高考理科数学月月考二.docx
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高考理科数学月月考二
月月考
(二) 三角函数、平面向量、数列、不等式
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2019·海淀模拟]下列说法正确的是( )
A.长度相等的向量叫做相等向量
B.共线向量是在同一条直线上的向量
C.零向量的长度等于0
D.∥就是所在的直线平行于所在的直线
答案:
C
解析:
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,故A不正确;方向相同或相反的非零向量叫做共线向量,但共线向量不一定在同一条直线上,故B不正确;显然C正确;当∥时,所在的直线与所在的直线可能重合,故D不正确.
2.[2019·河南洛阳阶段性测试]在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边经过点P(3,4),则sin=( )
A.- B.-
C.D.
答案:
B
解析:
∵角α的终边经过点P(3,4),∴sinα=,cosα=.
∴sin=-sin=-sin=-cosα=-.故选B.
3.若α为锐角,且3sinα=tanα=tanβ,则tan2β等于( )
A.B.
C.-D.-
答案:
D
解析:
因为3sinα=tanα=,α为锐角,所以cosα=,sinα==,所以tanα==2=tanβ,所以tanβ=2,tan2β===-.
4.已知=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k的值为( )
A.-2B.
C.1D.-1
答案:
C
解析:
因为A,B,C三点不能构成三角形,所以与共线.因为=-=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),=-=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),所以1×(k+1)-2k=0,解得k=1,故选C.
5.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足|3--|=0,则△ABM与△ABC的面积之比等于( )
A.B.
C.D.
答案:
C
解析:
如图,G为BC的中点,则+=2,∵|3--|=0,
∴3--=0,
∴3=+=2,
∴=,
∴=,
又S△ABG=S△ABC,
∴△ABM与△ABC的面积之比等于×=.故选C.
6.[2019·山东邹城模拟]已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=7,c=5,且满足23cos2A+cos2A=0,则b=( )
A.10B.9
C.6D.5
答案:
C
解析:
由题意23cos2A+(2cos2A-1)=0,
则cos2A=,
又△ABC为锐角三角形,所以cosA=.
由余弦定理cosA=得,=,
整理可得b2-2b-24=0,则b=6.
7.若数列{an}满足a1=2,a2=3,an=(n≥3且n∈N*),则a2018等于( )
A.3B.2
C.D.
答案:
A
解析:
由已知a3==,a4==,a5==,a6==,a7==2,a8==3,∴数列{an}具有周期性,T=6,
∴a2018=a336×6+2=a2=3.
8.[2019·济南市模拟]已知正项等比数列{an}满足a3=1,a5与a4的等差中项为,则a1的值为( )
A.4B.2
C.D.
答案:
A
解析:
由题意知2×=a5+a4,即3a4+2a5=2.设{an}的公比为q(q>0),则由a3=1,得3q+2q2=2,解得q=或q=-2(舍去),所以a1==4.
9.[2019·安徽六安月考]设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且<1,若a3+a5=20,a3a5=64,则S4=( )
A.63或120B.256
C.120D.63
答案:
C
解析:
由题意得解得或又<1,所以数列{an}为递减数列,故设等比数列{an}的公比为q,则q2==.因为{an}为正项数列,故q=,从而a1=64,所以S4==120.故选C.
10.[2019·陕西摸考]对于使f(x)≤m成立的所有常数M,我们把M的最小值称为f(x)的上确界,若a,b∈(0,+∞),且a+b=1,则--的上确界为( )
A.-B.
C.D.-4
答案:
A
解析:
∵a+b=1,∴--=--=--,∵a>0,b>0,∴+≥2,当且仅当b=2a时取等号,∴--≤--2=-,∴--的上确界为-,故选A.
11.已知A,B,C,D,E是函数y=sin(ωx+φ)一个周期内的图象上的五个点,如图所示,A,B为y轴上的点,C为图象上的最低点,E为该函数图象的一个对称中心,B与D关于点E对称,向量在x轴上的投影为,则ω,φ的值分别为( )
A.ω=2,φ=B.ω=2,φ=
C.ω=,φ=D.ω=,φ=
答案:
A
解析:
根据题意,E为该函数图象的一个对称中心,B与D关于点E对称,且在x轴上的投影为,所以最小正周期T=4×=π,所以ω==2;又A,所以sin=0,又0<φ<,所以φ=.故选A.
12.[2019·广东汕头模拟]若函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象经过点,则( )
A.f(x)在上单调递减
B.f(x)在上单调递减
C.f(x)在上单调递增
D.f(x)在上单调递增
答案:
D
解析:
由题意得f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin.∵函数f(x)的图象经过点,
∴f=2sin=-2sin=0.又0<θ<π,∴θ=,∴f(x)=-2sin2x.
对于选项A,C,当x∈时,2x∈(0,π),故函数不单调,所以A,C不正确;对于选项B,D,当x∈时,2x∈,函数f(x)单调递增,故D正确.故选D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在相应题号后的横线上.
13.已知tanθ=2,则+sin2θ的值为________.
答案:
解析:
∵tanθ=2,∴+sin2θ=1++=1++=+=.
14.[2019·湖南常德模拟]设向量a,b的夹角为θ,且a=(1,1),2b-a=(3,1),则cosθ=________.
答案:
解析:
由题可得b(2,1),∴cosθ====.
15.[2018·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为________.
答案:
解析:
∵bsinC+csinB=4asinBsinC,
∴由正弦定理得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC.
又sinBsinC>0,∴sinA=.
由余弦定理得cosA===>0,
∴cosA=,bc==,
∴S△ABC=bcsinA=××=.
16.[2019·北京西城区模拟]已知实数x,y满足存在x,y使得2x+y≤a成立,则实数a的取值范围是________.
答案:
[2,+∞)
解析:
令z=2x+y,画出约束条件的可行域,由可行域知目标函数过点B时取最小值,由可得x=-1,y=4,可得B(-1,4),z的最小值为2×(-1)+4=2.所以若存在x,y,使2x+y≤a成立,只需使a≥(2x+y)min,所以a≥2.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
对任意m∈[-1,1],函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范围.
解析:
由f(x)=x2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x2-4x+4,
令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4.
由题意知在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零,
∴
解得x<1或x>3.
故当x的取值为(-∞,1)∪(3,+∞)时,对任意的m∈[-1,1],函数f(x)的值恒大于零.
18.(本小题满分12分)
[2019·重庆月考]已知数列{an}满足a1=-2,=(n≥2,n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解析:
(1)由题意可得,=2×,=2×,=2×,…,=(n≥2,n∈N*).
以上式子左右分别相乘得=2n-1·n(n≥2,n∈N*),
代入a1=-2,得an=-2n·n(n≥2,n∈N*),
又a1=-2符合上式,
故数列{an}的通项公式为an=-2n·n(n∈N*).
(2)由
(1)得Sn=-(1×2+2×22+…+n·2n),
则2Sn=-[1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1],
两式相减,得Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2(n∈N*).
19.(本小题满分12分)
[2019·河南百校质检]已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有Sn=an+n-3成立.
(1)求证:
存在实数λ使得数列{an+λ}为等比数列;
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
解析:
(1)证明:
因为Sn=an+n-3,①
所以当n=1时,S1=a1+1-3,所以a1=4.
当n≥2时,Sn-1=an-1+n-1-3,②
由①②两式相减得an=an-an-1+1,即
an=3an-1-2(n≥2).变形得an-1=3(an-1-1),而a1-1=3,
所以数列{an-1}是首项为3,公比为3的等比数列,
所以存在实数λ=-1,使得数列{an-1}为等比数列.
(2)由
(1)得an-1=3·3n-1=3n,
所以an=3n+1,nan=n·3n+n,所以Tn=(1×31+2×32+3×33+…+n×3n)+(1+2+3+…+n),
令Vn=1×31+2×32+3×33+…+n×3n,③
则3Vn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1,④
由③④两式相减得
-2Vn=3+32+33+…+3n-n×3n+1=-n×3n+1=·3n+1-,
所以Vn=·3n+1+,
Tn=·3n+1++.
20.(本小题满分12分)
[2019·河南南阳八校联考]已知在公差不为零的等差数列{an}中,a5和a7的等差中项为11,且a2a5=a1a14,其前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:
++…+<.
解析:
(1)设数列{an}的公差为d(d≠0),由题意可知
则
解得故an=2n-1,n∈N*.
(2)证明:
由
(1)得,Sn=n2,
∴==<=,
∴++…+<1+++…+
=1+
=1+-<,n∈N*,得证.
21.(本小题满分12分)
[2019·江西六校联考]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=4,b=4,cosA=-.
(1)求角B的大小;
(2)若f(x)=cos2x+sin2(x+B),求函数f(x)的单调递增区间.
解析:
(1)在△ABC中,由cosA=-,得sinA=.
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