优选考研数二真题及解析.docx

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优选考研数二真题及解析

1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上.）

（1）limxlnx

x0

⑵函数yy（x）由方程sin（x2y2）exxy20所确定，则®

dx

⑶设F（x）X（21）dt（x0）,则函数F（x）的单调减少区间是

1Vt

tanx,

（4）^=dx.

..cosx

1

⑸已知曲线yf（x）过点（0,；）,且其上任一点（x,y）处的切线斜率为xln（1x2）,则

f（x）.

二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）

三、（本题共5小题,每小题5分,满分25分.）

（1）设ysin[f（x2）],其中f具有二阶导数，求空dx

（2）求limx（x2100x）.

x

dx.

cos2x

3dx.

（1x）

⑸求微分方程（x21）dy（2xycosx）dx0满足初始条件yx01的特解.

四、（本题满分9分）

设二阶常系数线性微分方程yyyex的一个特解为ye2x（1x）ex,试

确定常数，，，并求该方程的通解•

五、（本题满分9分）

设平面图形A由x2y22x与yx所确定，求图形A绕直线x2旋转一周所得旋转体的体积•六、（本题满分9分）

作半径为r的球的外切正圆锥，问此圆锥的高h为何值时，其体积V最小，并求出该最小值•七、（本题满分6分）

设x0,常数ae,证明（ax）aaax

八、（本题满分6分）

1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）

（1）【答案】0

求解.

两边对x求导,得

0,

cos（x2y2）（2x2yy）exy22xyy

化简得

y2ex2xcos（x2y2）

2ycos（x2y2）2xy

【相关知识点】复合函数求导法则:

如果ug（x）在点x可导，而y

f（x）在点ug（x）可导，则复合函数yfg（x）在

点x可导,且其导数为

⑶【答案】0

【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性

若函数F（x）严格单调减少，则F（x）

31

cos2xdcosx2cos2xC.

所以函数F（x）单调减少区间为0

1

x—.

4

【相关知识点】函数的单调性：

设函数

yf（x）在［a,b］上连续,在（a,b）内可导.

【解析】这是微分方程的简单应用

由题知

一xln（1x2）,分离变量得dyxln（1x2）dx,两边对x积分有dx

由分部积分法得

因为曲线yf（x）过点（0,1）,故C2,所以所求曲线为

12

y1（1x）ln（1

二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）

（1）【答案】（D）

【解析】因为当x0时，sin是振荡函数，所以可用反证法

x

若取

X1k

则丄sin1

x1k

（k）2sink

0,

x2k

122

（2kJ,（k1,2,L,）.

这表

因此，当k时，有心0及X2k0,但变量^sin1或等于0或趋于

xx

明当x0时它是无界的，但不是无穷大量，即（D）选项正确.

⑵【答案】（A）

【解析】利用函数连续定义判定，即如果函数在X。

处连续，则有

limf（x）limf（x）f（x0）.

xx0xxg

由题可知

（3）【答案】（D）

【解析】这是分段函数求定积分

当0x1时，0xt1,故f（t）t2,所以

x

xx21313

F（x）f（t）dtt2dtt3（x31）.

11313

当1x2时,1tx2,故f（t）1,所以

Xxx

F（x）1f（t）dt11dtt1x1.

应选（D）.

⑷【答案】（B）

【解析】判定函数f（x）零点的个数等价于判定函数yf（x）与x的交点个数

对函数f（x）lnx—k两边对x求导，得f（x）1-.

exe

令f（x）0,解得唯一驻点xe,

f（x）0,0xe;f（x）严格单调增加,

f（x）0,ex;f（x）严格单调减少,

所以xe是极大值点，也是最大值点，最大值为f（e）lne-kk0.e

x

lim（lnx—k）

x0e

x

lim（Inx—k）xe

由连续函数的介值定理知在（0,e）与（e,）各有且仅有一个零点（不相同）.

故函数f（x）lnx-k在（0,）内零点个数为2,选项（B）正确.

e

⑸【答案】（C）

【解析】方法一：

由几何图形判断•

由f（x）f（x）,知f（x）为奇函数，图形关于原点对称；

在（0,）内f（x）0,f（x）0,f（x）图形单调增加且向上凹

根据图可以看出f（x）在（，0）内增加而凸，f（x）0,f（x）0,选（C）.方法二：

用代数法证明.

对恒等式f（x）f（x）两边求导，得

f（x）f（x）,f（x）f（x）.

当x（,0）时，有x（0,）,所以

f（x）f（x）0,f（x）

f（x）0,

故应选（C）.

三、（本题共5小题,每小题5分,满分25分.）

2x,

（1）【解析】ysin[f（x2）]cos[f（x2）]f（x2）

22

cos[f（x）]f（x）2.

【相关知识点】复合函数求导法则:

点x可导,且其导数为

（2）【解析】应先化简再求函数的极限

lim=100x

xx2

100x

100

lim

x-x21001

x

因为x0,所以

100

lim

x-x21001

x

（3）【解析】先进行恒等变形，再利用基本积分公式和分部积分法求解

1121[ln（cos）ln（cos0）]lnln2.

82482284

（4）【解析】用极限法求广义积分

2b1111

lim20

b2（b1）2222

q（x）的通解公式为

【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程yp（x）y

p（x）dxp（x）dx

e（q（x）edxC）,其中C为常数.

四、（本题满分9分）

【解析】要确定常数

只需将特解代入原微分方程后，用比较系数法即得

对于特解

2x

ye

（1

x）ex,有

y

c2x

2e

Xe

（1x）ex

c2x

2e

x

（2x）e,

y

c2x

2e

（2

x）ex

2x

4e

2x

e（2x）e4e（3x）e

代入方程y

yex,得恒等式

化简得

.2x

4e（3

x）ex

2x

2e（2x）e

2xx

e（1x）e

（4

）e2x（32

）ex（1

x

）xe

比较同类项系数，得

解之得3,2,

1.

于是原方程为y

3y

2y

ex,所对应的齐次微分方程y

3y2y0的特征方

程为r23r20,解之得

ri

1,r22.

所以微分方程y3y

2y

ex的通解为

2x

yqec2e

Cie

2x2xx

c2ee（1x）e

x

Ge

2xx

c2exe.

五、（本题满分9分）

【解析】利用定积分求旋转体的体积

用微元法.

x2y22x等价于（x1）2y2

解法一：

考虑对y的积分，则边界线为

为1「1y2与xy（0y1）,

如右图所示.当yydy时,

2（1y）2dy.

所以V211y2（1y）2dy.

1_

对于01y2dy,令ysint,则dycostdt,所以

再令tsin,则dtcosd

所以V21（2x）（、2x—x2x）dx2（--）.

043

六、（本题满分9分）

【解析】这是一个将立体几何问题转化为函数求最值的问题

于是圆锥体积

对上式两端对h求导,并令V0,得

12h（h4r）

3r（h2r）2

122h（h2r）h2

3r（h2r）2

得唯一驻点h4r,且

2rh4r,V0

4rh,V0

所以h4r为极小值点也是最小值点，最小体积V（4r）-r3.

3

七、（本题满分9分）

【解析】首先应简化不等式，从中发现规律

当x0,常数ae时，原不等式两边取自然对数可化为

aln（ax）（ax）lna或

axa

证法

令f（x）（ax）lnaaIn（ax）,则f（x）

Ina

由ae,x0,知Ina1,—^1,故f（x）0（x0）.

ax

从而f（x）为严格单调递增函数，且

即

（ax）lnaaln（ax）0,

所以

aax

（ax）a.

证法二：

lnx1lnx

令f（x）,则f（x）2

xx

当xa

1lnx

e时，有f（x）20,

x

所以函数在xae为严格单调递减函数，即f（xa）f（a）,

所以有

ln（ax）lnaaxa'

即

aax

（ax）a.

八、（本题满分9分）

【解析】证法一：

用微分中值定理

对任意给定的x[0,a],由拉格朗日中值定理,得

由f（0）0,知f（x）f（）x.因为Mmax|f（x）|,所以

0xa

|f（x）||f（）|xMx,

将两边从0a做x的定积分，有

证法二：

用牛顿-莱布尼茨公式

对任意给定的x[0,a],以及f（0）0,可知

从而|f（x）|：

|f（t）|dtMx,以下同证法

证法三：

分部积分法•

aa

[f（a）（aa）f（0）（0a）]0（ax）f（x）dx0（ax）f（x）dx.

所以

a

11

Maxx2Ma2.

2o2