结构动力学作业答案.docx
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结构动力学作业答案
解答
如下图,冈『性梁AB受到弹簧BC的鼓励。
C点的运动方程为z(t)。
试用B点的位移u为变量来推导系统的运动方程。
假设为小运动,采用牛顿定律来求解。
一亠1专)
2.列力矩平衡方程
MA0
根据受力分析,可知:
MifiLfci-f?
L0
22
3.力与位移关系
弹簧力fikiu/2;阻尼力fciCiU/2;弹簧力f2k2(zu)
LLMl
LuM打dl
0L2
-uML
3
4.
将力与位移关系代入到力矩平衡方程,并化简:
1
Mu
3
c1u(一人k2)uk2z
44
惯性力矩Mi°dma丨0(—dl)(-u)l
解答
2.13一根均匀的杆的质量密度为,其杆端有一集中质量M。
应用假定振型法
((x)
x/L
推导如下系统的轴向自由振动的运动方程。
解:
1.形函数及几何边界条件
U(o,t)0
U(x,t)(x)u(t)
/»•—r
Jr
2.建立虚功方程
W'WncVWinertia0
因为没有外力,所以Wnc0
VL(AEU')UdxAE巴-%x■AEUu
00LLL
对于惯性力而言,其虚功包括杆本身的虚功Winertia和杆端集中质量的虚功W爲ia
1L
WCtia0(AU)Udx
Auu
Lx2
dx
ALuu
3
WinertiaMU(L,t)U(L,t)MuU
3.化简
(且M)u圧uu0
3L
因为u为虚位移,即u0,所以运动方程为
ALAE
(M)uu0
3L
解答
3.7一台机器的质量为70kg,安装在弹簧上,弹簧的总刚度为15kN/m,总阻尼为
。
试求如下初始条件的运动u(t)。
(а)i/(0)二10/n/f/,ii(0)=0
(б)2/(0)=0.巩0)二100炖阳心
m-4—
LVWV1
2
V7777777777777777777777A
解:
1.运动方程及其相关参数
由图可知,其运动方程为
i/2
1'VVL
△AM丄
/2
mucuku0
其中m70kg,k5
104N/m,c1200Ns/m。
所以
5000026.73rad/s
ccr
70
2m
ccr
1200
n,1
..1
2
s/m
25.32rad/s
2.
系统的自由振动解
u(t)e
u0cos
dt
U0
世sindt
3.
不同初始条件下的自由运动
(a)u010mm,u00
u(t)
u0cosdt
凹sindt
d
e
100
8'55t
(b)u00,u0100mm/s
tu0
u(t)en—sindt
d
1
解答
(M—m)是机械
转动机械中的不平衡是很普遍的鼓励源。
下列图正是这样一个例子
的质量,m是转动不平衡块的质量,其转动圆频率为
a.推导机械垂向运动方程;
b.推导系统稳态响应表达式并绘制频响曲线
<4^1XV.j 解: 1.向心力及其垂向分量 向心力的大小F me2,垂向分量为FuFsint me2sint。 2.系统的运动方程 化简后可得: 3.系统的稳态响应 2 Mucukumesint u2nU 2u匹2sintM tan me k 2221/2 r2)2(2r)2 sin(t 2r 1r2 1 LW- 2 m 纟 7 * 现在考虑其频率响应幅值 me2 k 222 (1r)(2r) me (1 2、2 r) (2r)2 1/2 (1 2 men2 r k (2r)2 1/2 2 定义静位移为U。 竺丄,因此, k H() 2\2 (1r) (2r)2 1/2 Ds 解答 用一个非常简单的模型来研究着陆的一架轻型飞机的冲击。 如下图,以一个线性弹簧的集中质量表示着陆的装置。 当弹簧触到地面时,质量m具有一垂直下降速度V 接触时t=0,并令u(0)=0。 (a)确定弹簧保持在接触地面时间内,质量的垂向位置u(t)的表达式; (b)确定弹簧回弹脱离地面接触的时间。 ■vvkrb 解: 1.受力分析 ■VET 根据初始条件: t0,u(0)0,u(0) V,及上图可知,物体的受力图如右所示。 d \d I 1 F kumu mg u(tj0,u(tjV,u(tjg。 因此,可 sin nt1 1cosnt1 tan nt1 2 2.运动微分方程 所以,根据受力图,其运动微分方程为: mukumg 3.垂向位置u(t)的解 u(t)mgAcosntA2sinntk mg V 2 k A1 J A2, n — k n m 所以, u(t) mg.. (1cos nt) V.sin k n 根据初始条件,可得 nto 4.弹簧回弹脱离地面的时间 当弹簧再次脱离地面时,其运动状态为: 以任意选取一个运动量来求解脱离时间1。 这里,我们取速度量,那么有 U(tl)nS"nt1VC0Snt1V t1 2tan 解答 上,设侧向位移很小 9.2一均匀薄刚杆BC的质量m,长度L附在一均匀弹性梁AB 应用恰当的自由体图,确定A与B点的边界条件 解: El-cons,pA=con? */ A 21 C Z 1.A点的边界条件为固支,即 v(O,t)0 x 2.B点的边界条件 刚体的受力图如上所示。 对于端部剪力边界条件, Sb 3 El£ x 2L 2L 2 v m—2 t mL 2L2xt v t2 2L为刚杆BC的质心加速度〕 对于端部弯距边界条件, Mb El 2 v 2 x 2L x2L 其中1『L2 解答 104未被约束的飞船釉火需的飞厅器,因此它们醴承受刚体运功•将匀虞自由体進视为像自由休结构的性质"现在研究如图P10M所示匀质梁的播向振动. V(xti) r wh■-r *1 1 r % • J TL 图P10,4 3〕表示梁的两个零频即刚体模态•一个是平移、一个是转动, 仆〕确定非逛频的特征方程°〔注意: 这是与习题中夹固端梁有相同的方卑J 〔2解基频、 5】沿梁毎人川处以计算的与图形是示的值画出根本〔弯曲〕模态& 解: 1.特征方程 现拟采用如下通解形式 V(x)C1sinhxC2coshx C3sin C4cosx 两端边界条件为自由端,所以 业 dxx0,xL d3V dx3 r) + A 1 i-vi I L [9plo.1 将边界条件代入通解表达式,可得 Ci 2sinhL 3coshL 0 2coshL 3sinhL 2 sinL 3 cosL 0C2 2 cos C3 3sinL C4 如果上面方程有非零解,那么其系数行列式为零。 化简后得特征方程: 10 (1coshLcosL)0 由此可见,本系统有零固有频率,而其非零频的特征方程为 1coshLcosL0 2.现确定零频率的个数。 当0时,根据自由运动微分方程 ),可得: d4V dx4 0。 因此,我们可以假定解的形式为 23 V(x)a! a? xa3xaqXo考虑边界条件,可知a? 0。 因此,零频率的振型为 2个相互正交的组合。 相对应的,存在两 V(x)a! a2x。 考察得到的振型函数可知,只可能存在 个零频率。 3.求零频率的刚体模态(利用正交性)° 设V。 a! a? x,Vibib? x,那么有: a1b1(a1b2 AV0V1dx a? b2— 3 由于L具有任意性,所以a2b2 0°因此可以设a20,b2 0。 因此,上式变为: 所以,两个刚体模态为: V0 求解a1、b1。 通过计算得到: 所以,正规化的刚体模态为 L 2b1 b1 b2一 0b2 2 L a1,V1 b1(1 2x)O可进- -步,采用 L L 0 1 3 a1 bi AL .AL 2 AVdx 1正规化方法, 1 4.非零频率 对于非零频的特征方程, 只能采用数值的方法求解。 结果是: 1(4.731)2 EI 5.振型 通过线性方程组,4个方程中的三个,我们可以得到弯曲模态的振型表达式( Vn(x)AnsinhnLsinn—coshnxcosnxcoshnLcosnLsinhnxsinnx 解答 运用假定振型法求解悬臂梁的2-DOF模型。 其中,自由端的变形v〔t〕和转角〔t〕被定义为模型的广义坐标。 相应的振型函数如下列图所示。 (x)abf L 解: 〔a〕推导基于如下一般多项式的形函数 i〔x〕和2〔x〕。 〔b〕推导此2-DOF模型的运动微分方程。 i(0)0; 1(0)0;1(L)1; 1(L)0. a0 b0 cd1 2c3d门0 LL 所以, a0;b0;c3;d 2. 23 i(x)3L2* 对于2(X)而言,有: 2(0)0; 2(0)0; 2(L)0; 2(L)1. a0 b0 cd0 2c3dd 1 LL a0;b0;c L;dL. 所以, 2(x) L L (b)1.首先求形函数的二阶导数。 1'(x) 612x L2F 2(X) 26x LL2 2•推导刚度和质量矩阵系数kj和mj。 k11 L"2L El1dxEl 010 6 L2 12x L3 2 dx 12EI L3 L"" L 6 12x 2 6x, 6EI k12 k210El12dx El 0 L2 L3 L 7dx L2 2 k22 L EI 0 "2 2dx L EI 0 2 L 6x L2 dx 4EI L 同样的, 对于 mij有: 2 3 2 L L x x 13 A ;dx A3 2 dx AL 0 0 L L 35 2 3 23 L L x x xx 11 m12 m21 A 12dx A 3 2- L Ldx AL 0 0 L L LL 210 2 32 L 2. L x x 1 m? 2 A 2dx A L- L — dx AL3 0 0 L L 105 3•装配运动微分方程 個为没有外力, 所以广义力为零〕 13 11, AL35 L 210 v(t) 2EI 6 3L v(t) 0 11L 1L2 (t) L3 3L 2L2 (t) 0 210 105 解答 P12.8—均匀悬臂梁采用如下假定振型简化为一2-D0F模型: 23 1〔X〕-,2〔x〕- 〔a〕推导该2-D0F模型的运动微分方程; 〔b〕计算固有频率。 并和精确解〔例〕以及基频近似值〔〕比拟 解: 〔a〕参考第11章例的步骤建立运动微分方程 1〔X〕 2 x J L 3 2(x)£ 1 2x 'I、2 1(x) 2, 1(x)2 L2 L2 2〔X〕 3x2 L3 2(X) 6x L3 kii dx 0 L pA^x)/^x)dx 4EI I3- ki2k2i 6EI k22 12EI mii AL 5 mi2 m21 AL T,m22 AL 7 装配系统的运动方程〔注意,这里没有外力,所以广义力为零。 AL4235u12EI23u1 2103530u2L36u2 〔b〕参考第12章例的步骤解方程,得到固有频率 假设简谐运动为 COS®—a) 代入运动方程,得 2 32 42 35 U1 0 3 6i 35 30 U2 0 其中, 2 AL 2 i 420EI i 从系数的行列式得特征方程 利用 AL4 420EI 得到 旦2T2A 1 L2 El2 A 和精确解比照〔例〕 3.516ZE/\IP 纳工右〔石丿 22.03ZEl\fi 假定振型法的频率大于精确解的频率,并且所计算出基频的精度远大于第二频率。 与例瑞利法基频比拟 2 〔例利用瑞利法计算均匀悬臂梁的近似基频。 假定形函数为〔X〕彳〕 <472/£Z\l/1 假定振型法的基频小于瑞利法的基频,精度高于瑞利法。 2222
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