函数最值问题教案.docx
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函数最值问题教案.docx
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函数最值问题教案
适用学科
L.—..——一一—.
高中数学
11
适用年级:
高一
11
适用区域
苏教版区域
课时时长(分钟)丨2课时
1
知识点
单调性的概念、单调性的判断(证明)方法、单调性的应用、最值问题
1
教学目标
1
■
1使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的,它是函数单调性的应用
1
1
1通过渗透数形结合的数学思想,掌握求函数最值的方法]
教学重点
函数最大(小)值的定义和求法!
教学难点
如何求一个具体函数的最值
【知识导图】
教学过程
'、导入
(1)由于某种原因,2019年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日,
请查阅资料说明做出这个决定的主要原因•
⑵通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.
课上通过交流,可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因,北京的天气到8月中旬,平
均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降,比较适宜举办大型国际体育赛事.下图
是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.
问题:
观察图形,能得到什么信息?
预案:
(1)当天最高温度、最低温度以及何时达到;
(2)在某时刻的温度;
⑶某些时段温度升高,某些时段温度降低.
在生活中,我们关心很多数据的变化规律,了解这些数据的变化规律,对我们的生活是
很有帮助的.
问题:
还能举出生活中其他的数据变化情况吗?
预案:
水位高低、燃油价格、股票价格等.
归纳:
用函数观点看,其实就是随着自变量的变化,函数值是变大还是变小.
二、知识讲解
函考点象上任函数的p最大坐标(x,y)的意义:
横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.
(3)图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.
⑷由于点C是函数y=f(x)图象上的最高点,则点A在点C的下方,即对定义域内任意
x,都有yWyo,即f(x)wf(x°),也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x,均有f(x)wf(xo)成立.
(5)—般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
1对于任意的x€I,都有f(x)WM;
2存在Xo€I,使得f(xo)=M.
那么,称M是函数y=f(x)的最大值..
(6)f(x)WM反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M;这个函数的特征是图象有最
高点,并且最高点的纵坐标是M.
⑺函数图象上最高点的纵坐标.
(8)函数y=—2x+1,x€(-1,+s)没有最大值,因为函数y=—2x+1,x€(—1,+
a)的图象没有最高点.
(9)不是,因为该函数的定义域中没有一1.
(10)讨论函数的最大值,要坚持定义域优先的原则;函数图象上有最高点时,这个函数
才存在最大值,最高点必须是函数图象上的点.
考点2函数的最小值
(1)函数最小值的定义是:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
1对于任意的x€I,都有f(x)>M;
2存在xo€I,使得f(xo)=M.
那么,称M是函数y=f(x)的最小值。
函数最小值的几何意义:
函数图象上最低点的纵坐标.
(2)讨论函数的最小值,也要坚持定义域优先的原则;函数图象上有最低点时,这个函数才存在最小值,最低点必须是函数图象上的点.
的求法
例题12
画出函数y=—x2+2|x|+3的图象,指出函数的单调区间和最大值.
【解析】:
函数图象如图所示.
由图象得,函数的图象在区间(一8,—1)和[0,1]上是上升的,在[一1,0]和(1,)上是下
降的,最高点是(土1,4),
故函数在(—a,—1),[0,1]上是增函数;函数在[—1,0],(1,+^)上是减函数,最大值是
4.
【总结与反思】本题主要考查函数的单调性和最值,以及最值的求法•求函数的最值时,
先画函数的图象,确定函数的单调区间,再用定义法证明,最后借助单调性写出最值,这种
方法适用于做解答题.
类型二单调法求函数最值
例题1
2求函数y=x—1在区间[2,6]上的最大值和最小值.
【解析】设2 22_2\Xrix2-12x2 为-1x2-1x1Tx2Tx1-1x2T 2wX1vX2W6,—X2—X[>0,(X1—1)(x2—1)>0. 2 f(X1)>f(x2),即函数y=在区间[2,6]上是减函数. xT 2 •••当x=2时,函数y=在区间[2,6]上取得最大值f (2)=2; x-1 22 当x=6时,函数y=在区间[2,6]上取得最小值f(6)=5. x—1 【总结与反思】 单调法求函数最值: 先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值;常用到下面的结论: ① 如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递增,在区间[b,c)上单调递减,则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);②如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递减,在区间[b,c)上单调递增,则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b). 类型三函数最值的应用 例题1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距 地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t)=—4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻? 这时距地面的高度是多少? (精确到1m) 【解析】: 作出函数h(t)=—4.9t2+14.7t+18的图象,如图所示, 显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵 坐标就是这时距地面的高度. 由二次函数的知识,对于函数h(t)=—4.9t2+14.7t+18,我们有: 14.74.9: 18-14.72 当t=_=15时,函数有最大值h=&29. -4.9-4.9 即烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度约是29m. 【总结与反思】 本题主要考查二次函数的最值问题,以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题的步 骤是: ①审清题意读懂题;②将实际问题转化为数学问题来解决;③归纳结论. 注意: 要坚持定义域优先的原则;求二次函数的最值要借助于图象即数形结合. 四、课堂运用 a的取值范围是 1.若基础数f(x)=x2+2(a—1)x+2在区间(一a,4)上是减函数,则实数 2•已知函数y=x+(2xT,下列说法正确的是.(填序号) 1有最小值丄,无最大值; 2 2有最大值—,无最小值; 2 3有最小值1,最大值2; 2 4无最大值,也无最小值. 3.已知函数y=x2—2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是. 答案与解析 1•【答案】(—3—3] 【解析】由二次函数的性质,可知4W—(a—1), 解得aw—3. 2•【答案】① 1 【解析】ty=x,、、2x-1在定义域[-,;)上是增函数, 2 111 y_f(),即函数最小值为,无最大值. 3•【答案】[1,2] 【解析】由y=x2—2x+3=(x—1)2+2知, 当x=1时,y的最小值为2, 当y=3时,x2—2x+3=3,解得x=0或x=2. 由y=x2—2x+3的图象知,当m€[1,2]时,能保证y的最大值为3,最小值为2. 1.巩固y卜丄x2十1的值域是. 2.函数y=—x2+6x+9在区间[a,b](a 2 3•若y=——,x^[-4,_1],则函数y的最大值为. x 答案与解析 1.【答案】(0,2] 【解析】观察可知y>0,当|x|取最小值时,y有最大值,所以当x=0时,y的最大值为2,即O 2.【答案】—20 【解析】y=—(x—3)2+18,•/a •函数y在区间[a,b]上单调递增,即—b2+6b+9=9,得b=0(b=6不合题意,舍去) —a+6a+9=—7,得a=—2(a=8不合题意,舍去). 3.【答案】2 2 【解析】函数y在[-4,-1]上是单调递增函数, x 2 故『max訂2. 拔高.2 1.已知函数f(x)=x2—2x+2. (1)求f(x)在区间上的最大值和最小值; 12 ⑵若g(x)=f(x)—mx在[2,4]上是单调函数,求m的取值范围. 2.若二次函数满足f(x+1)—f(x)=2x且f(0)=1. ⑴求f(x)的解析式; ⑵若在区间[—1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围.答案与解析 1.【答案】同解析 【解析】 (1)Tf(x)=x2—2x+2=(x—1)2+1,x[-,3], 2 •••f(x)的最小值是f (1)=1, 又f (2)弓f(3)=5, 所以,f(x)的最大值是f(3)=5, 1 即f(x)在区间[丄,3]上的最大值是5,最小值是1. 2 2 (2)■/g(x)=f(x)—mx=x—(m+2)x+2, •m―2_2或m_亠4,即mW2或m>6. 22 故m的取值范围是(一a,2]U[6,+s). 2.【答案】同解析 •c=1, 【解析】 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a丰0),由f(0)=1, •f(x)=ax2+bx+1. •/f(x+1)—f(x)=2x, •2ax+a+b=2x, 2a=2a=1ab=0b--1 •f(x)=x2—x+1. ⑵由题意: x2—x+1>2x+m在[—1,1]上恒成立, 即x2—3x+1—m>0在[—1,1]上恒成立. 2325 令g(x)=x-3x1-m=(x)-m, 3其对称轴为x=—, 2 •g(x)在区间[—1,1]上是减函数, •g(x)min=g (1)=1—3+1—m>0, •m<—1. 利用五调性求函数的最大(小)值: (1)定义最大值: 设函数的定义域为I,如果存在实数M满足: 对于任意的x€I,都 有: X;WM;存在x°€I,使得■1=M.那么,称M是函数y=妙的最大值(MaximumValue). 仿照最大值定义,可以给岀最小值(MinimumValue)的定义 (2)配方法: 研究二次函数|「-的最大(小)值,先配方成 (3)单调法: 一些函数的单调性,比较容易观察岀来,或者可以先证明岀函数的单调性,再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值 (4)图象法: 先作岀其函数图象后,然后观察图象得到函数的最大值或最小值. 六、课后作业 基础 1如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的实数x,都有f(1+x)=f(—
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- 函数 问题 教案
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