全国高考理科数学试题北京卷.docx
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全国高考理科数学试题北京卷
绘密*启用K
2002年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)(北京卷)
本试卷分»1«(选择&)和第11您(非选择題)两部分。
第I卷1至2页。
mn#3至9贡°共150分。
冷试时间120分忡.
第I卷f选择題共60分)
注*事项:
1.®»1卷丽•考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用钮塔徐写在答题卡上。
2.
每小题选出答案后,用惚笔把答越卡上对应覇目的答案标号徐黑•如需改动・用检皮按干净后•再选涂蔑它答塞.不能答在试M卷上。
3.考试结克,监考人将本试卷和答題卡一并收回。
•垮公式:
三仏散的积化和灌公式
einaeft4-[«b(o♦0)♦m(a■0>]
cobatinB■土[心(a♦0)■Bin(o-0)]
cataa»"-y[cot(o♦0}♦cmCa-j?
>:
winaitng=■■〔心(o•0)■cct(“■0)J
(3)下列四个函数中•以冗为最小正周期•且在区间(今小)上为减函数的处
(A)y=a*2x(B)y=21ninz'
(C)y=(D)-ctgz
⑷64个直轻都为亍的球■记它们的体积之和为V.表面积之和为S.个宜径为a的球,记其体积为吃・表面积为S乙•则
(A)V.〉灯且5,>S£(B)V, (C)V,=VL且S.>S乙(D)=Vc且S.=S乙 (5)已知某曲线的参数方程是(X=8CC^-(f为鑫数)・若以原点为极点丿轴的正半釉为I厂培卩 极轴•长度眾位不变•键立极坐标系•则该曲线的极坐标方程足 (A)p=i(B)pcxif2631(C)”sin20・l(D)^: ooe20=1 ⑹给定四条曲线: ①J♦护=|•,②手*4=i•③’*4'=1•④手*/=1- 其中与M线x•rS0仅有一个交点的曲线地 (7)巳知引•刁WC且|可|=】•若析■巧・2i•则丨却■乃I的最大值是 ⑻若罰“•则品的值为 (A)3(B)-3(C)-2(D) (9)12名同学分别到三个不同的路口进行车流■的调査•若毎个路口4人•则不同的分M2方秦共有 (A)GCUH(B)3CiC: U种(C)C^ClP}种(D)旦器种 (10>设命&甲广直四梭柱AB3-&&GD、中•平面,4Cfft与对角面胡山。 垂直”;命題乙f直阿梭柱ABCD-儿&G6是正方体”.那么•甲聂乙的 (A)充分必更条件(B)充分非必要条件 (C)必整非充分条件(D)旣非充分又非必整条件 (11)已»/(x)是定义机-3,3}上的奇8§数,当0一<3时・/(x)的图您如图所示•那么不等式<0的解集苑 (A)(-3.-f)U(0J)U (B)(-|r-l)U(0J>U(|.3) (C)<-3.-l)U(0.])U(lJ)4A21 (D)<-3.-|)U(OJ)U(1.3)/ (12)如图所示,X{jr)(i«l.2,3,4)ft定义上的四个 過效,其中欄足性质: "对[611中任意的引和衍■任«AG[0,! ]. /(3煮17)靭立■的只有 (B)/i(x) (D)A(r) 2002年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)(北京卷) 第II卷(非迭再么共90分) 注就事项: 1席11倦共7页•用钢毛或劃珠笔直接答在试題卷中 评卷人 2•答卷的碍密対钱内的顶日塡埒清燧: 題 号 二 Hr 分 18 J9 2() 2122 分 1 1 1 1 2.填空■注大■共4小■■毎小■4分•共16分把答療填在■中 (⑶ (⑷零差数列Z中y2.公蔓不为零・H—計恰好比数列的前三项•那么该等比散列公比的ffiWT. (15)关于It角.40〃在定平面a內的射影有竝F判脇: Q)可能是(T的角: ②可能長枝用; ③町能杲H角;0町能是钝角! ⑤可能是】册的齢•英中正确刈新的序号是—(注: 把你认为是||•嶋判新的序号柿填上}. (16)巳知P是倉线3*+4y+8=0上的动乩PA.PB地圆/*/-2二-2)・+1=0的两 条切线M.BE切点.C是阅心•那么四边形PAC8面积的量小值为 3. 解答舗: 本大1■共6小题,共74分.解答应写出文字说阴.证明过程或演算步■・ 解不等式ISErl<2. 得分 评常人 (18)(本小«W(分12分) 如图■在多rtd本AH(: D-4,»: C,P.中,匕•下底面平行且均为矩形,相对的側面与同 一底面所成的二而角大小相竽,侧棱延长舀相交干E.F洱点,上、卜•底面矩形的长、宽分 别为r・d与It«>c,b>d,两底面间的距离为h. (I)求侧面ABB: 儿与底面ABCD所成二面角的大小; (0)证明: 必〃面MC〃: (111)在佔测该零Ifti休的体积时•经常运用近似公式 5=阳“・>1来计禅.已知它的体积公式是 *4矢“+5t 试判断V仏与V的大小艾系•并加以证明. (注: 马两个収向¥彳几且到闻t•底面州离相等的載面称为该多面体的中假面〉 得分 评卷人 (19)(本小分12分》 数列氐1由下列条件确宦: 心“>0•耳.产/“・+£)"€N. (i)证明: 对/1乞2・总有xBa5 ([I)证明: 对n>2.总有斗Mm (皿)若数列g啲极限存在•且大于赛•求叭的值• ■•• 得分 评卷人 (20)(本小题满分12分) 在研充并行汁算的茶本算法时•有以下简单模型何题: 用计赚机求n个不同的数5,f2的和二叫=叭+珂*小+…♦%・计算开始前, n个数存r: ftH台由网络连接的计算机中,耳台机器存一个数•计算开始后•在一个单位时间内•每台机器至多到一台其他机器中读数据•并与自己原有數据相加得到新的数据,备台机器可同时完成上述工作. 为了用尽可能少的瑕位时间•使各台机器都得到这n个数的和•需要设计一种读和 加的方法•比如;i=2时•一个弟位时冏即町完成计算•方法可用下表表示: 机初 第一单位时间 第二单位时间 第三单位时间 器 1号 时 被读机号 结果 被读机号 结果 — 被读机号1结果 1 —亠U 6i 2 旳♦巾 …-4 2 ■1 1 巧♦Vi 1 1 (I)当伦=4时•至少希要务少个单位时间可完成计算? 把你设汁的方法填入F表 仇器 初 第一单位时间: 第二单位时闾 亓间n 治时 ―x- 被读机号 结果 被读机号 结果 被读机号 结果i ! » L—一 12 ■ L一 : r 卜 一」 — 4 »4 (11)^n=128时,要使所有机器都得Mil-•至少需要多少个单位时间可完成计算? (结论不要求证明)m 得分"泮卷人 (21)(本小題満分13分) a(o.o)•〃(Ie)•c(b•t)圧厶one的三个莎•点•(Im出厶(卅C的取心G・外心儿垂心H的坐标・ 并证明GFH"真线; (II)当H线FH勺防平行时■求砂点C的轨谨. 刃分评卷人 —L(22)(本小越満分13分) 已血“X咫定义住K卜的不怕为專的曲敎・R对Ttt®«"硬R都满足: /(“•")*创6)・bf{a). (11)刿妙/(“的命㈱1」证明你的结论; (III)若*2)=2•-J"J«€、>•求数列叫: 的前n顶的和S「 H 绝密伐启用前 2002年普通高等学校招生全国统一考试 数学试題(理工农医类)(北京卷)參考解答 •.本餅答折出了毎題宴考査的主要知识和能力.井給岀了一种或几种解法供卷与,如杲考生的解床与本解祥不同.町根据试题的主整考査内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二.对计算题,当占生的解蓉在菓一步出现错误时.如崇后继部分的解济未改变谏眩的内容和难度•可稅够响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正御解答应得分散的一半;如果后继部分的鞘答有较严覚的错泯,就不再给分. 7.解答右竣所注分数.表乐考生正确傲到这一步应得的累加分数. 4.只绐整数分敷.选择題和填空題不给中间分. (5)D(10)C 一.选择踊: 本通考查基本知识和墓本运算・毎小>15分,廉分60分. (I)B⑵D(3)B(4)C (6)D(7)CWA(9)A (11)B(12)A .41空亀;本題竜童墓本知识和墓本运算.毎小&4分,購分16分. (13)arrtg(_#)«arrant_#)Vwcos(-弓) (15)①②③④⑤ (14)4 (16)2V2 三.解答題: 本大II共6小超,共74分.解答应厨出文字说明,迁明过程戒演算步■・ (17)本小题主耍考鑫不等式的解法笹基本知识•考脊运鼻能力和逻辑恩维能力•滞分12分. 解: 原不等式n 或 fv2x-1-x<2,w'2x-1-x>-2. x>2, xa-6x♦5<0 0空WXV5・ 斫以屈不筹式组a o2w“v5或pw久<2 因此•原不等武的解集为1”扌^.t<5-・ (⑻本小题主要考査直线、平面的位盘关系.考査不寻式的墓在知识.夸食空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分. (I)解: 过作底面・1BCD的垂也平面■交底面于—•过3作$(;丄型•垂足为G. V平面ABCDff平面AjB,C(D,. ZZG=.9(r, ・•・ABiPQ,AB丄yp. .•・zfi ・・・W=y(A-J), 又&G=h、 .*.tg/BiPG-代%(A>//)♦ ・••ZH.W=iurlg^.B|I所求二面角的大小为awtg芒(D)证明: •・•AB,CD®矩形\RCD的■•组对边.村Itf! ! CD. 又CD基面ABCD与面妙F的交线. AAB/価Cl)Eb\ •・•EF是面佔M与面CDEF的交线. •••AB//EF. TAB是平面肋CD内的一条直线・£F在平而ABCD外.EF〃面ABCD. (ID)%VV. 证明: •・•a>r.i>, ・•・—%详(宀如4•殳严•警)■号•叨 =.x[2crf+2ab+2(a4c)(6・d)・3(a*c)(b♦d)] (⑼本小題主耍考査數列•数列极BL不等式等墓本知讯考查逻犧思It能力•滴分12分. (1)证聘: 由x,xa>o.及=・.“*(斗r)・可归纳证明x,>0(没有还明过程不扣分).从血有j=号(X.*中)珂=JQ(nWN), 所以•当“M2时*亠兀成立. (U)证法一: 当小2时,因为>0,x<4.|=寺("e*右). ,圻以j-*A»寺(孔*^)-X.二*・9;呂<0・ 枚当时成立. 证法二: 当22时•因为>0,矶•严寺(务♦于), 丄(*令2).,, ccMi>. 所以=—£—=・ 故当n>2时・x.*孔,1成立. (HI)U: 记=4tJKlimw…=儿且4>0. 由x.・■二寺a.*尹. 由A>of«i94x/at 故hmxA«>za・ (20)门、&主要考传运用效学思想方发分析和解决科学问題的能力•滞分12分. (DM: 当"4时■只用2个单位时间即可完成计算.方法: 之一如下: 厂 1机 > 1号 第三单位时间 初j第一单位时何 第二单位时间 W1 时1被读机号 1 结果 被读机号 结果 轅读机号 J ―― 结果1LJ Llbii 2_ 叫+” 3 片+巧+巧+切 1 「1 ! r 巾*圳 4 -— Vj♦Vi+P4+巧 Ul 4 巧*珂 1 V)*V4+力♦巧 4 「3 2「 v4令力十巧+S 1 . (U)解: 当“e=2,时•至少需要7个单位肘间才能完成计算. (21)本小题主费考竟直线与椭圆等墓本知识,考査分析问&和解决何題的能力•満分13分. (i)lh由AOfiC二頂点坐标O(0・0)・〃(丨・O)・C(b.C(心0),可求得重心G(字申.外心,(*・'"£二°)・垂心""•上尹). 当6=~时,G・几〃三点的横坐标均为扌,故三点共线; 当6■占时•设G・"所在貞线的斜率为U、F、G所在直线的斜率为― 所以如二虬・G・F・R三点共钱. 综上可得・G、F、H三点共线. (U)■: 若削〃OB•由—二今鵠详"•得 3(53-6)+? =0*#0,6.扌). 所以,顶点C的轨迹是中心在(y.O).长半紬长为弓•短半釉长为y.afe紬住x轴上的嘀IB•除去(0.0)・(! 0)♦(+♦今)・(寺.■曽)四点. (22)本小聽主要考査函敷与数列帑墓本知识•考査分析问题和解决冋题的能力.満分13分. (1=/(0-0)=0-/<0)*0(0)=0. 因为/(l)s/(li)xb/ 所以/ (1)=0. : U”U)是奇函数. 证明個为= 所以/(・1)=0,, /(-x)=/(-bx)=: +-/(X), 因此,/("为奇函数. 【U)解法一: 由/(a1)=#(a)+qf(o)=2qf(o)t /(a3)=a2/(a)+qf(a2)=3aJ/(a), 猜测/((/)=灯・丫(". 下面用数学归纳法证明: 1®.当n=I时./(a1)=1•a•/(a),公式成立; 2°•假设当*=斤时,/(a)-ka'l/(a)成立,那么当n=A+1时. •'仁稣“心心 =«y(a)+3/(a) 十+1)*。 ),公式仍成立. 由上两步可师,对任意nGNJ((T)=-了(。 )成立. 所以叫二件寻=(+)—・/(*). 因为/⑵J/(l)=/(2-|)=2/(|)+yA2)=0»所以/(*)=_£/* (2)=-*・如=(一寺)•(*)■"(nEN)I I 因此凡=——严一=(|)*-1(n€N). ^ 解法二: 当叭o时/号G二呼畔・ 令《(为)二人召.则g(o・6〉=g(e〉"g(b), X 故g(an)=ng(a), 所以/(a')=a''gCa")=zw"g(a)=rw"_,/(a)» 所以"上年n…・/(*). (以下同解法一)
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