二次函数解析几何存在性问题.docx

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二次函数解析几何存在性问题

二次函数解析几何专题一一存在性问题

存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖而较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。

这类题目解法的一般思路是：

假设存在一推理论证一得出结论。

若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。

由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全而的考验。

一、方法总结

解存在性问题的一般步骤：

（1）假设点存在：

（2）将点的坐标设为参数；

（3）根据已知条件建立关于参数的方程或函数。

二、常用公式

（1）两点间距离公式：

若yi）,BCo，则IABI=J（X]—勺）2

（2）中点坐标公式：

工=土也,＞，=31

22

（3）斜率公式：

①攵=上二21；②女=tan6（8为直线与x轴正方向的夹角）看一再

（4）①对于两条不重合的直线八、小其斜率分别为右、匕，则有h/2后检②如果两条直线八、，2的斜率存在，设为ki、k2,则展=-1.

题型一面积问题

例1.如图，抛物线）=一一+以+。

与X轴交于A（l,0）,B（—3,0）两点.

（1）求该抛物线的解析式：

（2）在

（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点尸，使△尸8。

的面积最大？

，若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值：

若不存在，请说明理由.

变式练习：

L如图，在直角坐标系中，点月的坐标为（-2,0）,连结由，将线段"绕原点。

顺时针旋转120°,得到线段纺.

（1）求点6的坐标：

（2）求经过乩0、8三点的抛物线的解析式；

（3）如果点尸是

（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么4月归是否有最大面积？

若有，求出此时9点的坐标及奶的最大面积；若没有，请说明理由.

2.（2009湖南益阳）如图2,抛物线顶点坐标为点C（L4）,交才轴于点月（3,0）,交y轴于点B.

（1）求抛物线和直线四的解析式:

（2）求AC出的铅垂高⑦及Sgs:

设点尸是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点产，使见2以明

例2：

如图，在坐标系xOy中，2XABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,A（1,0）,B（0,2）,抛物线厂Lx'+bx-2的图象过C点.

2

（1）求抛物线的解析式：

（2）平移该抛物线的对称轴所在直线1.当1移动到何处时，恰好将△ABC的而积分为相等的两部分？

变式练习：

如图，抛物线尸ax'+bx+c关于直线工二1对称，与坐标轴交与A,B,C三点，且3

AB=4,点D（2,-）在抛物线上，直线1是一次函数y二kx-2（kWO）的图象，点0是坐标2

原点.

（1）求抛物线的解析式：

（2）若直线1平分四边形OBDC的面积，求k的值：

例3：

将直角边长为6的等腰般ZU%放在如图所示的平面直角坐标系中，点。

为坐标原点,点月分别在X、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点乩。

及点8（-3,0）.

（1）求该抛物线的解析式：

（2）若点尸是线段60上一动点，过点产作相的平行线交月。

于点五连接40,当△川密的而积最大时，求点尸的坐标：

变式练习：

如图1,抛物线,=1/一34一9与X轴交于A6两点，与夕轴交于点a联结22

BC、AC.

（1）求四和a•的长;

（2）点5从点月出发，沿x轴向点厅运动（点、E与点A、5不重合），过点万作万0的平行线交月。

于点。

.设恕的长为巾△月龙的而积为s,求s关于0的函数关系式，并写出自变量所的取值范围；

能力提升：

1.（2013汨泽）如图1,△上是以6c为底边的等腰三角形，点A.。

分别是一次函数

71

y=--x+3的图像与p轴、*轴的交点，点5在二次函数>=一炉+云+。

的图像上，且该

48

二次函数图像上存在一点。

使四边形3能构成平行四边形.

（1）试求氏c的值，并写出该二次函数的解析式：

（2）动点尸从力到〃同时动点。

从。

到月都以每秒1个单位的速度运动，问：

①当尸运动到何处时，由尸QL”?

②当产运动到何处时，四边形次。

的面枳最小？

此时四边形依。

的面枳是多少？

2.如图，已知抛物线yr'+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5,0）,另一个交点为A,且与y轴交于点C（0,5）.

（1）求直线BC与抛物线的解析式：

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作顺〃丫轴交直线BC于点N,求MN的最大值：

（3）在

（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为Si,AABN的面积为S：

且Sf6S2,求点P的坐标.

3.如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（-3,0）、B（-1,0）,与y轴相交于点C（0,3）,点P是该图象上的动点：

一次函数尸kx-4k（kWO）的图象过点P交x轴于点Q.

（1）求该二次函数的解析式：

（2）当点P的坐标为（-4,m）时，求证：

ZOPC=ZAQC；

（3）点M,N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M,N中有一点到达Q点时,两点同时停止运动，设运动时间为t秒.连接AN,当AAMN的面积最大时，①求t的值：

②直线PQ能否垂直平分线段MN?

若能，请求出此时点P的坐标：

若不能，请说明你的理由.

y

题型二：

构造直角三角形

例2.（2010四川乐山）如图所示，抛物线y=x2+〃x+c与x轴交于A,B两点，与y轴

交于点C（0,2）,连接AC,若tanN0AC=2.

（1）求抛物线对应的二次函数的解析式：

（2）在抛物线的对称轴/上是否存在点P,使NAPC=90°?

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

变式练习：

1.函数的图象如图所示，过），轴上一点M（Q2）的直线与抛物线交于A,8两点,8

过点A,8分别作y轴的垂线，垂足分别为C,D.

（1）当点A的横坐标为一2时，求点8的坐标：

（2）在

（1）的情况下，分别过点A,8作轴于E,3尸_Lx轴于尸，在E尸上

是否存在点P,使NAP3为直角.若存在，求点尸的坐标：

若不存在，请说明理由：

3.（2010山东聊城）如图，已知抛物线y=ad+6/c（a#0）的对称轴为x=l,且抛物线经过月（-1.0）、C（Q,-3）两点，与x轴交于另一点6.

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式：

（2）在抛物线的对称轴x=l上求一点M使点”到点4的距离与到点。

的距离之和最小，并求此时点M的坐标；

（3）设点尸为抛物线的对称轴产1上的一动点，求使N尸8=90°的点尸的坐标.

第25题图

4.（2012广州）如图1,抛物线丫=-二2-工+3与*轴交于46两点（点月在点6的左84

侧），与y轴交于点。

.

（1）求点月、6的坐标；

（2）设。

为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△月以的而枳等于△月第的面积时，求点。

的坐标；

（3）若直线1过点凤4,0）,必为直线1上的动点，当以小6、”为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线1的解析式.♦♦••

图1

5.（2013白银）如图，在直角坐标系xOy中,二次函数产x'+（2k-1）x+k+1的图象与x轴相交于0、A两点.

（1）求这个二次函数的解析式：

（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使aAOB的面积等于6,求点B的坐标:

（3）对于

（2）中的点B,在此抛物线上是否存在点P,使NP0B=90°?

若存在，求出点P的坐标,并求出APOB的面枳；若不存在,请说明理由.

17

6.（2013山西）如图1,抛物线＞=轴交于A6两点（点5在点力的右

侧），与y轴交于点。

，连结6G以比'为一边，点0为对称中心作菱形皿G点?

是x轴上的一个动点，设点尸的坐标为（应0）,过点尸作x轴的垂线1交抛物线于点0.

（1）求点A5、。

的坐标；

（2）当点尸在线段如上运动时，直线/分别交班、6。

于点MM试探究m为何值时，四边形。

既是平行四边形，此时，请判断四边形的形状，并说明理由；

（3）当点尸在线段历上运动时，是否存在点。

，使△瓦M为直角三角形，若存在，请直接写出点。

的坐标；若不存在，请说明理由.

7.（2013济宁）如图，已知直线y二kx-6与抛物线y飞x'+bx+c相交于A,B两点，且点A（l,-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上.

（1）求抛物线的解析式：

（2）在

（1）中抛物线的第二象限图象上.是否存在一点P,使APOB与△》（）（：

全等？

若存在，求出点P的坐标：

若不存在，请说明理由；

（3）若点Q是y轴上一点，且△△队为直角三角形，求点Q的坐标.

8.（2013绵阳）如图，二次函数产犯入法十。

的图象的顶点。

的坐标为（0,-2）,交x轴于A、8两点，其中A（-1,0）,直线/：

x=m（w>l）与入•轴交于。

。

（1）求二次函数的解析式和8的坐标：

（2）在直线/上找点尸（P在第一象限），使得以产、。

、8为顶点的三角形与以8、C、O为顶点的三角形相似，求点尸的坐标（用含小的代数式表示）：

（3）在

（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点。

，使是以尸为

直角顶点的等腰直角三角形？

如果存在，请求出点。

的坐标：

如果不存在，请说明理由。

题型三构造等腰三角形

例3.如图，己知抛物线》，=。

/+以+3（#0）与x轴交于点月（1,0）和点5（—3,0）,

与y釉交于点C

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上是否存在一点Q使得4ACQ为等腰三角形？

若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由：

（3）设抛物线的对称轴与式轴交于点必，问在对称轴上是否存在点只使即为等腰三角形？

若存在，请直接写出所有符合条件的点尸的坐标：

若不存在，请说明理由.

变式练习：

1.（2010四川宜宾改编）将直角边长为6的等腰服△H*放在如图所示的平面直角坐标系中，点。

为坐标原点，点0、片分别在X、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点从。

及点5（-3,0）.

（1）求该抛物线的解析式：

（2）在对称轴上是否存在一点P,使得aABP为等腰三角形，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由。

2.如图，抛物线），=。

/一5如+4经过/\回。

的三个顶点，已知轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC.

（1）写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式；

（2）探究：

若点尸是抛物线对称轴上且在工轴下方的动点，是否存在△尸48是等腰三角形.若存在，求出所有符合条件的点P坐标：

不存在，请说明理由.

3、（2014•新余模拟）如图，已知二次函数图象的顶点为（1,-3）,并经过点C（2,0）.

（1）求该二次函数的解析式：

（2）直线y=3x与该二次函数的图象交于点B（非原点），求点B的坐标和AAOB的面积；

（3）点Q在x轴上运动，求出所有AAQQ是等腰三角形的点Q的坐标

4.如图，已知抛物线y=Ji+bx+c与），轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为（2,0）,点C的坐标为（0,-1）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线BC上是否存在一点P,使4ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.

能力提升:

1.（2010黄冈）已知抛物线），=以2+加+，（。

工0）顶点为（：

（1,1）且过原点0.过抛物线上一点P（x,y）向直线），=）作垂线，垂足为连FM（如图）.

（1）求字母a,b,c的值：

（2）在直线x=l上有一点F（l-）,求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证

明此时△PFM为正三角形；

（3）对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N（1,t）,使PM=PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.

2.如图，已知二次函数尸--+bx+c（c>0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,且OB=OC=3,顶点为M.

（1）求二次函数的解析式：

（2）点P为线段BY上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ,垂足为Q,若OQ=m,四边形ACPQ的而积为S,求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；

（3）探索：

线段BM上是否存在点N,使ANMC为等腰三角形？

如果存在，求出点N的坐标:

如果不存在，请说明理由.

题型四构造相似三角形

例4.（2011临沂）如图，已知抛物线经过A（-2,0）,B（-3,3）及原点0,顶点为C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、0、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标：

（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM_Lx轴，垂足为M,是否存在点P,使得以P、M、A为顶点的三角形△B0C相似？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

变式练习：

1.（2012天水）如图，已知抛物线经过A（4,0）,B（1,0）,C（0,-2）三点.

（1）求该抛物线的解析式：

（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D,使得ADCA的而积最大？

若存在，求出点D的坐标及ADCA面积的最大值：

若不存在，请说明理由.

（3）P是直线x=l右侧的该抛物线上一动点，过P作PM_Lx轴，垂足为M,是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与aOAC相似？

若存在，请求出符合条件的点P的坐标：

若不存在，请说明理由.

-y

■

B从

1

_」」」」j

O1X

2.（2012上海宝山）如图，平而直角坐标系xOy中，已知点A（2,3）,线段A4垂直于），轴,垂足为B,将线段A8绕点A逆时针方向旋转90。

，点B落在点。

处，直线8c与X轴的交于点D.

（1）试求出点。

的坐标：

（2）试求经过A、B、。

三点的抛物线的表达式，并写出其顶点E的坐标：

（3）在

（2）中所求抛物线的对称轴上找点尸，使得以点A、E、尸为顶点的三角形与△ACO相似.

（图7）

例5.二次函1&y=ax'+bx+c（aHO）的图象与x轴的交点为A（-3,0）,B（1,0）两点，与y轴交于点C（0.-3m）（其中m>0）,顶点为D.

（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）：

（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设AAPC的面积为S,试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值：

（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？

变式练习：

1.如图，二次函数y=ax'bx（a<0）的图象过坐标原点0,与x轴的负半轴交于点A,过A点的直线与y轴交于B,与二次函数的图象交于另一点C,且C点的横坐标为-1,AC：

BC=3：

1.

（1）求点A的坐标：

（2）设二次函数图象的顶点为F,其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E,若4FCD与AAED相似，求此二次函数的关系式.

能力提升:

11b

1.（2。

12苏州）如图‘已知抛物线yqxLjb+l）."£（b是实数且42）与x轴的正半轴

分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C.

（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）：

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且APBC是以

点P为直角顶点的等腰直角三角形？

如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由;

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△◊（：

（）,△QOA和AQAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？

如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在,请说明理由.

2.（2012宁波）如图，二次函数＞=//+法+（.的图象交*轴于a（-1,0）,8（2,0）,交），轴于。

（0,-2）,过A,C画直线.

（1）求二次函数的解析式；

（2）点尸在x轴正半轴上，且以=PC,求OP的长：

（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为〃.

①若M在），轴右侧，且△CHMs/Vioc（点。

与点A对应），求点M的坐标:

②若。

M的半径为斯，求点M的坐标.

5

（含用图）

题型五构造梯形

例6.（2008四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，ZkOAB的顶点A的坐标为（10,0）,

顶点B在第一象限内，且卜却=3",sinZOAB=—.

5

（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；

（2）在

（1）中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？

若存在，求出点P的坐标：

若不存在，请说明理由：

变式练习：

1.（2011莱芜）如图，在平而直角坐标系中，已知点R（-2,-4）,0B=2,抛物线产ax:

+bx+c经过点A、0、B三点.

（1）求抛物线的函数表达式：

（2）在此抛物线上，是否存在点P,使得以点P与点0、A、B为顶点的四边形是梯形？

若存在，求点P的坐标：

若不存在，请说明理由.

2.己知，矩形婀在平面直角坐标系中位置如图1所示，点月的坐标为（4,0）,点。

的坐标2

为（0,-2）,直线y=-与边，相交于点，.

（1）求点，的坐标：

（2）抛物线y=+〃x+c经过点乩D、0,求此抛物线的表达式；

（3）在这个抛物线上是否存在点M使久。

、4"为顶点的四边形是梯形？

若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图：

二次函数），=一/+，次+入的图象叮x轴交于“一了。

18（2,0）两点，且与y轴交

于点C.

（1）求该抛物线的解析式，并判断A48C的形状；

（2）在x轴上方的抛物线上有一点0,且A、C、D、5四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出。

点的坐标：

（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯

形？

若存在，求出产点的坐标：

若不存在，说明理由.

4.已知,在R/OA8中，NQ48=90°,ZBOA=30QAB=2。

若以。

为坐标原点.04所在直线为X轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。

将RfOAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点。

处。

（1）求点C的坐标；

（2）若抛物线丁=如2+双（。

¥0）经过。

、A两点，求此抛物线的解析式；

（3）若抛物线的对称加叮08交于点。

点P为线段08卜.一点，尸作y轴的平L

交抛物线于点/，间：

是否存在这样的点P，使得四边形COPM为等腰梯形？

若存

在，求出点P的坐标：

若不存在，请说明理由。

能力提升

L如图1,二次函数,，=/+/八,+4（〃＜。

）的图象与王轴交于月、6两点，与y轴交于点。

（0,-1）,△月60的面积为

4

（1）求该二次函数的关系式：

（2）过y轴上的一点必（0,加作y轴的垂线，若该垂线与△上的外接圆有公共点，求田的取值范围：

（3）在该二次函数的图象上是否存在点，，使以月、&C、〃为顶点的四边形为直角梯形？

若存在，求出点。

的坐标：

若不存在，请说明理由.

2.（2011义乌）已知二次函数的图象经过［（2,0）、（7（0,12）两点,且对称轴为直线丫=4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点6.

（1）求二次函数的解析式及顶点尸的坐标：

（2）如图1,在直线y=2x上是否存在点。

，使四边形3切为等腰梯形？

若存在，求出点。

的坐标；若不存在，请说明理由：

（3）如图2,点W是线段配上的一个动点（。

、尸两点除外），以每秒&个单位长度的速度由点尸向点0运动，过点M作直线必7/x轴，交融于点A：

将△双¥沿直线必,对折，得到在动点"的运动过程中，设△巴姐,与梯形。

山5的重叠部分的面积为S,运动时间为e秒，求S关于t的函数关系式.

3.（2014年广东汕尾）如图，已知抛物线v=2/一旦一3与1轴的交点为人D（A在。

的84

右侧），与y轴的交点为C

（1）直接写出A、。

、。

三点的坐标；

（2）若点M在抛物线上，使得△财八。

的面积与△的面积相等，求点M的坐标；

（3）设点。

关于抛物线对称轴的对称点为以在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、

P四点为顶点的四边形为梯形？

若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

题型六构造平行四边形

例7.（2010陕西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1,0）,B（3,0）,C

（0,—1）三点。

（1）求该抛物线的表达式：

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,

求所有满足条件的点P的坐标。

变式练习：

1.已知抛物线y=-ax2+与x轴的一个交点为J（-l,0）,与y轴的正半轴交于点C.

（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与A•轴的另一个交点S的坐标；

（2）坐标平面内是否存在点使得以点必和

（2）中抛物线上的三点乩6、。

为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请求出点M的坐标：

若不存在,请说明理由.

2.已知，如图抛物线丁=+3“x+c（。

＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A

点在B点左恻0点B的坐标为（1,0）,0C=30B.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点E在x轴上，点P在抛物线上。

是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?

若存在，求点P的坐标：

若不存在，请说明理由.

3.（2012四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数v=*x+机（用为常数）4

的图象与x轴交于点A（-3,0）,与y轴交于点C.以直线x=l为对称轴的抛物线

y=ax2+bx+c（&b,c为常数，且aW0）经过A,C两点，并与x轴的正半轴交于点

B.

（1）求团的值及抛物线的函数表达式：

（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积：

若不存在，请说明理由：

能力提升：

1.如图，抛物线y=W+bx+c与x轴交于A（-1,0）、B（3,0）两点，直线1与抛物线

交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.

（1）求抛物线的解析式及直线AC的解析式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值：

（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，求出所有满足条件的F点坐标：

如果不存在，请说明理由

2.己知平而直角坐标系x勿（如图1）,一次函数），=三工+3的图像与y轴交于点月，点"在