
(4)a、b互为倒数
(5)x与y的平方和是非负数
(6)c、d两数中至少有一个为零
(7)a、b两数均不为0
9.数轴上点A表示数-1,若AB=3,则点B所表示的数为
10.2006年底国家统计局公布我国总人口129999万人,如果以亿为单位保留两位小数,可以写成约为亿人。
11.若(x-1)x+2=1,则x的值是。
12.我国数学家刘徽,是第一个找到计算圆周率π方法的人,他求出π的近似值是3.1416,如果取3.142是精确到 位,它有 个有效数字,分别是 。
13.我国的国土面积约为9600000平方千米,用科学记数法表示为 平方千米。
14.若n为自然数时,(-1)2n+1+(-1)2n= .
15.已知:
|x|=4,y2=且x>0,y<0,则x-y= 。
16.若a,b满足
,则
的值是
三.实验、操作题
17.数轴上作出表示
的点。
四.解答题
18.已知等腰三角形一边长为a,一边长为b,
且(2a-b)2+|9-a2|=0。
求它的周长。
19.若3,m,5为三角形三边,化简:
20.已知x、y是实数
【试题答案】
1.B2.D3.B4.D5.A6.C
7.0;
2;
π;
0;
8.
(1)a<0
(2)ab<0(3)a+b=0(4)ab=1(5)
(6)cd=0(7)ab≠0
9.2或-4
10.13.00
11.-2,0,2
12.千分;
4;
3,1,4,2
13.9.6×
106
14.0
15.
16.-1
17.略
18.解:
由题意得
所以第三边为6,而不能为3
所以它的周长为15
19.解:
由题意得:
2<m<8
∴|2-m|=m-2|m-8|=8-m
∴原式=|2-m|-|m-8|=m-2-(8-m)=2m-10
20.解:
∵
+y2-6y+9=0
∴
+(y-3)2=0
∴-4a+4=3
∴a=
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