函数极值及规划问题解读Word格式.docx

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先将目标函数转化成最小值问题：

min（-f）=-2x1-5x2

具体程序如下：

f=[-2-5];

A=[10;

01;

12];

b=[4;

3;

8];

lb=[00];

[x,fval]=linprog（f,A,b,[],[],lb）

f=fval*（-1）

运行结果：

x=23

fval=-19.0000

maxf=19

【例5.2】：

minf=5x1-x2+2x3+3x4-8x5

s.t–2x1+x2-x3+x4-3x5≤6

2x1+x2-x3+4x4+x5≤7

0≤xj≤15j=1,2,3,4,5

编写以下程序：

f=[5-123-8];

A=[-21-11-3;

21-141];

b=[6;

7];

lb=[00000];

ub=[1515151515];

[x,fval]=linprog（f,A,b,[],[],lb,ub）

x=

0.0000

0.0000

8.0000

15.0000

minf=

-104

【例5.3】：

假设某厂计划生产甲、乙两种产品，现库存主要材料有A类3600公斤，B类2000公斤，C类3000公斤。

每件甲产品需用材料A类9公斤，B类4公斤，C类3公斤。

每件乙产品，需用材料A类4公斤，B类5公斤，C类10公斤。

甲单位产品的利润70元，乙单位产品的利润120元。

问如何安排生产，才能使该厂所获的利润最大。

建立数学模型：

设x1、x2分别为生产甲、乙产品的件数。

f为该厂所获总润。

maxf=70x1+120x2

s.t9x1+4x2≤3600

4x1+5x2≤2000

3x1+10x2≤3000

x1,x2≥0

将其转换为标准形式：

minf=-70x1-120x2

x1,x2≥0

编写以下程序：

f=[-70-120];

A=[94;

45;

310];

b=[3600;

2000;

3000];

lb=[00];

[x,fval,exitflag]=linprog（f,A,b,[],[],lb）;

x,exitflag,maxf=-fval

运行结果：

x=

200.0000

240.0000

exitflag=

1

maxf=

4.2800e+004

【例5.4】：

某公司有一批资金用于4个工程项目的投资，其投资各项目时所得的净收益（投入资金百分比）如下表：

工程项目收益表

工程项目

A

B

C

D

收益（%）

15

10

8

12

由于某种原因，决定用于项目A的投资不大于其他各项投资之和而用于项目B和C的投资要大于项目D的投资。

试确定该公司收益最大的投资分配方案。

设x1、x2、x3、x4分别代表用于项目A、B、C、D的投资百分数。

maxf=0.15x1+0.1x2+0.08x3+0.12x4

s.tx1-x2-x3-x4≤0

x2+x3-x4≥0

x1+x2+x3+x4=1

xj≥0j=1,2,3,4

minz=-0.15x1-0.1x2-0.08x3-0.12x4

-x2-x3+x4≤0

编写程序：

f=[-0.15;

-0.1;

-0.08;

-0.12];

A=[1-1-1-1;

0-1-11];

b=[0;

0];

Aeq=[1111];

beq=[1];

lb=zeros（4,1）;

[x,fval,exitflag]=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb）

fmax=-fval

运行结果：

0.5000

0.2500

0.0000

fval=

-0.1300

1

fmax=

0.1300

即4个项目的投资百分数分别为50%，25%，0,25%时可使该公司获得最大的收益，其最大收益可到达13%。

过程正常收敛。

【例5.5】：

有A、B、C三个食品加工厂，负责供给甲、乙、丙、丁四个市场。

三个厂每天生产食品箱数上限如下表：

工厂

生产数

60

40

50

四个市场每天的需求量如下表：

市场

甲

乙

丙

丁

需求量

20

35

33

34

从各厂运到各市场的运输费（元/每箱）由下表给出：

市场

工

厂

2

1

3

4

求在基本满足供需平衡的约束条件下使总运输费用最小。

设aij为由工厂i运到市场j的费用，xij是由工厂i运到市场j的箱数。

bi是工厂i的产量，dj是市场j的需求量。

b=（604050）d=（20353334）

s.t

xij≥0

AA=[2132;

1321;

3411];

f=AA（:

）;

A=[100100100100

010010010010

001001001001];

Aeq=[111000000000

000111000000

000000111000

000000000111];

b=[60;

40;

50];

beq=[20;

35;

33;

34];

lb=zeros（12,1）;

[x,fval,exitflag]=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb）

20.0000

35.0000

33.0000

18.4682

15.5318

122.0000

即运输方案为：

甲市场的货由B厂送20箱；

乙市场的货由A厂送35箱；

丙商场的货由C厂送33箱；

丁市场的货由B厂送18箱，再由C厂送16箱。

最低总运费为：

122元。

5.20-1整数规划求极值

形如：

minfTX

xi为0或1

其中X为n维未知向量，fT=[f1,f2,…fn]为目标函数系数向量，小于等于约束系数矩阵A为m×

5.2.1分支定界法

在Matlab中提供了bintprog函数实现0-1型线性规划，采用的是分支定界法原理，其调用格式如下：

x=bintprog（f,A,b）

x=bintprog（f,A,b,Aeq,beq）

[x,fval]=bintprog（…）

[x,fval,exitflag]=bintprog（…）

[x,fval,exitflag,output]=bintprog（…）

[x,fval,exitflag,output,lambda]=bintprog（…）

说明：

x=bintprog（f,A,b）返回值x为最优解向量。

x=bintprog（f,A,b,Aeq,beq）作有等式约束的问题。

[x,fval]=bintprog（…）左端fval返回解x处的目标函数值。

【例5.6】求解以下问题：

maxz=x1+1.2x2+0.8x3

st

2.1x1+2x2+1.3x3<

=5

0.8x1+x2<

x1+2.5x2+2x3<

=8

2x2<

x1,x2,x3为0或1

解答:

首先，将其改变成0-1整数规划函数bintprog要求的标准形式：

minz=-x1-1.2x2-0.8x3

Matlab求解：

c=[-1,-1.2,-0.8];

A=[2.1,2,1.3;

0.8,1,0;

1,2.5,2;

0,2,0];

b=[5;

5;

8;

[x,fval]=bintprog（c,A,b）;

x

fmax=-fval

运行结果可得：

x=

0

2.2000

【例5.7】某快餐连锁经营公司有7个地点（A1，A2，---，A7）可以设立快餐店，由于地理位置因素，设立快餐店时必须满足以下要求：

A1，A2，A3三个地点最多可选两个，A1和A5至少选取一个，A6和A7至少选取一个。

已知各个地点设立快餐店的投入和预计收益如表所示。

已知目前公司有650万元可以投资。

问怎样投资才能使公司预计收益最高？

地点

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

利润/万元

11

5

投资/万元

103

140

95

150

193

160

80

解：

这是一个选址问题。

首先引入0-1变量xi;

xi=1,选择Ai地址；

xi=0,不选择Ai地址。

则该问题的数学模型可以表示如下：

maxz=10x1+11x2+8x3+12x4+15x5+12x6+5x7

（1）103x1+140x2+95x3+150x4+193x5+160x6+80x7<

=650

（2）x1+x2+x3<

=2

（3）x4+x5>

=1

（4）x6+x7>

（5）xi=0,1

matlab求解程序如下：

c=[-10-11-8-12-15-12-5];

A=[1031409515019316080;

1110000;

000-1-100;

00000-1-1];

b=[650;

2;

-1;

-1];

运行程序得：

x=[1;

1;

0;

1],fval=50

5.2.2枚举法

除了采用分支定界法原理计算0-1整数规划外，还可以采用枚举法

枚举法程序bintLp_E.m

function[x,f]=bintLp_E（c,A,b,N）

%[x,f]=bintLp_E（c,A,b,N）:

用枚举法求解下列0-1线性规划

%minf=c'

*x,s.t.A*x<

=b,x的分量全为0或1

%其中N表示约束条件A*x<

=b中的前N个是等式，N=0时可以省略

%返回结果x是最优解，f是最优解处的函数值

ifnargin<

N=0;

end

c=c（:

b=b（:

[m,n]=size（A）;

x=[];

f=abs（c'

）*ones（n,1）;

i=1;

whilei<

=2^n

B=de2bi（i-1,n）'

;

t=A*B-b;

t11=find（t（1:

N,:

）~=0）;

t12=find（t（N+1:

m,:

）>

0）;

t1=[t11;

t12];

ifisempty（t1）

f=min（[f,c'

*B]）;

ifc'

*B==f

x=B;

end

i=i+1;

注意：

以上程序需保存至搜索路径之下才可以调用。

【例5.8】求解下列0-1型整数线性规划。

分别采用二种算法计算如下：

c=[3-25];

a=[12-1;

14-1;

110;

041];

b=[2;

4;

6];

[x,fval]=bintprog（c,a,b）

[xx,ffval]=bintLp_E（c,a,b）

计算结果如下：

-2

xx=

ffval=

【例5.9】某公司有A1,A2,A3三项业务需要B1,B2,B3三位业务员处理,每个业务员处理业务的费用如表所示,其中业务员B2不能处理业务A1,问应指派何人去完成何项业务,使所需总费用最少?

B1

B2

B3

1500

不能处理

800

1200

900

750

解:

设xij表示第i项业务被第j位业务员处理，其中不能处理时可以认为费用非常高，比如999999元，则依题意可得如下模型：

minz=1500x11+999999x12+800x13+1200x21

+900x22+750x23+900x31+800x32+900x33

x11+x12+x13=1

x21+x22+x23=1

x31+x32+x33=1

x11+x21+x31=1

x12+x22+x32=1

x13+x23+x33=1

xij=0,1

编写matlab程序：

c=[15009999998001200900750900800900];

Aeq=[111000000;

000111000;

000000111;

100100100;

010010010;

001001001];

beq=ones（6,1）;

[x,fval]=bintprog（c,[],[],Aeq,beq）

[xx,ffval]=bintLp_E（c,Aeq,beq,6）

运行程序可得：

x=xx=[001010100];

fval=ffval=2600

答案:

A1被B3处理，A2被B2处理，A3被B1处理时总费用最少,只需2600元.

5.3整数规划求极值

MATLAB关于整数规划没有内带的函数，目前关于整数规划的自编程序已编好，以下是其中之一：

function[x,val,status]=ip（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,M,e）

options=optimset（'

display'

'

off'

bound=inf;

[x0,val0]=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,[],options）;

[x,val,status,b]=rec（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,val0,M,e,bound）;

function[xx,val,status,bb]=rec（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x,v,M,e,bound）

[x0,val0,status0]=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,[],options）;

ifstatus0<

=0|val0>

bound

xx=x;

val=v;

status=status0;

bb=bound;

return;

ind=find（abs（x0（M）-round（x0（M）））>

e）;

ifisempty（ind）

status=1;

ifval0<

x0（M）=round（x0（M））;

xx=x0;

val=val0;

bb=val0;

else

val=v;

bb=bound;

return

[rowcol]=size（ind）;

br_var=M（ind

（1））;

br_value=x（br_var）;

fori=2:

col

tempbr_var=M（ind（i））;

tempbr_value=x（br_var）;

iftempbr_value>

br_value

br_var=tempbr_var;

br_value=tempbr_value;

ifisempty（A）

[rc]=size（Aeq）;

else

[rc]=size（A）;

A1=[A;

zeros（1,c）];

A1（end,br_var）=1;

b1=[b;

floor（br_value）];

A2=[A;

A2（end,br_var）=-1;

b2=[b;

-ceil（br_value）];

[x1,val1,status1,bound1]=rec（f,A1,b1,Aeq,beq,lb,ub,x0,val0,M,e,bound）;

status=status1;

ifstatus1>

0&

bound1<

xx=x1;

val=val1;

bound=bound1;

bb=bound1;

[x2,val2,status2,bound2]=rec（f,A2,b2,Aeq,beq,lb,ub,x0,val0,M,e,bound）;

ifstatus2>

bound2<

status=status2;

xx=x2;

val=val2;

bb=bound2;

请先将以上程序保存至搜索路径之下，函数名为ip.m

函数调用规则如下：

[x,val,status]=ip（c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,M,e）

该函数求解如下整数规划问题：

Minc*x

Subjectto

A*x<

=b

Aeq*x=beq

Lb<

=x<

=ub

M是存放整数变量编号的向量

e是整数取值的容忍度，当一个变量同其取值之间差值小于e时，该变量被认为是已经为整数。

一般e=5.96e-08;

该函数返回变量如下：

X:

整数规划的解

Val;

目标函数最优值

Status=1如果成功

=0如果迭代到线性规划的最大迭代次数

=-1如果没有解

【例5.10】求解满足以下条件的极值：

maxz=20x1+10x2

5x1+4x2<

=24

2x1+5x2<

=13

x1,x2>

=0

x1,x2取整数

分析：

由于函数是求极小值，故先变换成求负的最小值，然后变成正的最大值。

具体如下：

c=[-20,-10];

A=[54;

25];