相似三角形压轴题含答案.docx
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相似三角形压轴题含答案
点E在CB的延长线上,联结DE,交AB于点F,联结DB,AFDDBE,且
2
DEBECE.
(1)
求证:
DBECDE;
(2)
当BD平分ABC时,求证:
四边形ABCD是菱形•…
答案:
(1)证明:
•••DE2BECE,-.一
•DEBE
(o
CEDE'
--匚匚
(2分)
(A
EE,
(1分)
•口匚cqcc匚
/4
DBEsCDE・
(1分)
•DBECDE
(1分)
(2)
•/DBECDE,
又••
DBEAFD,
•CDEAFD
(
1分)
•AB//DC.
(
1分)
又•••
AD//BC,
•••四边形ABCD是平行四边形(1分)
AD//BC,
ADB
1.
(1分)
DB平分
ABC,
12•
(1分)
ADB
2•
ABAD
(1分)
•••四边形ABCD是菱形.(1分)
2、(2010?
山东省泰安市)如图,在△ABC中,D是BC边上一点,E是AC边上一点,
且满足AD=AB/ADEMC
(1)求证:
/AED=/ADC/DECMB;
2
(2)求证:
AB=AE・AC
2.(本小题满分8分)
证明:
(1)在厶ADE^D^ACD中
•••/ADEMC,MDAE=MDAE
•••/AED=180—MDAE-MADE
MADC=180—MADE-MC
•MAEDMADC(2分)
vMAEDMDEC=180
MADBMADC=180
•MDECMADB
又vAB=AD
•MADBMB
•MDECMB(4分)
(2)在厶ADE和厶ACD中
由
(1)知/ADEMC,MDAEMDAE
•△AD0AACD(5分)
•ADAC
AEAD
即AD=AE・AC(7分)
又AB=AD
•AB2=AE-AC(8分)
3.
(2009泰安)如图,△ABC是直角三角形,MACB=90,CD!
AB于D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F。
(1)求证:
fD=FB・FG
(2)若G是BC的中点,连接GDGD与EF垂直吗?
并说明理由。
【答案】证明:
(1)VE是Rt△ACD斜边中点
••DE=EA
••MA=M2
•1=M2
'•M1=MA…
•MFDC=zCDB+M仁90°+M1,MFBD玄ACB+MA=90°+MA
•••/FDC玄FBD
•••F是公共角
•••△FBMAFDC
FB
FD
FD
FC
FD2
FB?
FC
(2)GDIEF
理由如下:
•/DG是Rt△CDB斜边上的中线,
•DG=GC
•••/3=Z4
由
(1)得/4=Z1
•••/3=Z1
•••/3+Z5=90°
•••/5+Z1=90°
•DG1EF
4、(2010广东珠海)如图,在平行四边形ABCC中,过点A作AE±BC,垂足为E,
连接DE,F为线段DE上一点,且/AFE=ZB.
(1)求证:
△ADF^ADEC
(2)若AB=4,AD=3.3,AE=3,求AF的长.
【答案】
(1)证明:
•••四边形ABCD是平行四边形
•AD//BCAB//CD
•••/ADF=/CED/B+ZC=180°
•••/AFE+ZAFD=180ZAFE=/B
•ZAFD=/C
•△ADF^ADEC
⑵解:
•••四边形ABCD是平行四边形
•AD//BCCD=AB=4
又•••AE±BC•AE丄AD
在Rt△ADE中,den__AE2』(3爲)23265、(2010广东肇庆)如图5,/ACB=90,AC=BCBELCE于E,AD丄CE于D,CE与AB交于F.
(1)求证:
△CEB^AADC;
(2)若AD=9cmDE=6cm求BE和EF的长.
B
【答案】解:
(1)因为/ACB=90,所以/BCE+ZECA=90.
因为ADLCE于D,所以/CAD+/ECA=90.
所以/BCE/CAD.
因为BELCE于E,所以/BEC/CDA=90.
又因为AC=BC所以△CEB^AADC(AAS.
(3)因为△CEB^AADC所以CE=AD=9cmCD=BE因为DE=6cm所以CD=CE-DE=3cm所
以BE=3cm.因为/BEF=/ADF=90,/EFB=/DFA,所以△EFBs△DFA.所以.设EF=xcm,所以DF=(6-x)cm,所以—=—^,所以x=3cm.
ADFD96-x2
6、.(2009年潍坊)已知△ABC,延长BC到D,使CDBC.取AB的中点F,连结FD交AC于点E.
AE
(1)求竺的值;
AC
(2)若ABa,FBEC,求AC的长.
解:
(1)
过点F作FM//AC,交BC于点M.
QF为AB的中点
M为BC的中点,
FM
—AC.
2
由FM
//AC,
得
CED
MFD,
ECD
FMD,
△FMDECD
DC
EC
2
DM
FM
3
EC
2FM
2
-AC
】AC
3
3
2
3
1
AEACEC
ACAC
AC丄AC
3
AC
11
(2)QABa,FBABa
22
1又FBEC,ECa
2
13
QEC—AC,AC3EC—a.
32
7、(2011?
东莞市)21.如图(〔),△AB^AEFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,AB=AC=EF=9
/BAC=ZDEF=9(0,固定△ABC,将厶DEF绕点A顺时针旋转,当DF边与AB边重合时,旋
它的延长线)于G,H点,如图
(2)
81
y=—。
x
又•••BC=929292,
•••AG=AH「・xCGAC9
9_•••当x、,2或x9时,△AGH是等腰三角形。
2
8、(2009武汉)如图1,在Rt△ABC中,BAC90°AD丄BC于点D,点O是AC边上一点,连接BO交AD于F,OE丄OB交BC边于点E.
(1)求证:
△ABFCOE;
图1图2
【关键词】相似三角形的判定和性质
QBAC90°BAFC.
QOE丄OB,BOACOE90°
QBOAABF90°,ABFCOE.
△ABFCOE;
(2)解法一:
作OG丄AC,交AD的延长线于G•
QAC2AB,O是AC边的中点,ABOCOA•
由
(1)有△ABFs^COE,△ABFCOE,
BFOE•
QBADDAC90°DABABD90°°DACABD,
又BACAOG90°ABOA•
△ABCOAG,OGAC2AB•
QOG丄OA,AB//OG,△ABFs^GOF,
OFOGOFOFOG2
BFABOEBFAB
你认为小东的这个结论正确吗?
如果正确,请给予证明;如果不正确,请说明理由.
22.
(1)解:
过E作直线平行于BC交DC,AB分别于点F,G,
则DFDE
FCEP'
EMEF
ENEG
GF
BC
12.
•••DEEP,-
•DFFC
2
分
1
•••EFCP
163,
EGGFEF
123
15.
2
2
EMEF
31
4
分
ENEG
155
(2)证明:
作MH//BC交AB于点
H,
••5
分
贝UMHCB
CD,MHN
90.
DCP18090
90,
DCP
MHN.
•••MNH
CMN
DME
90
CDP,
DPC90
CDP,
DPC
MNH.•
DPC
MNH
...7
分
•DPMN
8
分
10、(2010?
湖北省咸宁)24.(本题满分12分)
如图,直角梯形ABCD中,AB//DCDAB90,AD2DC4,AB6.动点M以每秒1个单位长的速度,从点A沿线段AB向点B运动;同时点P以相同的速度,从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时,两点同时停止运动.过点M作直线I//AD与线段CD的交点为E,与折线AGB的交点为Q点M运动的时间为t(秒).
(1)当t0.5时,求线段QM的长;
(2)当0vtv2时,如果以C、PQ为顶点的三角形为直角三角形,求t的值;
(3)当t>2时,连接PQ交线段AC于点R.请探究竺是否为定值,若是,试求这个
定值;若不是,请说明理由.
(备用图1)
(备用图2)
24•解:
(1)过点C作CFAB于F,则四边形AFCD^矩形.
此时,
Rt△AQMRt△ACF•-
...•2分
•QM
CF
AM
AF.
•CF4,AF2.
4-2
M.5
QO
1
•••QM1.……3分
(2)vDCA为锐角,故有两种情况:
1当CPQ90时,点P与点E重合.
此时DECPCD,即tt2,•t1.……5分
2当PQC90时,如备用图1,
此时Rt△PE©Rt△QMA•
EQ
PE
MA
QM
由
(1)知,EQEM
QM42t,
而PEPCCE
PC
(DCDE)t(2t)2t2,
.42t1.5
.--t-.
2t223
综上所述,t1或5.8分(说明:
未综述,不扣分)
3
I
(备用图1)
PADADP4(t
2)
6t.
由
(1)得,BFAB
AF
4.
•CFBF.
•Cl
BF45
•QMMB6t.
•QM
PA.
•四边形AMQ为矩形.
•PQ
//AB.
•△CRgCAB
•CQBCJCF2
BF2
42
22
(3)C2为定值.……9分
RQ
当t>2时,如备用图2,
RQAB
AB
6
3
11分
(备用图2)
11、五、石景山24题:
在厶ABC中,ABAC,
Z
(1)
(2)
(3)
BED
如图
如图
若/
2CED
1,若/
2,若/
BAC
BAC
BAC
D是底边BC上一点,E是线段AD上一点,且
BAC.
90,猜想DB与DC的数量关系为;
60,猜想DB与DC的数量关系,并证明你的结论;
A
E
B
C
D
B
C
7
CED
6
F
60
B
C
120
5
4
3
1
7
3
2
AC
AB
A
E
GCE
B
D
2
FC
直线
90°
)
M
)
O
D
A
yB
A,
1
点D的坐标是(
将AOAB绕点O逆时针方向旋转
由厶DBEs\
图1
图2
在AD上取点
后得到△OCD
(1)填空:
点C的坐标是(
BAC60
G使得CGCF
CED30
CGEG
CFCG
(2)设直线CD与AB交于点M求线段BM的长
BED2
5
Gt
•••DB2DC
⑶结论:
DB2DC.
25.(11•漳州)(满分13分)如图
6CED30
1260
F
图
(1)
【参考答案】24.解:
(1)DB2DC
6F
⑵DB2DC
证明:
过点C作CF//BE交AD的延长线于点F
DCF得DDBE
y=—2x+2与x轴、y轴分别交于AB两点
-AG-BE
22
D
F
图
(2)
△ABE◎△CAG
CGAE,BEAG
,请直接写出DB与DC的数量关系•
A
C
(3)在y轴上是否存在点P,使得△BMF是等腰三角形?
若存在,请求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:
(1)点C的坐标是(0,1),点D的坐标是(一2,0)
4分
(2)方法一:
由
(1)可知CD=OC+OD5,BC=1
又/1=Z5,Z4=Z3
s
6分
△BMC
DOC
BMBCRBM1
•-D(=DC即2=5
BM
方法二:
设直线CD的解析式为y=kx+b
由
(1)得
b=1
—2k+b=0
解得
•直线CD的解析式为y=2x+1
又/1=/5,/BCIWZDCO
BMC
s
••6分
△
•△
DOC
BMBC口BM1
=即==
DODC'25
BM
5
2y=—2x+2x=
51y=x+1
2
6
5)
过点M作MLy轴于点E,贝UM^,BE^c
55
BM
mE+be?
分两种情况讨论:
①以BM为腰时
11分
过点M作MELy轴于点E,vZBMG90°,
82
2—5=5
件的点P有
是P3(0,
2
5)
12分
以BM为底时,
BM于点
P、F,
(2)得/BM&90
•••PF//CM
•••F是BM的中点,
11
•BP=2BC=2
BM的垂直平分线,分别交y轴、
分
13.(2010?
福建省莆田市)如图1,在Rt△ABC中,ACB90°AC6,BC8,点D在边AB上运动,DE平分CDB交边BC于点E,CMBD垂足为M,ENCD,垂足为N.
(1)当AD=CIM,求证:
DE//AC;
(2)探究:
AD为何值时,△BME与厶CNE相似?
(3)探究:
AD为何值时,四边形皿已“与厶BDE的面积相等?
24.(本小题满分12分)
bc
•••AD=5
Ab即bd
(□)当△BMEs\ENC时,得ebmcen
•EN//BD
又•••ENLCD
•BDLCD即CD是△ABC斜边上的高
1
(3)由角平分线性质易得SamdeSaden-DM-ME
2
QS四边形MENDSABDE
11
-BD-EMDM-EM即DM-BD8分
22
•EM是BD的垂直平分线.
•ZEDBMDBE
•••/EDBZCDE...ZDBE=ZCDE
14、(2012莆田市质检)24.(本小题满分12分)
如图,在Rt△ABC中,ZACB=90,AC=8,BC=6,点D是射线CA上的一个动点(不与A、C重合),DEL直线AB于E点,F是BD的中点,过点F作FHL直线AB于点H,连接EF,设AD=x.
(1)◎(3分)若点D在AC边上,求FH的长(用含x的式子表示);S4分)若点D在射线CA上,△BEF的面积为S,求s与x的函数关
系式,并写出x的取值范围.
(2)(5分)若点D在AC边上,点P是AB边上的一个动点,DP与EF相交于0点,当DP+FP的值最小时,猜想DC与P0之间的数量关系,并加以证明.
24.解:
(1)①
TACB
900,
AC8,
BC6
-AB
AC2BC2826210-1分
方法一:
sin
ABC
63
AB
105
TAED
90°
•DE
ADsinA
3
x-
__2分
5
DEB900,F是BD的中点
•EF
•FH
BF^DE
2
TFH
3x-
10
AB
-3分
•EH
BH
方法二
:
•
AED
ACB
900,
AA
•ADEs
ABC
•DE
AD
BC
AB
•DE
x
3
•DE
x
■■-2分
6
10
5
DEB900,F是BD的中点二EFBF
■■—x---3分
10
•/FHAB•EHBH•FH1DE
2
②•••ADEsABC
有两种情况:
(I)
4
x
5
•••BE
10
•••S
•••S
^BE
2
3
.AE
••AC当占
—^1八、、
1
FH-(10
2
3
2x,
x2
25
当点D在CA延长线上时,如图
3
130x,
同理得:
FH
TBE10
1DE
2
4
x
5
•••S±BE
2
FH
B
2:
1_
—(10—x)x
2510
B
•••SAx2
25
(2)猜想:
证明:
EF于O,
vFH
3x,(x0)一7分
2
DO3PO―8分
作点F关于AB的对称点F;连接FF'则FF'AB于H,连接DF'交交AB于P,此时
1
DE,FHF
2
DE又vFF
DPFP的值最小时•连接EF.
•••FF
•••四边形DEF'F是平行四边形一9分
DPE与F'PH
900
方法一:
如图3,在
vDEPF
HP
//DE
DPE
中
f'ph
DP
1
DE
1
2
•••DP:
PF
FH
DO
PO2(DO
PO)
方法二
:
连接
OH如图4:
vOE
OF,
FH
F'H
•••OH
//EF'
1
且OH=-EF
2
•••OPHs
f'pe
.OP
OH
1
—11/分
■■-10分
PH
DPE
2PF
化简得:
10分
二DO
2
PF
方法三:
M,连接
EF
取PB的中点
sF
11分
DO
3PO
12分
B
vFH
FH,FH
-DE
2
二FF
DE又v
FF//DE
•••四边形DEF'F是平行四边形
•••OE
vDF
OF
BF,
•••FM
//DP,
■■-10分
PMBM
1
二OPFM,
2
OF
FM
B
FM
•••DP
4PO
•••DO3PO―12分
15、(2012?
福建省莆田市)24.(本小题满分12分)
(1)(3分)如图①,在Rt△ABC中,/ABC=90,BDLAC于点D.求证:
AB2=AD-AC;
⑵(4分)如图②,在Rt△ABC中,/ABC=90,点
交AC于点F.空BD1,求△匚的值;
BCDCFC
⑶(5分)在Rt△ABC中,/ABC=90,点D为直线
D为BC边上的点,BE丄AD于点E,延长BE
BC上的动点(点D不与B、C重合),直线BE
AF
n,请探究并直接写出的所有可能的
FC
丄AD于点E,交直线AC于点F。
若-AB-BD
BCDC值(用含n的式子表示),不必证明.
24.(本小题满分12分)
(1)证明:
如图①,JBD丄AC,/ABC=90,/ADB=ZABC
又/A=ZA,「.△ADB^AABC(2分)
ABAD2仆“
/.AB=AD-AC
ACAB'
⑵解:
方法一:
如图②,过点
(3分)
C作CGLAD交AD的延长线于点
G.
•/BE丄AD,•••/CGD=ZBED=90°,CGIBF
又•如BD1
ACBC
AB=BC=2BD=2DC,BD=DC
又•/BDE=ZCDG•-△BDE^ACDG
1
ED=GD=—EG
2
22
AB=AE-AD,BD=DE-AD
(5分)
由⑴可得:
AE
DE
型嗨4,•AE=4DE
BDBD
AE4DE
EGDE
图②
2(6分)
又•••
AF
CG//BF,-
AE2
(7分)
FC
EG
方法二
1:
如图③,过点
D作DG//BF交AC于点G…
….(4分)
ABBD,
.1一
BD=DC=-
AC
BC
2
FC
BC
DG//BF,:
2,FC=2FG……(5分)
FG
BD
由
(1)可知:
AB=
AE-AD,
2
BD=
=DE-AD
AE
AB2
BC2
DE
BD2
BD2
4
AF
AE
AFAF
DG//
旺•••
4-
FG
ED
FC2FG
⑶①当点
D在BC边上时,
AF
的值为n2+
n.
FC
②当点
D在Bc延长线上时,
AF
AF的值为
2
n—n.
FC
③当点
D在cB延长线上时,
AF
的值为
2
n—n.
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