版高考理科数学一轮复习文档第一章第三节 简单的逻辑联结词全称量词与存在量词Word版含答案.docx
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第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
2019考纲考题考情
1.简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词。
(2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.量词及含有一个量词的命题的否定
(1)全称量词和存在量词
①全称量词有:
所有的,任意一个,任给一个,用符号“∀”表示;存在量词有:
存在一个,至少有一个,有些,用符号“∃”表示。
②含有全称量词的命题,叫做全称命题。
“对M中任意一个x,有p(x)成立”用符号简记为:
∀x∈M,p(x)。
③含有存在量词的命题,叫做特称命题。
“存在M中元素x0,使p(x0)成立”用符号简记为:
∃x0∈M,p(x0)。
(2)含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,綈p(x0)
∃x0∈M,p(x0)
∀x∈M,綈p(x)
1.用“并集”的概念来理解“或”,用“交集”的概念来理解“且”,用“补集”的概念来理解“非”。
2.记忆口诀:
(1)“p或q”,有真则真;
(2)“p且q”,有假则假;(3)“非p”,真假相反。
3.命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q);命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)。
一、走进教材
1.(选修1-1P26A组T3改编)命题“∀x∈R,x2+x≥0”的否定是( )
A.∃x0∈R,x
+x0≤0B.∃x0∈R,x
+x0<0
C.∀x∈R,x2+x≤0D.∀x∈R,x2+x<0
解析 由全称命题的否定是特称命题知命题B正确。
故选B。
答案 B
2.(选修1-1P18A组T1(3)改编)已知命题p:
2是偶数,命题q:
2是质数,则命题綈p,綈q,p∨q,p∧q中真命题的个数是( )
A.1 B.2C.3 D.4
解析 p和q显然都是真命题,所以綈p,綈q都是假命题,p∨q,p∧q都是真命题。
故选B。
答案 B
二、走近高考
3.(2017·山东高考)已知命题p:
∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:
若a>b,则a2>b2。
下列命题为真命题的是( )
A.p∧qB.p∧(綈q)
C.(綈p)∧qD.(綈p)∧(綈q)
解析 因为x>0,所以x+1>1,ln(x+1)>0,所以对于∀x>0,ln(x+1)>0,故p为真命题。
由1>-2,12<(-2)2可知q是假命题,所以綈q为真命题。
根据复合命题真值表可知p∧(綈q)为真命题。
故选B。
答案 B
4.(2016·浙江高考)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n 解析 由全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题得,命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是“∃x∈R,∀n∈N*,使得n 故选D。 答案 D 三、走出误区 微提醒: ①命题涉及的知识载体出错;②复合命题的否定中出现逻辑错误;③参数的讨论出错。 5.下列命题中的假命题是( ) A.∃x0∈R,lgx0=1B.∃x0∈R,sinx0=0 C.∀x∈R,x3>0D.∀x∈R,2x>0 解析 当x=10时,lg10=1,则A为真命题;当x=0时,sin0=0,则B为真命题;当x≤0时,x3≤0,则C为假命题;由指数函数的性质知,∀x∈R,2x>0,则D为真命题。 故选C。 答案 C 6.已知命题p,q,“綈p为真”是“p∧q为假”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析 由綈p为真知,p为假,可得p∧q为假;反之,若p∧q为假,则可能是p真q假,从而綈p为假,故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件。 故选A。 答案 A 7.已知命题p: ∀x∈R,x2-a≥0;命题q: ∃x0∈R,x +2ax0+2-a=0。 若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围为________。 解析 由已知条件可知p和q均为真命题,由命题p为真得a≤0,由命题q为真得Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≤-2或a≥1,所以a≤-2。 答案 (-∞,-2] 考点一简单的逻辑联结词微点小专题 方向1: 真假判断 【例1】 (2019·安徽省示范高中模拟)已知下列两个命题: p1: 存在正数a,使函数y=2x+a·2-x在R上为偶函数; p2: 函数y=sinx+cosx+ 无零点。 则在命题q1: p1∨p2,q2: p1∧p2,q3: (綈p1)∨p2,q4: p1∧(綈p2)中,真命题是( ) A.q1,q4 B.q2,q3C.q1,q3 D.q2,q4 解析 当a=1时,y=2x+a·2-x在R上是偶函数,所以p1为真命题。 当x= 时,函数y=sinx+cosx+ =0,所以命题p2是假命题。 所以p1∨p2,p1∧(綈p2)是真命题。 故选A。 答案 A “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤 1.确定命题的构成形式。 2.判断其中命题p、q的真假。 3.确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假。 方向2: 求参数的取值范围 【例2】 已知p: ∃x∈R,mx2+1≤0,q: ∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围是( ) A.[2,+∞) B.(-∞,-2] C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.[-2,2] 解析 依题意知p,q均为假命题,当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是真命题时,则有Δ=m2-4<0,-2 因此由p,q均为假命题得 即m≥2。 故选A。 答案 A 【互动探究】 (1)本例条件不变,若p∧q为真,则实数m的取值范围是________。 (2)本例条件不变,若p∧q为假,p∨q为真,则实数m的取值范围是________。 解析 (1)依题意,当p是真命题时,有m<0;当q是真命题时,有-2 可得-2 (2)若p∧q为假,p∨q为真,则p、q一真一假。 当p真q假时 所以m≤-2;当p假q真时 所以0≤m<2。 所以m的取值范围是(-∞,-2]∪[0,2)。 答案 (1)(-2,0) (2)(-∞,-2]∪[0,2) 根据命题真假求参数的步骤 1.先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)。 2.然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围。 3.最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围。 【题点对应练】 1.(方向1)已知命题p: 对任意的x∈R,总有2x>0;q: “x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( ) A.p∧qB.(綈p)∧(綈q) C.(綈p)∧qD.p∧(綈q) 解析 由指数函数的性质知命题p为真命题。 易知“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,所以命题q是假命题。 由复合命题真值表可知p∧(綈q)是真命题。 故选D。 答案 D 2.(方向2)已知命题p: 关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q: 关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数。 若p或q是真命题,p且q是假命题,则实数a的取值范围是( ) A.(-12,-4]∪[4,+∞)B.[-12,-4]∪[4,+∞) C.(-∞,-12)∪(-4,4)D.[-12,+∞) 解析 命题p等价于Δ=a2-16≥0,即a≤-4或a≥4;命题q等价于- ≤3,即a≥-12。 由p或q是真命题,p且q是假命题知,命题p和q一真一假。
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