高考全国3卷理科数学试题及答案解析.docx
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高考全国3卷理科数学试题及答案解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国)
理科数学
(试题及答案解析)
一、选择题:
(本题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知集合A(x,y)x2y21,B(x,y)yx,则AB中元素的个数为()
A.3B.2C.1D.0
【答案】B
【解析】A表示圆x2y21上所有点的集合,B表示直线yx上所有点的集合,故AB表示两直线与圆的交点,由图可知交点的个数为2,即AB元素的个数
为2,故选B.
2.设复数z满足(1i)z2i,则z()
A.
1
B.2
C.2
D.2
2
2
答案】
C
解析】
由题,
2i2i1iz
2i2
2i2i1,则
z12122,故选C
1i1i1i
2
3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至
2016年12月期间月接待游客量(单位:
万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
答案】A
解析】由题图可知,2014年8月到9月的月接待游客量在减少,则A选项错误,故选A.
533
4.(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为
A.
【答案】
【解析】
B.
)
C.40
D.80
C
由二项式定理可得,原式展开中含
223332
xC522xyyC532xy
33
xy的项为
3333
40x3y3,则x3y3的系数为40,故选C.
22
5.已知双曲线C:
x2y21
a2b2
a0,b0)
的一条渐近线方程为
y5x,
yx,
2
且与椭圆
22
xy1有公共焦点.
3
22
x2y21
810
B
12
C的方程为()
A.
B.
22
x2y21
5
22
xy
C.1
54
D.
答案】
解析】
∵双曲线的一条渐近线方程为
y25x,
则b
a
5①
2
22
又∵椭圆1x2y31与双曲线有公共焦点,易知
c3,则
22
a2b2c
由①②解得a2,b5,则双曲线C的方程为
2
4y51,故选B.
π
6.设函数f(x)cos(x3),则下列结论错误的是()
3
A.
f(x)的一个周期为2π
C.
f(x)的一个零点为xπ
6
答案】
解析】
2
y21
43
9②
yf(x)的图像关于直线
π
D.f(x)在(π,π)单调递减
2
S的值小于91,则输入的正整数N
故选
ycosx向左平移π个单位得到,
3
函数fxcosxπ的图象可由
3
D.
x8π对称
3
7.执行右图的程序框图,为使输出
的最小值为()
A.
B.
C.
D.2
答案】D
解析】程序运行过程如下表所示:
S
M
t
初始状态
0
100
1
第1次循环结束
100
10
2
第2次循环结束
90
1
3
此时S9091首次满足条件,程序需在t3时跳出循环,即N2为满足条件的最小值,故选D.
8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()
A.πB.3πC.πD.π
424【答案】B
【解析】由题可知球心在圆柱体中心,圆柱体上下底面圆半径r1213,
22
23π则圆柱体体积Vπr2hπ,故选B.
4
9.等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为()
A.24B.3C.3D.8
【答案】A
【解析】∵an为等差数列,且a2,a3,a6成等比数列,设公差为d.
22则a32a2a6,即a12d2a1da15d又∵a11,代入上式可得d22d0又∵d0,则d2
6565∴S66a12d162224,故选A.
22
10.已知椭圆C:
x2y21(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直ab
径的圆与直线bxay2ab0相切,则C的离心率为()
A.
6
3
B.3C.2
33
D.1
3
答案】
A
解析】
∵以
A1A2为直径为圆与直线bxay2ab0相切,∴圆心到直线距离
d等于半径,
2ab
a
∴d2
ab
又∵a0,b0,则上式可化简为a23b2222222c2
∵bac,可得a3ac,即2a3
∴ec6,故选Aa3
11.已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点,则
11
1B.1
23C由条件,f(x)x22xa(ex1ex1),得:
f(2x)(2x)22(2x)a(e2x1e(2x)1)x24x442xa(e1xex1)2x1x1
x22xa(ex1ex1)
∴f(2x)f(x),即x1为f(x)的对称轴,由题意,f(x)有唯一零点,∴f(x)的零点只能为x1,即f
(1)1221a(e11e11)0,1
解得a1.
2
A.
C.
a()
1
2
D.1
答案】解析】
12.在矩形ABCD中,AB1,AD2,动点P在以BD相切的圆上.若的最大值为()
B.22D.2
点C为圆心且与APABAD,则A.
C.
答案】
解析】
3
5
A由题意,画出右图.设BD与C切于点E,连接CE.以A为原点,AD为x轴正半轴,AB为y轴正半轴建立直角坐标系,则C点坐标为(2,1).
∵|CD|1,|BC|2.∴BD12225.
∵BD切C于点E.
∴CE⊥BD.
∴CE是Rt△BCD中斜边BD上的高.
1
22|BC||CD|2|BD|5
25.
5
y
B
E
A(O)
|EC|2|SB△DBC|D
即C的半径为
∵P在C上.
25
5
224
(x2)2(y1)24
∴P点的轨迹方程为5.
设P点坐标(x0,y0),可以设出P点坐标满足的参数方程如下:
2
x025cos
25
y0125sin
而AP(x0,y0),AB(0,1),AD(2,0).
∵APABAD(0,1)(2,0)(2,)
∴x01cos,y015sin.
2055两式相加得:
125sin15cos
55
2(255)2
2sin()≤3
(其中sin5,cos25)
55
当且仅当2π2kπ,kZ时,取得最大值3.
二、填空题:
(本题共4小题,每小题5分,共20分)
xy≥0,
13.若x,y满足约束条件xy2≤0,则z3x4y的最小值为.
y≥0,
【答案】1
【解析】由题,画出可行域如图:
目标函数为z3x4y,则直线y3xz纵截距越大,z值越小.
44
a1a21a1a1q1①
a1a33a1a1q3②
显然q1,a10,
②
1得1q3,即q2,代入①式可得a11,33
15.设函数f(x)xx1,x0,
2x,x0,
a4a1q128.
1
则满足f(x)f(x2)1的x的取值范围是
答案】
解析】
1,
4,
x1,x≤0fxx,fxf
2x,x0
11f
2
1
x1,即fx
2
1
由图象变换可画出yfx2与y1fx的图象如下:
圆心,1为半径的圆.
x轴正方向,CB为y轴正方向,
16.a,b为空间中两条互相垂的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB论:
①当直线AB与a成60②当直线AB与a成60③直线AB与a所成角的最小值为45;④直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是(填写所有正确结论的编号)
【答案】②③
【解析】由题意知,a、b、AC三条直线两两相互垂直,画出图形如图.不妨设图中所示正方体边长为1,故|AC|1,AB2,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,则A点保持不变,B点的运动轨迹是以以C为坐标原点,以CA为z轴正方向建立空间直角坐标系.则D(1,0,0),A(0,0,1),直线a的方向单位向量a(0,1,0),|a|1.
B点起始坐标为(0,1,0),直线b的方向单位向量b(1,0,0),|b|1.
设B点在运动过程中的坐标B(cos,sin,0),其中为BC与CD的夹角,[0,2π).
那么AB'在运动过程中的向量AB(cos,sin,1),|AB|2.设AB与a所成夹角为[0,π],
a
AB
(cos,sin则cos
(0,1,0)2|sin|[0,2].
22.
ππ
故[4,2],所以③正确,④错误.
设AB与b所成夹角为[0,π],
2
22|cos|
当AB与a夹角为60时,即
sin2cos2cos21
32
∵cos2sin21,
2
∴|cos|.
2
∴cos2|cos|1.
22
∵[0,2π].
π
=3,此时AB与b夹角为60.3
∴②正确,①错误.
(一)必考题:
共60分.17.(12分)
c,已知sinA3cosA0,a27,b2.
ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,
(1)求c;
解析】
(1)由sinA3cosA0得2sinA30,
(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求△ABD的面积.π
π2π
∴Aπ,得A.
33
1由余弦定理a2b2c22bccosA.又∵a27,b2,cosA2代入并整理
2得c125,故c4.
2)∵AC2,BC27,AB4,由余弦定理cosCabc27.
2ab7∵ACAD,即△ACD为直角三角形,则ACCDcosC,得CD7.由勾股定理ADCD2AC23.
1π
S△ABD
ABD2
ADABsin3
26
18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每
瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:
℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500
瓶;如果最高气温位于区间20,25,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量
为200瓶,为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得
面的频数分布表:
最高气温
10,15
15,20
20,25
25,30
30,35
35,40
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:
瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:
元).当六月份这种酸奶一天的
进货量n(单位:
瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
解析】⑴易知需求量x可取200,300,500
⑵①当n≤200时:
Yn642n,此时Ymax400,当n200时取到.
41
2当200n≤300时:
Y2n2002n2002
55
88002n6n800
n
5
此时Ymax520,当n300时取到.
③当300n≤500时,
Y12002n200223002n30022n2
555
32002n
5此时Y520.
④当n≥500时,易知Y一定小于③的情况.综上所述:
当n300时,Y取到最大值为520.
19.(12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形.?
ABD?
CBD,AB=BD.D
(1)证明:
平面ACD^平面ABC;D
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分.求二面角D-AE-C的余弦值.
B
解析】⑴取AC中点为O,连接BO,DO;ABC为等边三角形
∴BOAC
∴ABBCABBCBDBD
ABDCBD.
ABDDBC
∴ADCD,即ACD为等腰直角三角形,ADCA为直角又O为底边AC中点
∴DOAC
令ABa,则ABACBCBDa
D
易得:
易得:
ODa,
2
∴OD2OB2BD
OBa
2
由勾股定理的逆定理可得DOB
2
即ODOB
ODOB
ACOBOOD平面ABC
AC平面ABC
OB平面ABC又∵OD平面ADC由面面垂直的判定定理可得平面ADC平面ABC⑵由题意可知VDACEVBACE即B,D到平面ACE的距离相等即E为BD中点
以O为原点,OA为x轴正方向,OB为y轴正方向,OD为z轴正方向,设ACa,建立空间直角坐标系,则O0,0,0,Aa,0,0
易得:
AEa,3a,a
244
a3
D0,0,,B0,
22
aa
ADa2,0,2a,
a,0,E0,3a,a
244
a
OA,0,0
2
设平面AED的法向量为n1,平面AEC的法向量为n2,AEn10
则,解得n13,1,3
ADn10
AEn20,解得n20,1,3
OAn20若二面角DAEC为,易知为锐角,
20.(12分)已知抛物线C:
y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.
(1)证明:
坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.
解析】⑴显然,当直线斜率为0时,直线与抛物线交于一点,不符合题意.
设l:
xmy2,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立:
2
yxm2yx2得y22my40,
4m216恒大于0,y1y22m,y1y2uuruuur
OAOBx1x2y1y2
(my12)(my22)
2
(m1)y1y22m(y1y2)4
2
4(m21)2m(2m)40
uuruuur
∴OAOB,即O在圆M上.
uuuruur
⑵若圆M过点P,则APBP0(x14)(x24)(y12)(y22)0
(my12)(my22)(y12)(y22)02
(m21)y1y2(2m2)(y1y2)80
21
化简得2m2m10解得m或1
2
1
1当m时,l:
2xy40圆心为Q(x0,y0),
y1y2119
y0,x0y02,
2224
2
则圆M:
(x9)2(y1)285
4216②当m1时,l:
xy20圆心为Q(x0,y0),y1y2
y0121,x0y023,
200半径r|OQ|321222则圆M:
(x3)2(y1)210
21.(12分)已知函数f(x)x1alnx.
(1)若f(x)≥0,求a的值;
111
(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+1)(1+12)鬃?
(11n) 【解析】⑴f(x)x1alnx,x0 则f(x)1axa,且f (1)0 xx 当a≤0时,fx0,fx在0,上单调增,所以0x1时,fx0, 不满足题意;当a0时,当0xa时,f(x)0,则f(x)在(0,a)上单调递减;当xa时,f(x)0,则f(x)在(a,)上单调递增. ①若a1,f(x)在(a,1)上单调递增∴当x(a,1)时f(x)f (1)0矛盾 2若a1,f(x)在(1,a)上单调递减∴当x(1,a)时f(x)f (1)0矛盾 ③若a1,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增∴f(x)≥f (1)0满足题意综上所述a1. ⑵当a1时f(x)x1lnx≥0即lnx≤x1则有ln(x1)≤x当且仅当x0时等号成立 11*∴ln(1k)k,kN 22 一方面: ln(112)ln(1212)...ln(121n)12212...21n121n1,即(112)(1212)...(121n)e. 111111135 另一方面: (1)(12)...(1n) (1)(12)(13)2 22222264 111 当n≥3时,(121)(1212)...(121n)(2,e) *111 ∵mN*, (1)(12)...(1n)m, 222∴m的最小值为3. 22.[选修4-4: 坐标系与参数方程](10分) xt,在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),直线l的参数方程 ykt, xm, 为m(m为参数),设l与l的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C. y, 22 xy4 22 xy4; m, (1)写出C的普通方程: (2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l: c(osnis),M为l与C的交点,求M的极径. 解析】⑴将参数方程转化为一般方程 l1: ykx2 1 l2: yx2 k ①②消k可得: 即P的轨迹方程为⑵将参数方程转化为一般方程 l3: xy20⋯⋯③ xy20联立曲线C和l322x2y24 x32x2解得2 y2y2 xcos 由解得5 ysin 即M的极半径是5. 23.[选修4-5: 不等式选讲](10分)已知函数f(x)|x||x|. (1)求不等式f(x)的解集; (2)若不等式f(x)xxm的解集非空,求m的取值范围. 3,x≤1 【解析】⑴fx|x1||x2|可等价为fx2x1,1x2.由fx≥1可得: 3,x≥2 ①当x≤1时显然不满足题意; ②当1x2时,2x1≥1,解得x≥1; 3当x≥2时,fx3≥1恒成立.综上,fx1的解集为x|x≥1.⑵不等式fx≥x2xm等价为fxx2x≥m,令gxfxx2x,则gx≥m解集非空只需要gxmax≥m. 2x2x3,x≤1 2而gxx3x1,1x2. x2x3,x≥2 ①当x≤1时,gxmaxg13115; ②当1x2时,gxmaxg33331 max222 3当x≥2时,gxmaxg222231. 综上, 55 m 4,故4.每项建议案实施完毕,实施部门应根据结果写出总结报告,实事求是的说明产生的经济效益或者其他积极效果,呈报总经办。 总经办应将实施完毕的建议案提交给评委会进行效果评估,确定奖励登记,对符合条件的项目,应整理材料,上报总经理审批后给建议人颁发奖励。
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