本科1009离散数学.docx
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本科1009离散数学
一、单项选择题
1.设P:
a是偶数,Q:
b是偶数。
R:
a+b是偶数,则命题“若a是偶数,b是偶数,则a+b也是偶数”符号化为(D.PQ→R)。
2.表达式
x(P(x,y)
Q(z))
y(Q(x,y)→
zQ(z))中
x的辖域是(P(x,y)Q(z))。
3.设
则命题为假的是(
)。
4.设G是有n个结点的无向完全图,则G的边数(1/2n(n-1))。
5.设G是连通平面图,有v个结点,e条边,r个面,则r=(e-v+2)。
6.若集合A={1,{2},{1,2}},则下列表述正确的是({1}A).
7.已知一棵无向树T中有8个顶点,4度、3度、2度的分支点各一个,T的树叶数为(5).
8.设无向图G的邻接矩阵为
则G的边数为(7).
9.设集合A={a},则A的幂集为({,{a}}).
10.下列公式中(AB(AB))为永真式.
11.若G是一个汉密尔顿图,则G一定是(连通图).
12.集合A={1,2,3,4}上的关系R={
A},则R的性质为(传递的).
13.设集合A={1,2,3,4,5},偏序关系是A上的整除关系,则偏序集上的元素5是集合A的(极大元).
14.图G如图一所示,以下说法正确的是({(a,d),(b,d)}是边割集).
图一
15.设A(x):
x是人,B(x):
x是工人,则命题“有人是工人”可符号化为((
x)(A(x)∧B(x))).
16.若集合A={1,2},B={1,2,{1,2}},则下列表述正确的是(AB,且AB).
17.设有向图(a)、(b)、(c)与(d)如图一所示,则下列结论成立的是((d)是强连通的).
18.设图G的邻接矩阵为
则G的边数为(5).
19.无向简单图G是棵树,当且仅当(G连通且边数比结点数少1).
20.下列公式((P(QP))(P(PQ)))为重言式.
21.若集合A={a,{a},{1,2}},则下列表述正确的是({a}A).
22.设图G=
).
23.命题公式(P∨Q)→R的析取范式是((P∧Q)∨R)
24.下列等价公式成立的为(P(QP)P(PQ)).
25.设A={a,b},B={1,2},R1,R2,R3是A到B的二元关系,且R1={,},R2={,,},R3={,},则(R2)不是从A到B的函数.
26.设A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除关系,B={2,4,6},则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为(无、2、无、2).
27.若集合A的元素个数为10,则其幂集的元素个数为(1024).
28.如图一所示,以下说法正确的是(e是割点).
图一
29.设完全图K
有n个结点(n≥2),m条边,当(n为奇数)时,K
中存在欧拉回路.
30.已知图G的邻接矩阵为
,则G有(5点,7边).
二、填空题(每小题3分,共15分)
1.设A,B为任意命题公式,C为重言式,若A
C
B
C,那么A
B是重言式(重言式、矛盾式或可满足式)。
2.命题公式(P→Q)
P的主合取范式为
。
3.设集合A={
,{a}},则P(A)=
。
4.设图G=〈V,E〉,G′=〈V′,E′〉,若V′=V,E′E,则G′是G的生成子图。
5.在平面G=〈V,E〉中,则
=2|E|,其中
(i=1,2,…,r)是G的面。
6.命题公式
的真值是假(或F,或0) .
7.若无向树T有5个结点,则T的边数为4.
8.设正则m叉树的树叶数为t,分支数为i,则(m-1)i=t-1.
9.设集合A={1,2}上的关系R={<1,1>,<1,2>},则在R中仅需加一个元素<2,1>,就可使新得到的关系为对称的.
10.(x)(A(x)→B(x,z)∨C(y))中的自由变元有z,y.
11.若集合A={1,3,5,7},B={2,4,6,8},则A∩B= 空集(或).
12.设集合A={1,2,3}上的函数分别为:
f={<1,2>,<2,1>,<3,3>,},g={<1,3>,<2,2>,<3,2>,},则复合函数gf={<1,2>,<2,3>,<3,2>,}.
13.设G是一个图,结点集合为V,边集合为E,则G的结点度数之和为2|E|(或“边数的两倍”).
14.无向连通图G的结点数为v,边数为e,则G当v与e满足e=v-1关系时是树.
15.设个体域D={1,2,3},P(x)为“x小于2”,则谓词公式(x)P(x)的真值为假(或F,或0).
16.命题公式
的真值是 T(或1) .
17.若图G=
18.给定一个序列集合{000,001,01,10,0},若去掉其中的元素0,则该序列集合构成前缀码.
19.已知一棵无向树T中有8个结点,4度,3度,2度的分支点各一个,T的树叶数为5.
20.(x)(P(x)→Q(x)∨R(x,y))中的自由变元为R(x,y)中的y.
21.设集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},R是A到B的二元关系,
则R的有序对集合为 {<2,2>,<2,3>,<3,2>},<3,3> .
22.设G是连通平面图,v,e,r分别表示G的结点数,边数和面数,则v,e和r满足的关系式v-e+r=2.
23.设G=
24.无向图G存在欧拉回路,当且仅当G连通且所有结点的度数全为偶数.
25.设个体域D={1,2},则谓词公式
消去量词后的等值式为A
(1)A
(2).
26.设集合A={a,b},那么集合A的幂集是{,{a,b},{a},{b}}.
27.如果R1和R2是A上的自反关系,则R1∪R2,R1∩R2,R1-R2中自反关系有2个.
28.设图G是有6个结点的连通图,结点的总度数为18,则可从G中删去4条边后使之变成树.
29.设连通平面图G的结点数为5,边数为6,则面数为3.
30.设个体域D={a,b},则谓词公式(x)A(x)∧(x)B(x)消去量词后的等值式为(A(a)∧A(b))∧(B(a)∨B(b)).
31.设集合A={0,1,2},B={l,2,3,剖,R是A到B的二元关系,R={
32.设G是连通平面图,v,e,r分别表示G的结点数,边数和面数,则v,e和r满足的关系式__v-e+r=2_____
33.G=
34.无向图G存在欧拉回路,当且仅当G所有结点的度数全为偶数且_连通____
35.设个体域D={1,2},则谓词公式xA(x)消去量词后的等值式为__A
(1)∧A
(2)___
三、化简解答题
11.设集合A={1,2,3,4},A上的二元关系R,R={〈1,1〉,〈1,4〉,〈2,2〉,〈2,3〉,〈3,2〉,〈3,3〉,〈4,1〉,〈4,4〉},说明R是A上的等价关系。
解从R的表达式知,
即R具有自反性;
三、逻辑公式翻译
1.将语句“今天上课.”翻译成命题公式.
设P:
今天上课,则命题公式为:
P.
2.将语句“他去操场锻炼,仅当他有时间.”翻译成命题公式.
设P:
他去操场锻炼,Q:
他有时间,则命题公式为:
PQ.
3.将语句“他是学生.”翻译成命题公式.
设P:
他是学生,则命题公式为:
P.
4.将语句“如果明天不下雨,我们就去郊游.”翻译成命题公式.
设P:
明天下雨,Q:
我们就去郊游,则命题公式为:
PQ.
5.将语句“他不去学校.”翻译成命题公式.
设P:
他去学校,P.
6.将语句“他去旅游,仅当他有时间.”翻译成命题公式.
设P:
他去旅游,Q:
他有时间,PQ.
7.将语句“所有的人都学习努力.”翻译成命题公式.
设P(x):
x是人,Q(x):
x学习努力,(x)(P(x)Q(x)).
8.将语句“如果你去了,那么他就不去.”翻译成命题公式.
设P:
你去,Q:
他去,PQ.
9.将语句“小王去旅游,小李也去旅游.”翻译成命题公式.
设P:
小王去旅游,Q:
小李去旅游,PQ.
10.将语句“所有人都去工作.”翻译成谓词公式.
设P(x):
x是人,Q(x):
x去工作,(x)(P(x)Q(x)).
11.将语句“如果所有人今天都去参加活动,则明天的会议取消.”翻译成命题公式.
设P:
所有人今天都去参加活动,Q:
明天的会议取消,PQ.
12.将语句“今天没有人来.”翻译成命题公式.
设P:
今天有人来,P.
13.将语句“有人去上课.”翻译成谓词公式.
设P(x):
x是人,Q(x):
x去上课,(x)(P(x)Q(x)).
11.将语句"如果小李学习努力,那么他就会取得好成绩."翻译成命题公式.
设P:
小李学习努力,Q:
小李会取得好成绩,P→Q
12.将语句"小张学习努力,小王取得好成绩."翻译成命题公式.
设P:
小张学习努力,Q:
小王取得好成绩,P∧Q
四、判断说明题
1.设集合A={1,2},B={3,4},从A到B的关系为f={<1,3>},则f是A到B的函数.
错误.因为A中元素2没有B中元素与之对应,故f不是A到B的函数.
2.设G是一个有4个结点10条边的连通图,则G为平面图.
错误.不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图,若v≥3,则e≤3v-6.”
3.设N、R分别为自然数集与实数集,f:
N→R,f(x)=x+6,则f是单射.
正确.设x1,x2为自然数且x1x2,则有f(x1)=x1+6x2+6=f(x2),故f为单射.
4.下面的推理是否正确,试予以说明.
(1)(x)F(x)→G(x)前提引入
(2)F(y)→G(y)US
(1).
错误.
(2)应为F(y)→G(x),换名时,约束变元与自由变元不能混淆.
5.如图二所示的图G存在一条欧拉回路.
图二
错误.因为图G为中包含度数为奇数的结点.
6.设G是一个有6个结点14条边的连通图,则G为平面图.
错误.不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图,若v≥3,则e≤3v-6.”
7.如果R1和R2是A上的自反关系,则R1∪R2是自反的.
正确.R1和R2是自反的,xA,
8.如图二所示的图G存在一条欧拉回路.
正确.因为图G为连通的,且其中每个顶点的度数为偶数.
9.┐P∧(P→┐Q)∨P为永真式.
正确.
┐P∧(P→┐Q)∨P是由┐P∧(P→┐Q)与P组成的析取式,
如果P的值为真,则┐P∧(P→┐Q)∨P为真,
如果P的值为假,则┐P与P→┐Q为真,即┐P∧(P→┐Q)为真,
也即┐P∧(P→┐Q)∨P为真,
所以┐P∧(P→┐Q)∨P是永真式.
另种说明:
┐P∧(P→┐Q)∨P是由┐P∧(P→┐Q)与P组成的析取式,
只要其中一项为真,则整个公式为真.
可以看到,不论P的值为真或为假,┐P∧(P→┐Q)与P总有一个为真,
所以┐P∧(P→┐Q)∨P是永真式.
或用等价演算┐P∧(P→┐Q)∨PT
10.若偏序集的哈斯图如图一所示,则集合A的最大元为a,最小元不存在.
图一
正确.
对于集合A的任意元素x,均有
11.如果R1和R2是A上的自反关系,则R1∩R2是自反的。
正确,R1和R2,是自反的,x∈A,
12.如图二所示的图中存在一条欧拉回路.
图二
正确,因为图G为连通的,且其中每个顶点的度数为偶数。
五.计算题(每小题12分,本题共36分)
1.试求出(P∨Q)→(R∨Q)的析取范式.
(P∨Q)→(R∨Q)┐(P∨Q)∨(R∨Q)
(┐P∧┐Q)∨(R∨Q)
(┐P∧┐Q)∨R∨Q(析取范式)
2.设A={{1},1,2},B={1,{2}},试计算
(1)(A∩B)
(2)(A∪B)(3)A(A∩B).
(1)(A∩B)={1}
(2)(A∪B)={1,2,{1},{2}}
(3)A(A∩B)={{1},1,2}
3.图G=
(1)画出G的图形;
(2)写出G的邻接矩阵;
(3)求出G权最小的生成树及其权值.
(1)G的图形表示如图一所示:
(2)邻接矩阵:
(3)最小的生成树如图二中的粗线所示:
权为:
1+1+3=5
4.画一棵带权为1,2,2,3,4的最优二叉树,计算它们的权.
最优二叉树如图三所示
图三
权为13+23+22+32+42=27
5.求(P∨Q)→R的析取范式与合取范式.
(P∨Q)→R(P∨Q)∨R
(P∧Q)∨R(析取范式)
(P∨R)∧(Q∨R)(合取范式)
6.设A={0,1,2,3},R={
R=,S={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<2,0>}
RS=,
S-1=S,
r(R)=IA={<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>}.
7.试求出(P∨Q)→R的析取范式,合取范式,主合取范式.
(P∨Q)→R┐(P∨Q)∨R(┐P∧┐Q)∨R(析取范式)
(┐P∨R)∧(┐Q∨R)(合取范式)
((┐P∨R)∨(Q∧┐Q))∧((┐Q∨R)∨(P∧┐P))
(┐P∨R∨Q)∧(┐P∨R∨┐Q)∧(┐Q∨R∨P)
∧(┐Q∨R∨┐P)
(┐P∨Q∨R)∧(┐P∨┐Q∨R)∧(P∨┐Q∨R)
8.设A={{a,b},1,2},B={a,b,{1},1},试计算
(1)(AB)
(2)(A∪B)(3)(A∪B)(A∩B).
(1)(AB)={{a,b},2}
(2)(A∪B)={{a,b},1,2,a,b,{1}}
(3)(A∪B)(A∩B)={{a,b},2,a,b,{1}}
9.图G=
(1)画出G的图形;
(2)写出G的邻接矩阵;
(3)求出G权最小的生成树及其权值.
(1)G的图形表示为:
(2)邻接矩阵:
(3)粗线表示最小的生成树,
权为7:
10.设谓词公式
,试
(1)写出量词的辖域;
(2)指出该公式的自由变元和约束变元.
(1)x量词的辖域为
,
z量词的辖域为
y量词的辖域为
.
(2)自由变元为
与
中的y,以及
中的z
约束变元为x与
中的z,以及
中的y.
11.设A={{1},{2},1,2},B={1,2,{1,2}},试计算
(1)(AB);
(2)(A∩B);(3)A×B.
(1)AB={{1},{2}}
(2)A∩B={1,2}
(3)A×B={<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2}>,<{2},1>,<{2},2>,
<{2},{1,2}>,<1,1>,<1,2>,<1,{1,2}>,<2,1>,<2,2>,
<2,{1,2}>}
12.设G=
(1)给出G的图形表示;
(2)写出其邻接矩阵;
(3)求出每个结点的度数;(4)画出其补图的图形.
(1)G的图形表示为:
(2)邻接矩阵:
(3)v1,v2,v3,v4,v5结点的度数依次为1,2,4,3,2
(4)补图如下:
13.设集合A={1,2,3,4},R={
(1)写出R的有序对表示;
(2)画出R的关系图;
(3)说明R满足自反性,不满足传递性.
(1)R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>}
(2)关系图为
3)因为<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R,即A的每个元素构成的有序对均在R中,故R在A上是自反的。
因有<2,3>与<3,4>属于R,但<2,4>不属于R,所以R在A上不是传递的。
14.求PQR的析取范式,合取范式、主析取范式,主合取范式.
P→(R∨Q)
┐P∨(R∨Q)
┐P∨Q∨R(析取、合取、主合取范式)
(┐P∧┐Q∧┐R)∨(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧Q∧R)∨(P∧┐Q∧┐R)
∨(P∧┐Q∧R)∨(P∧Q∧┐R)∨(P∧Q∧R)(主析取范式)
15.设图G=
(1)画出G的图形表示;
(2)写出其邻接矩阵;
(3)求出每个结点的度数;
v1
v2
v3
v4
v5
(4)画出图G的补图的图形.
(1)关系图
(2)邻接矩阵
(3)deg(v1)=2
deg(v2)=3
deg(v3)=4
deg(v4)=3
deg(v5)=2
(4)补图
16.设谓词公式x(A(x,y)∧zB(x,y,z))∧yC(y,z)试
(1)写出量词的辖域;
x量词的辖域为(A(x,y)∧zB(x,y,z)),z量词的辖域为B(x,y,z),y量词的辖域为C(y,z)
(2)指出该公式的自由变元和约束变元.
自由变元为(A(x,y)∧zB(x,y,z))中的y,以及C(y,z)中的z.
约束变元为(A(x,y)∧zB(x,y,z))中的x与B(x,y,z)中的z,以及C(y,z)中的y。
六、证明题
1.试证明:
若R与S是集合A上的自反关系,则R∩S也是集合A上的自反关系.
证明:
设xA,因为R自反,所以xRx,即
又因为S自反,所以xRx,即
即
故R∩S自反.
2.试证明集合等式A(BC)=(AB)(AC).
证明:
设S=A(BC),T=(AB)(AC),若x∈S,则x∈A或x∈BC,即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C.
也即x∈AB且x∈AC,即x∈T,所以ST.
反之,若x∈T,则x∈AB且x∈AC,即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C,
也即x∈A或x∈BC,即x∈S,所以TS.
因此T=S.
3.试证明集合等式A(BC)=(AB)(AC).
证明:
设S=A∩(B∪C),T=(A∩B)∪(A∩C),若x∈S,则x∈A且x∈B∪C,即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C,
也即x∈A∩B或x∈A∩C,即x∈T,所以ST.
反之,若x∈T,则x∈A∩B或x∈A∩C,
即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C
也即x∈A且x∈B∪C,即x∈S,所以TS.
因此T=S.
4.试证明集合等式A(BC)=(AB)(AC).
证明:
设S=A(BC),T=(AB)(AC),若x∈S,则x∈A或x∈BC,即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C.
也即x∈AB且x∈AC,即x∈T,所以ST.
反之,若x∈T,则x∈AB且x∈AC,
即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C,
也即x∈A或x∈BC,即x∈S,所以TS.
因此T=S.
5.试证明(x)(P(x)∧R(x))(x)P(x)∧(x)R(x).
证明:
(1)(x)(P(x)∧R(x))P
(2)P(a)∧R(a)ES
(1)
(3)P(a)T
(2)I
(4)(x)P(x)EG(3)
(5)R(a)T
(2)I
(6)(x)R(x)EG(5)
(7)(x)P(x)∧(x)R(x)T(5)(6)I
6.设m是一个取定的正整数,证明:
在任取m+1个整数中,至少有两个整数,它们的差是m的整数倍
证明设
,
,…,
为任取的m+1个整数,用m去除它们所得余数只能是0,1,…,m-1,由抽屉原理可知,
,
,…,
这m+1个整数中至少存在两个数
和
,它们被m除所得余数相同,因此
和
的差是m的整数倍。
7.已知A、B、C是三个集合,证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
证明∵xA-(B∪C)xA∧x(B∪C)xA∧(xB∧xC)(xA∧xB)∧(xA∧xC)x(A-B)∧x(A-C)x(A-B)∩(A-C)∴A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
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