小学奥数牛吃草问题二专项练习及答案解析.docx
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小学奥数牛吃草问题二专项练习及答案解析
教学目标
1.理解牛吃草这类题目的解题步骤,掌握牛吃草问题的解题思路.
2.初步了解牛吃草的变式题,会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系
知识精讲
英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中,有一道关于牛在牧场上吃草的问题,即牛在牧场上吃草,牧场上的草在不断的、均匀的生长.后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”.
“牛吃草”问题主要涉及三个量:
草的数量、牛的头数、时间.难点在于随着时间的增长,草也在按不变的速度均匀生长,所以草的总量不定.“牛吃草”问题是小学应用题中的难点.
解“牛吃草”问题的主要依据:
1草的每天生长量不变;
2每头牛每天的食草量不变;
3草的总量草场原有的草量新生的草量,其中草场原有的草量是一个固定值
4新生的草量每天生长量天数.
同一片牧场中的“牛吃草”问题,一般的解法可总结为:
⑴设定1头牛1天吃草量为“1”;
⑵草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数
较少天数);
⑶原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数;
⑷吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度);
⑸牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度.
“牛吃草”问题有很多的变例,像抽水问题、检票口检票问题等等,只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路,才能以不变应万变,轻松解决此类问题.
例题精讲
模块一、“牛”吃草问题的变例
例1】在地铁车站中,从站台到地面有一架向上的自动扶梯.小强乘坐扶梯时,如果每秒向上迈一级台阶,那么他走过20级台阶后到达地面;如果每秒向上迈两级台阶,那么走过30级台阶到达地面.从站台到地面有级台阶.
考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】填空
关键词】对比思想方法
解析】本题非常类似于“牛吃草问题”,如将题目改为:
在地铁车站中,从站台到地面有一架向上的自动扶梯.小强乘坐扶梯时,如果每秒向上迈一级台阶,那么他走过20秒后到达地面;如果每秒向上迈两级台阶,那么走过15秒到达
地面.问:
从站台到地面有多少级台阶?
”
采用牛吃草问题的方法,电梯20155秒内所走的阶数等于小强多走的阶数:
21512010阶,电梯的速度为1052阶/秒,扶梯长度为20(12)60(阶)。
【答案】60级
【巩固】两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走,男孩每秒可走3级梯级,女孩每秒可走2级梯级,结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒,女孩走了300秒。
问:
该扶梯共有多少级梯级?
【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】对比思想方法
【解析】本题与牛吃草问题类似,其中扶梯的梯级总数相当于原有草量;而自动扶梯运行的速度则相当于草的增长速度。
并且上楼的速度要分成两部分︰一部分是孩子自己的速度,另一部分是自动扶梯的速度。
自动扶梯的速度(女孩每秒走的梯级×女孩走的时间-男孩每秒走的梯级×男孩走的时间)÷(女孩走的时间-男孩走的时间)(23003100)(300100)1.5,自动扶梯的梯级总数=女孩每秒走的梯级×女孩走的时间-自动扶梯的速度×女孩走的时间
23001.5300600450150(级)所以自动扶梯共有150级的梯级。
【答案】150级
【巩固】自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢,于是在行驶的扶梯上,男孩每秒向上走1梯级,女孩每3秒钟走2梯级。
结果男孩用50秒到达楼上,女孩用60秒到达楼上。
该楼梯共有多少级?
【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】对比思想方法
【解析】该题属于草匀速减少的情况,扶梯的运行速度:
(5016032)(6050)1。
自动扶梯的梯级总数:
50(11)100(级)
【答案】100级
【例2】小明从甲地步行去乙地,出发一段时间后,小亮有事去追赶他,若骑自行车,每小时行15千米,3小时可以追上;若骑摩托车,每小时行35千米,1小时可以
追上;若开汽车,每小时行45千米,分钟能追上。
【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】填空
【关键词】对比思想方法
【解析】本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合.小明在312小时内走了15335110千米,那么小明的速度为1025(千米/时),追及距离为
3
155330(千米).汽车去追的话需要:
30455(小时)45(分钟).
4
【答案】45分钟
【例3】有固定速度行驶的甲车和乙车,如果甲车以现在速度的2倍追赶乙车,5小时后甲车追上乙车;如果甲车以现在速度的3倍追赶乙车,3小时后甲车追上乙车,那么如果甲车以现在的速度去追赶乙车,问:
几个小时后甲车追上乙车?
【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】对比思想方法
【解析】分析知道甲车相当于“牛”,甲追赶乙的追及路程相当于“原有草量”,乙车相当于
“新生长的草”.
设甲车的速度为“1”,那么乙车532小时走的路程为25331,所以乙的速度为120.5,追及路程为:
20.557.5.如果甲以现在的速度追赶乙,追上的时间为:
7.510.515(小时).
【答案】15小时
关键词】对比思想方法
解析】可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量,骑车人的速度看成草生长的
速度,所以骑车人速度是:
(600148007)(147)400(米/分),开始相差的路程为:
(600400)142800(米),所以中速车速度为:
28008400750(米/分).
答案】750米/分
例5】甲、乙、丙三车同时从A地出发到B地去.甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米.有一辆卡车同时从B地迎面开来,分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇,求丙车的速度.
考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答关键词】对比思想方法
解析】相遇问题可以看成是草匀速减少的过程,全程看成是原有草量,卡车速度看成是草匀速减少的速度。
所以卡车速度为:
(606487)(76)24(千米/时),全程:
(6024)6504(千米),丙车速度为:
50482439(千米/时)答案】39千米/小时
巩固】小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去.小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分钟16米.在他们出发的同时,风间从公园迎面走来,分别在他们出发后6分钟、7分钟、8分钟先后与小新、正南、妮妮相遇,求妮妮的速度.考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答关键词】对比思想方法
解析】当小新和风间相遇时,正南落后小新6201624(米),依题意知正南和风间走这24米需要761(分钟),正南和风间的速度和为:
24124(米/分),风间的速度为:
24168(米/分),学校到公园的距离为:
247168(米).所以妮妮的速度为:
1688813(米/分).
答案】13米/分钟
例6】小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。
第一个桶距水
缸有1米,小方用3次恰好把桶装满;第二个桶距水缸有2米,小方用4次恰好把桶装满。
第三个桶距水缸有3米,那么小方要多少次才能把它装满(假设小方走路的速度不变,水从杯中流出的速度也不变)
考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答
关键词】对比思想方法
解析】小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水,同时多走了24135米路,所以从杯中流出的速度是150.2(杯/米),于是1桶水原有水量等于330.22.4杯水,所以小方要2.4(130.2)6次才能把第三个桶装满。
答案】6次
例7】有一个水池,池底存了一些水,并且还有泉水不断涌出。
为了将水池里的水抽干,原计划调来8台抽水机同时工作。
但出于节省时间的考虑,实际调来了9台抽水
机,这样比原计划节省了8小时。
工程师们测算出,如果最初调来10台抽水机,
将会比原计划节省12小时。
这样,将水池的水抽干后,为了保持池中始终没有水,还应该至少留下台抽水机。
【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】填空【关键词】对比思想方法,陈省身杯,五年级
【解析】设每台抽水机每小时抽1个单位的水,原计划需要t小时抽完,则原计划8个小时抽的水量为8t,9台抽水机时抽水量为9(t8),10台抽水机时抽水量为10(t12)所以,8个小时的出水量为8t9(t8)72t,12个小时的出水量为8t10(t12)1202t,而泉水的出水速度是一定的,所以1202t1.5(72t),解得t24,所以每小时出水量为(7224)86,所以需要留下6台抽水机。
【答案】6台抽水机
模块二、“牛”的数量发生变化
【例8】有一牧场,17头牛30天可将草吃完,19头牛则24天可以吃完.现有若干头牛吃了6天后,卖掉了4头牛,余下的牛再吃两天便将草吃完.问:
原来有多少头牛吃草(草均匀生长)?
【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】对比思想方法
【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”,那么每天生长的草量为1730192430249,原有草量为:
17930240.
现有若干头牛吃了6天后,卖掉了4头牛,余下的牛再吃两天便将草吃完,如果不卖掉这4头牛,那么原有草量需增加428才能恰好供这些牛吃8天,所以这些牛的头数为
24088940(头).
【答案】40头
【例9】某建筑工地开工前运进一批砖,开工后每天运进相同数量的砖,如果派15个工人砌砖墙,14天可以把砖用完,如果派20个工人,9天可以把砖用完,现在派若干名工人砌了6天后,调走6名工人,其余工人又工作4天才砌完,问原来有多少工人来砌墙?
【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】对比思想方法
【解析】开工前运进的砖相当于“原有草量”,开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”,工人砌砖相当于“牛在吃草”.所以设1名工人1天砌砖数量为“1”,那么每天运来的砖为15142091496,原有砖的数量为:
15614126.
现在派若干名工人砌了6天后,调走6名工人,其余工人又工作4天才砌完,如果不调走6名工人,那么这些工人共砌10天可砌完12661064210,所以原有工人2101021名.
【答案】21名
【例10】一片草地,可供5头牛吃30天,也可供4头牛吃40天,如果4头牛吃30天,又增加了2头牛一起吃,还可以再吃几天?
【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答【关键词】对比思想方法
【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”,那么每天生长的草量为44053040301,原有草量为:
5130120.如果4头牛吃30天,那么将会吃去30天的新生长草量以及90原有草量,此时原有草量还剩1209030,而牛的头数变为6,现在就相当于:
“原有草量30,每天生长草量1,那么6头牛吃几天可将它吃完?
”易得答案为:
30616(天).
答案】6天
【例11】某建筑工地开工前运进一批砖,开工后每天运进相同数量的砖,如果派250个工
人砌砖墙,6天可以把砖用完,如果派160个工人,10天可以把砖用完,现在派120名工人砌了10天后,又增加5名工人一起砌,还需要再砌几天可以把砖用完?
【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】对比思想方法
【解析】开工前运进的砖相当于“原有草量”,开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”,工人砌砖相当于“牛在吃草”.所以设1名工人1天砌砖数量为“1”,那么每天运来的砖为16010250610625,原有砖的数量为:
2502561350.
如果120名工人砌10天,将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖,还剩1350950400的原有的砖未用,变成1205125人来砌砖,还需要:
400125254(天).【答案】4天
【巩固】食品厂开工前运进一批面粉,开工后每天运进相同数量的面粉,如果派5个工人加工食品30天可以把面粉用完,如果派4个工人,40天可以把面粉用完,现在派4名工人加工了30天后,又增加了2名工人一起干,还需要几天加工完?
【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】对比思想方法
【解析】开工前运进的面粉相当于“原有草量”,开工后每天运进相同的面粉相当于“新生长的草”,工人加工食品相当于“牛在吃草”.
设1名工人1天用掉面粉的量为“1”,那么每天运来的面粉量为44053040301,原有面粉量为:
5130120.如果4名工人干30天,那么将会加工掉30天新运来的面粉量以及90原有的面粉量,原有还剩1209030未加工,而后变成6名工人,还需要30616(天)可以加工完.
【答案】6天
模块三、多块地的“牛吃草问题”
【例12】东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草,牧草每天都在匀速生长,这片牧场可供18头牛吃16天,或者供27头牛吃8天.在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场,可供多少头牛吃6天?
【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】对比思想方法
【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”,那么2000平方米的牧场上1688天生长的草量为181627872,即每天生长的草量为7289.那么2000平方米的牧场上原有草量为:
18916144.
则6000平方米的牧场每天生长的草量为96000200027;原有草量为:
14460002000432.6天里,该牧场共提供牧草432276594,可以让594699(头)牛吃6天.
【答案】99头牛
【巩固】有甲、乙两块匀速生长的草地,甲草地的面积是乙草地面积的3倍.30头牛12天能吃完甲草地上的草,20头牛4天能吃完乙草地上的草.问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草?
【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】对比思想方法
解析】设1头牛1天的吃草量为“1”,由于甲草地的面积是乙草地面积的3倍,把甲草地分成面积相等的3块,那么每块都与乙草地的面积相等.由于30头牛12天能吃完甲草地上的草,相当于每块上的草由10头牛12天吃完.那么条件转换为“10头牛12天能吃完乙草地上的草,20头牛4天也能吃完乙草地上的草”,可知每天乙
草地长草量为101220412
45,乙草地原有草量为:
205
4
60;
则甲、乙两块草地每天的新生长草量为
5420,原有草量为:
604
240
.要
10天同时吃完两块草地上的草,需要
240102044(头)牛.
答案】44头牛
例13】有一块1200平方米的牧场,每天都有
一些草在匀速生长,这块牧场可供
10头牛
吃20天,或可供15头牛吃10天,另有一块3600平方米的牧场,每平方米的草量及生长量都与第一块牧场相同,问这片牧场可供75头牛吃多少天?
【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答【关键词】对比思想方法
【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”,摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析
10头牛20天10×20=200:
原有草量+20天生长的草量
15头牛10天15×10=150:
原有草量+10天生长的草量从上易发现:
1200平方米牧场上20-10=10天生长草量=200-150=50,即1天生长草量=50÷10=5;
那么1200平方米牧场上原有草量:
200-5×20=100或150-5×10=100。
则3600平方米的牧场1天生长草量=5×(3600÷1200)=15;原有草量:
100×(3600÷1200)=300.
75头牛里,若有15头牛去吃每天生长的草,剩下60头牛需要300÷60=5(天)可将原有草吃完,即它可供75头牛吃5天。
【答案】5天
【例14】有三块草地,面积分别为5公顷、15公顷和24公顷.草地上的草一样厚,而且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天.问:
第三块草地可供多少头牛吃80天?
【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答【关键词】对比思想方法
【解析】(法1)设1头牛1天吃草量为“1”,第一块草地可供10头牛吃30天,说明1公顷草地30天提供1030560份草;第二块草地可供28头牛吃45天,说明1公顷草地45天提供28451584份草;所以1公顷草地每天新生长的草量为
846045301.6份,1公顷原有草量为601.63012.24公顷草地每天新生长的草量为1.62438.4;24公顷草地原有草量为1224288.那么24公顷草地80天可提供草量为:
28838.4803360,所以共需要牛的头数是:
33608042(头)牛.
(法2)现在是3块面积不同的草地,要解决这个问题,也可以将3块草地的面积统一起来.由于5,15,24120,那么题中条件可转化为:
120公顷草地可供240头牛吃30天,也可供224头牛吃45天.
设1头牛1天的吃草量为“1”,那么120公顷草地每天新生长的草量为
22445240304530192,120公顷草地原有草量为240192301440.120公顷草地可供144080192210(头)牛吃80天,那么24公顷草地可供210542(头)牛吃80天.
【答案】42头牛
【巩固】三块牧场,场上的草长得一样密,而且长得一样快,它们的面积分别是3公顷、
10公顷和24公顷.第一块牧场饲养12头牛,可以维持4周;第二块牧场饲养25头牛,可以维持8周.问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周?
【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】对比思想方法
【解析】设1头牛1周吃草量为“1”.第一块牧场饲养12头牛,可以维持4周,相当于1公顷牧场可供4头牛吃4周;第二块牧场饲养20头牛,可以维持8周,相当于1公顷牧场可供2.5头牛吃8周.那么1公顷牧场1周新生长的草量为2.5844841,1公顷牧场原有草量为41412.24公顷牧场每天新生长的草量为12424,原有草量为1224288,若想维持18周,需要饲养:
288182440(头)牛.
【答案】40头牛
【巩固】17头牛吃28公亩的草,84天可以吃完;22头牛吃同样牧场33公亩的草54天可吃完,几头牛吃同样牧场40公亩的草,24天可吃完?
(假设每公亩牧草原草量相等,且匀速生长)
【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】对比思想方法
【解析】设1头牛1天吃1份牧草,22头牛54天吃掉54221188份,说明每公亩牧场54天提供11883336份牧草;17头牛84天吃掉17841428份,说明每公亩牧场84天提供14282851份牧草.每公亩牧场845430天多提供513615份牧草,说明每公亩牧场每天的牧草生长量为15300.5份,原有草量为510.5849份.
如果是40公亩的牧场,原有草量为940360份,每天新长出0.54020份,24天共提供牧草3602024840份,可供8402435头牛吃24天.
【答案】35头牛
【巩固】有三片牧场,场上草长得一样密,而且长得一样快.它们的面积分别是31公顷、
310公顷和24公顷.已知12头牛4星期吃完第一片牧场的草,21头牛9星期吃完第二片牧场的草,那么多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草?
【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答【关键词】对比思想方法
【解析】由于三片牧场的公顷数不一致,给计算带来困难,如果将其均转化为1公顷时的情形.
原条件:
31公顷12头牛4星期
3
10公顷21头牛9星期
转化:
相当于把31公顷草地分割成31块,每块一公顷,有3.6头牛来吃,所以吃的时间不33
变,相当于把10公顷草地分割成10块,每块一公顷,有2.1头牛来吃,所以吃的时间不变
1公顷3.6头牛4星期3.6×4=14.4:
1公顷原有草量+4星期1公顷新生草量1公顷
2.1头牛9星期2.1×9=18.9:
1公顷原有草量+9星期1公顷新生草量分析得:
1天1公顷新生草量=(18.9-14.4)÷(9-4)=0.9;1公顷原有草量=14.4-0.9×4=10.8;24公顷1天新生草量=0.9×24=21.6;24公顷原有草量=10.8×24=259.2;若想18星期吃完需要:
259.2÷18+21.6=36(头)牛
【答案】36头牛
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