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05切变模量的测量
实验报告:
切变模量的测量
张贺PB07210001
一、实验题目:
切变模量的测量
二、实验目的:
在这个实验中,用扭摆来测量金属丝的切变模量,同时要学习尽量设法避免测量那些较难测准的物理量,测量那些较难测准的物理量,从而提高实验精度的设计思想。
三、实验仪器:
扭摆、圆盘、钢丝、金属环、游标卡尺、螺旋测微器、米尺、秒表
四、实验原理:
实验对象是一根上下均匀而细长的钢丝,从几何上说就是一个如图532-1
所示的细长的圆柱体,其半径为R,长度为L。
将其上端固定,而使其下端面发生扭转。
扭转力矩使圆柱体各截面小体积元均发生切应变。
在弹性限度内,切应变丫正比于切应力T
-G
(1)
这就是剪切胡克定律,比例系数G即为材料的切变模量。
(b)
钢丝下端面绕中心轴线00'转过©角(即P点转到了P'的位置)。
相应的,
钢丝各横截面都发生转动,其单位长度的转角d/dl=/L。
分析这细圆柱中长
为dl的一小段,其上截面为A,下截面为B(如图532-2所示)。
由于发生切变,其侧面上的线ab的下端移至b',即ab转动了一个角度ybb'=Ydl
切应变
3d®
•「2二丫d?
dl
截面A、B之间的圆柱体,其上下截面相对切变引起的恢复力矩
R3
(4)
M=,o2G
^-GR4-
2L
所以
(6)
于是,求切变模量G的问题就转化成求钢丝的扭矩(即其恢复力矩)的问
题。
为此,在钢丝下端悬挂一圆盘,它可绕中心线自由扭动,成为扭摆。
摆扭过
的角度©正比于所受的扭力矩,
D为金属丝的扭转模量。
将式(7)代入式(6),有
小2DL
Gr
兀R4
(8)
由转动定律
M"oj
dt2
(9)
Io为摆的转动惯量,再由式(7)和(9)可得
(10)
这是一个简谐运动微分方程,其角频率⑷=I—,周期
(11)
作为扭摆的圆盘上带有一个夹具,这给测量或计算Io带来困难一个金属环对称地置于圆盘上。
设环的质量为m,内外半径分别为
为此,可将r内和r外,转
动惯量为
1
I1=—m(r内+r外),这时扭摆的周期
2
(⑵
由式(11)、(12)可得
I=1
0122韦一To
D乍丨。
*
T0
I1
「2-T。
2
2兀2m(r内+r外2)
(15)
g4:
Lm(r内r外)
=RM_T。
2)
五、实验内容:
本实验用扭摆法测量钢丝的切变模量,扭摆装置如图532-3所示
1.装置扭摆,使钢丝与作为扭摆的圆盘面垂直,圆环应能方便地置于圆盘上。
2.用螺旋测微器测钢丝直径,用游标卡尺测环的内外径,用米尺测钢丝的有效长度。
3•写出相对误差公式,据此估算应测多少个周期较合适。
4.计算钢丝的切变模量G和扭转模量D,分析误差。
六、数据处理:
1.测量钢丝直径d:
测量次数:
n=10单位:
mm
0.775
0.772
0.773
0.778
0.778
0.775
0.779
0.774
0.773
0.771
d二0.775•0.7720.7730.7780.7780.7750.7790.774•0.7730.771=。
力5
10
%=J[(0.772-0.7752+(0.773-0.775f+(0.778-0.775f+(0.778-0.775;2+(0.779-0.775f+
0.774-0.77520.773-0.77520.771-0.7752]/10-1=0.0028
-d
0.0028
ua0.00088
10J0
u=tpUA=2.26°.°°°88=°.°°2
p=0.95
84.22
84.14
84.18
84.22
84.18
84.22
84.22-84.1984.14-84.19^84.1884.19284.22-84.19284.18-84.19284.22-84.192
p=0.95
u=tpuA=2.570.0134=0.0344
103.94
103.96
103.96
103.98
103.92
103.92
3.测量金属环外径d外:
测量次数:
n=6单位:
mm
石J。
3.94血96他96他98他92他92「03.95
6
5外=:
[103.94103.952103.96-103.952103.96-103.952103.98-103.952
103.92-103.952103.92-103.952]/6-1=0.0245
Ua
0.0245
=0.01
p=0.95
u=tpuA=2.570.01=0.0257
4.测量钢丝有效长度L:
测量次数:
n=6单位:
cm
39.48
39.47
39.48
39.49
39.45
39.47
L=39.4839.4739.4839.4939.4539.47=39.47
“39.4839.47f+(39.4&39.47$+(39.4939.4#+(39.4539.47^_00141
5.相对误差公式:
两边取对数
InG=1n(4兀)+lnL+lnm+ln(r内+r外:
)—4lnR_ln(Tj_T02)
求微分并系数取绝对值得
二t0=0.2s
148.04
148.16
148.24
148.21
148.30
148.23
-148.04148.16148.24148.21148.30148.23,°“
t0148.20
6
j2222
%=£[(148.04148.20)十(148.1&148.20)十(148.24148.20)十(148.2J148.20)+
148.30-148.202148.23-148.202]/6-1[=0.0892
p二0.95
u=tpuA=2.570.0364=0.0935
7.测量扭摆70个周期-测量次数:
n=6单位:
s
238.11
238.15
238.07
238.03
238.14
238.03
「型238・15238.°7238.°3238.14238.°3=238.096
“[238.11-238.092238.15-238.092238.07-238.09^238.03-238.092
238.14-238.092238.03-238.092]/6-1=0.0531
单位:
g
p=0.95
u=tpuA=2.570.0217=0.0558
8.金属环质量m:
m=575_0.5
9.计算扭转模量D和切变模量G:
由测量的数据得出:
_d0.775mm
2计8710m
2
d外
84.19mm
2
=4.21010,m
r夕卜=
2
103.95mm
2
=5.198102m
L=39.47cm=0.3947m
m二575g二0.575kg
t0
70
148.20s
2.117s
70
空耍=3.401s
70
带入公式算得
dF2曲
r外2)
T12-T02
_2二2O.°4212°.°519820.575kgm2s,
3.401-2.1172
=7.1610^kg
22
G=4JlLm(「内+「外)
R4(T12-T。
2)
22
4二O.39470.5750.。
4210.05198kgm2『
(3.887X10°$U3.4012—2.1172)
=7.881010kg
10.误差分析:
写成标准差公式得
带入各项算得
2「外ur外
2T1Ut1
2T0Ut°
>2
Ug
G
=0.0104=1.04%
10_4-210-4-2
Ug-1.04%G-1.04%7.8810kgms-0.0810kgms
最大不确定度
lG3
1.04%=1.56%乞2%
G2
符合要求
同理有
带入各项算得
322322
Ud=0.15%D=0.15%7.1610kgms=0.0110kgms
最大不确定度
.-■:
D3
-爼0.15%=0.225%
D
11.结果的完整表达式:
G=(7.88_0.08)10%m,s』
32_2
D=(7.16_0.01)10kgm2s
七、思考题:
1.本实验是否满足Y<1的条件?
答:
二r3.88710'm—9.8510八:
10「
L0.3947m
实验中实际转过的角度「大概在上左右,故满足宀:
1的条件。
2
2.为提高测量精度,本实验在设计上作了哪些安排?
在具体测量时又要注意什么问题?
答:
为提高测量精度,本实验在设计上作了如下安排:
1在钢丝下端悬挂一圆盘,它可绕中心线自由扭动,成为扭摆。
这样就把较难测的转化成了求钢丝的扭矩的问题,测量更方便。
2作为扭摆的圆盘上带有一个夹具,这给测量或计算Io带来困难。
为此,可
将一个金属环对称地置于圆盘上,提高了测量精度。
3测量单个周期不方便测准,故根据测量精度测n个周期减小误差。
在具体测量时又要注意的问题:
1实验前钢丝要调直,圆盘要调平。
2钢丝长为两固定端间的距离。
3保持圆盘绕中心轴转动,尽量避免由非切向力使圆盘晃动。
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