不等式选讲.docx
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不等式选讲
不等式选讲
1.绝对值不等式
定理1:
如果a,b是实数,则|a+b|W|a|+|b|,当且仅当ab>0时,等号成
立.
定理2:
如果a,b,c是实数,那么|a—c|<|a—b|+|b—c|,当且仅当(a—b)(b
—©>0时,等号成立.
2.|ax+b|
(1)|ax+b|
—c (2)|ax+b|>c(c>0)? ax+b》c或ax+bw—c. 3.X—a|+|x—b|>c(c>0)和|x—a|+|x—b| (1)利用绝对值不等式几何意义求解,体现数形结合思想. (2)利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想. (3)通过构建函数,利用函数图像求解,体现函数与方程思想. 4.证明不等式的基本方法 (1)比较法; (2)综合法;(3)分析法;(4)反证法;(5)放缩法. 5.二维形式的柯西不等式 若a,b,c,d€R,则(a2+b2)(c2+d2)>.(ac土bd)2,当且仅当ad三bc.时等号成立. 二.真题训练 1.设不等式X—2|va(a€N*)的解集为A,且A,2? a. (1)求a的值; (2)求函数f(x)=X+a|+|x—2|的最小值. 2.已知a>b>0,求证: 2a3—b3>2ab2—a2b. •迺呂e宀0vxv二X)0v-(x)R——(e+X0)JIXF •LQ圧殍二e——XIH(x=報HSH•寸 QNe .0Aoo+q0+e-33^UHb+! ! £: +—m〈+M山。 £〈e枷(0) LLL ^(L)二L-L——一鐸碍IO0人(0+x)4m〈-0——x-——eh(x)4^hsh0 (2)求不等式f(x)>X2—8x+15的解集. 6.已知函数f(x)=|2x—1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当a=—2时,求不等式f(x) ⑵设a>—1,且当x€I—2,舟)寸,f(x) 7.已知f(x)=|ax+1|(a€R),不等式f(x)>5的解集为{x|x>2或x<—3}. (1)求a的值; (2)若不等式f(x)—fg卜k在R上有解,求k的取值范围. 8.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明: 1 (1)ab+bc+ac<3; 2.22 ⑵b+G+1‘1 3322 9. (1)设a>b>0,证明: 3a+2b>3ab+2ab; (2)证明: a6+8b6+27c6>2a2b2c2; ⑶若a,b,c为正实数,证明: a2+4b2+9c2》2ab+3ac+6bc. 10.已知a,b为正实数.a2b2 (1)求证: b+"aAa+b; f1—x2x2 (2)利用 (1)的结论,求函数+—(0 xI—x 11.已知函数f(x)=2以+75二x. ⑴求证: f(x)w5,并说明等号成立的条件; (2)若关于x的不等式f(x)w|m—2|恒成立,求实数m的取值范围. 不等式选讲答案 3113 1.解: ⑴因为壬A,且2? A,所以;2—2
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