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韦塞尔关于复数的论文
韦塞尔关于复数的论文
千百年来,人们日日探索数学的奥妙,从几何到代数。
数学的魅力,梦幻了一代代的人。
从算筹的产生开始,从方程的出现开始,解决方程的答案的方法让众位数学家早早白了头发。
终于,一个名叫复数的东西诞生了,耀眼的光芒照耀着数学这片广袤的土地。
意大利米兰学者卡当也许可以称作复数的始祖了,把负数的平方根应用与三次方程,但不能算作最开始的那位,考虑金字塔的不可能问题的希腊数学家海伦或许是最初。
不管怎样,复数,虚数就这么产生了,一个伟大事物的出现总带着各种不可能,不对,不赞同的反对声。
如同日心说一般,真理慢慢就会被大众所接受,时间和空间的考验下,它有了四则运算,有了著名的各种定理公式,符号,生机勃勃的出现在了世人的眼球之下,旺盛的生命力让人为之倾服。
十八世纪末,复数渐渐被大多数人接受,当时卡斯帕尔·韦塞尔提出复数可看作平面上的一点。
数年后,高斯再提出此观点并大力推广,复数的研究开始高速发展。
诧异的是,早于1685年约翰·沃利斯已经提出此一观点。
卡斯帕尔·韦塞尔的文章发表在1799年,以当今标准来看,也是相当清楚和完备。
他又考虑球体,得出四元数并以此提出完备的球面三角学理论。
1804年,以来表示平面上与实轴垂直的单位线段被提出。
1806年,罗贝尔·阿尔冈亦发表文章,复平面成了标准。
1831年高斯认为复数不够普及,次年他发表了一篇备忘录,奠定复数在数学的地位。
柯西及阿贝尔的努力,扫除了复数使用的最后顾忌,后者更是首位以复数研究著名的。
复数吸引了著名数学家的注意,包括库默尔、克罗内、乔治·皮库克。
莫比乌斯发表了大量有关复数几何的短文,约翰·彼得·狄利克雷将很多实数概念,例如素数,推广至复数。
德国数学家阿甘得公布了复数的图象表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,复数也能用一个平面上的点来表示。
在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C就表示复数。
象这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“阿甘得平面”。
高斯在1831年,用实数组代表复数,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。
他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法-直角坐标法和极坐标法加以综合。
统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数一一对应,扩展为平面上的点与复数一一对应。
高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间一一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法。
至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了。
经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵---虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不“虚”。
虚数成为了数系大家庭中一员,从而实数集才扩充到了复数集。
数系理论的历史发展表明,数的概念的每一次扩张都标志着数学的进步,但是这种进步并不是按照数学教科书的逻辑步骤展开的。
希腊人关于无理数的发现暴露出有理数系的缺陷,而实数系的完备性一直要到19世纪才得以完成。
负数早在《九章算术》中就已被中国数学家所认识,然而,15世纪的欧洲人仍然不愿意承认负数的意义。
“四元数”的发明,打开了通向抽象代数的大门,同时也宣告在保持传统运算定律的意义下,复数是数系扩张的终点。
人类发明的记数法并没有柬缚自己的想象力,中国古代“数穷则变”的思想对于当代数学哲学仍具有积极的意义。
数,是数学中的基本概念,也是人类文明的重要组成部分。
数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃。
一个时代人们对于数的认识与应用,以及数系理论的完善程度,反映了当时数学发展的水平。
今天,我们所应用的数系,已经构造的如此完备和缜密,以致于在科学技术和社会生活的一切领域中,它都成为基本的语言和不可或缺的工具。
在我们得心应手地享用这份人类文明的共陶财富时,是否想到在数系形成和发展的历史过程中预灵类的智慧所经方的曲拆和艰辛呢?
人类在进化的蒙昧时期,就具有了一种“识数”的才能,心理学家称这种才能为“数觉”。
动物行为学家则认为,这种“数觉”并非为人类所独有。
人类智慧的卓越之处在于他们发明了种种记数方法。
《周易·系辞下》记载“上古结绳而治,后世圣人,易之以书契”。
东汉郑玄称:
“事大,大结其绳;事小,小结其绳。
结之多少,随物众寡”。
以结绳和书契记数的方法实际上遍及世界各地,如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦、伊斯兰和中美洲国家都有文献记载和实物标本。
直到1826年,英国财政部才决定停止采用符契作为法定记数器。
随着人类社会的进步,数的语言也在不断发展和完善。
数系发展的第一个里程碑出现了:
位置制记数法。
所谓位置制记数法,就是运用少量的符号,通过它们不同个数的排列,以表示不同的数。
F起历史学家,数学更家兴趣的是,在自然环境和社会条件影响下,不同的文明创造了迥然不同的记数方法』如巴比伦的楔形数字系统、埃及象形数字系统、希腊人字母数字系统、玛雅数字系统、印度-阿拉伯数字系统和中国的算筹记数系统。
最早发展的一类数系应该是简单分群数系,如在公元前3400年埃及象形文字中就有实例,它是10进的,但却不是位置的。
在公元前3000到2000年之间,巴比伦人发展了60进位的定位数系,它采用了位置制,却不是10进的。
而最重要和最美妙的记数法则是10进位位置制记数法。
古代希腊人曾经提出一个问题:
他们认为世界上的沙子是无穷的,即使不是无穷,也没有一个可以写出来的数超过沙子的数。
阿基米德的回答是:
不。
在《数沙术》电,阿基米德以万为基础,建立新的记数法,使得任何大的数都能表示出来他的做法是丛11起到1pn叫做第1级数;以亿为第2级数的单位,从亿起到亿亿叫做第2级数请在以亿亿为单位,直到亿亿亿叫做第3级数。
直到第1亿级数的最后一数亿亿。
阿基米德算出充满宇宙的沙子的数目不过是10^51,即使扩充到“恒星宇宙”,即以太阳到恒星的距离为半径的天球,也不过只能容纳10^63个沙粒!
这是数系发展中的需要回答的重大命题。
位置制记数法的出现,标志着人类掌握的数的语言,已从少量的文字个体,发展到了一个具有完善运算规则的数系。
人类第一个认识的数系,就是常说的“自然数系”。
但是,随着人类认识的发展,自然数系的缺陷也就逐渐显露出来。
首先,自然数系是一个离散的、而不是稠密的数系,因此,作为量的表征,它只能限于去表示一个单位量的整数倍,而无法表示它的部分。
同时,作为运算的手段,在自然数系中只能施行加法和乘法,7面不能自由地施行它们的逆运算。
这些缺陷,由于分数和负数的出现而得以弥补。
有趣的是这些分数也都带有强烈的地域特征。
巴比伦的分数是60进位的埃及采用的是单分数,阿拉伯的分数更加复杂:
单分数、主分数和复合分数。
这种繁复的分数表示必然导致分数运算方法的繁杂,所以欧洲分数理论长期停滞不前,直到i5世纪以后才逐步形成现代的分数算法。
与之形成鲜明对照的是中国古代在分数理论上的卓越贡献。
今两算得失相反,要令正负以名之。
正算赤,负算黑,否则以斜正为异。
方程自有赤黑相取,左右数相推求之术。
而其并减之势不得广通,故使赤黑相消夺之。
故赤黑相杂足以定上下之程,减益虽殊足以通左右之数,差实虽分足以应同异之率。
然则其正无入负之,负无入正之,其率不妄也。
负数虽然通过阿拉伯人的著作传到了欧洲,但16世纪和17世纪的大多数数学家并不承认它们是数,或者即使承认了也并不认为它们是方程的根。
如丘凯和斯蒂费尔都把负数说成是荒谬的数,是“无稽之零下”。
卡丹把负数作为方程的根,但认为它们是不可能的解,仅仅是一些记号;他把负根称作是虚有的。
韦达完全不要负数,帕斯卡则认为从0减去4纯粹是胡说。
负数是人类第一次越过正数域的范围,前此种种的经验,在负数面前全然无用。
在数系发展的历史进程中,现实经验有时不仅无用,反而会成为一种阻碍。
我们将会看到,负数并不是惟一的例子。
无理数的发现,击碎了毕达哥拉斯学派“万物皆数”的美梦。
同时暴露出有理数系的缺陷:
一条直线上的有理数尽管是“稠密”,但是它却漏出了许多“孔隙”,而且这种“孔隙”多的“不可胜数”。
这样,古希腊人把有理数视为是连续衔接的那种算术连续统的设想,就彻底的破灭了。
它的破灭,在以后两千多年时间内,对数学的发展,起到了深远的影响。
不可通约的本质是什么?
长期以来众说纷纭。
两个不可通约量的比值也因其得不到正确的解释,而被认为是不可理喻的数。
15世纪达芬奇把它们称为是“无理的数”,开普勒称它们是“不可名状”的数。
这些“无理”而又“不可名状”的数,找到虽然在后来的运算中渐渐被使用,但是它们究竟是不是实实在在的数,却一直是个困扰人的问题。
中国古代数学在处理开方问题时,也不可避免地碰到无理根数。
对于这种“开之不尽”的数,《九章算术》直截了当地“以面命之”予以接受,刘徽注释中的“求其微数”,实际上是用10进小数来无限逼近无理数。
这本是一条完成实数系统的正确道路,只是刘徽的思想远远超越了他的时代,而未能引起后人的重视。
不过,中国传统数学关注的是数量的计算,对数的本质并没有太大的兴趣。
而善于究根问底的希腊人就无法迈过这道坎了,既然不能克服它,那就只好回避它。
此后的希腊数学家,如欧多克斯、欧几里得在他们的几何学里,都严格避免把数与几何量等同起来。
欧多克斯的比例论,使几何学在逻辑上绕过了不可公度的障碍,但就在这以后的漫长时期中,形成了几何与算术的显著分离。
努力建立实数的目的,是为了给出一个形式化的逻辑定义,它既不依赖几何的含义,又避免用极限来定义无理数的逻辑错误。
有了这些定义做基础,微积分中关于极限的基本定理的推导,才不会有理论上的循环。
导数和积分从而可以直接在这些定义上建立起来,免去任何与感性认识联系的性质。
几何概念是不能给出充分明白和精确的,这在微积分发展的漫长岁月的过程中已经被证明。
因此,必要的严格性只有通过数的概念,并且在割断数的概念与几何量观念的联系之后才能完全达到。
这里,戴德金的工作受到了崇高的评价,这是因为,由“戴德金分割”定义的实数,是完全不依赖于空间与时间直观的人类智慧的创造物。
实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义,从而建立了完备的实数域。
实数域的构造成功,使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平,无理数不再是“无理的数”了,古希腊人的算术连续统的设想,也终于在严格的科学意义下得以实现。
复数概念的进化是数学史中最奇特的一章,那就是数系的历史发展完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性。
人们没有等待实数的逻辑基础建立之后,才去尝试新的征程。
在数系扩张的历史过程中,往往许多中间地带尚未得到完全认识,而天才的直觉随着勇敢者的步伐已经到达了遥远的前哨阵地。
直到18世纪,数学家们对复数才稍稍建立了一些信心。
因为,不管什么地方,在数学的推理中间步骤中用了复数,结果都被证明是正确的。
特别是1799年,高斯关于“代数基本定理”的证明必须依赖对复数的承认,从而使复数的地位得到了近一步的巩固。
当然,这并不是说人们对“复数”的顾虑完全消除了。
我们知道,18世纪是数学史上的“英雄世纪”,人们的热情是如何发挥微积分的威力,去扩大数学的领地,没有人会对实数系和复数系的逻辑基础而操心。
既然复数至少在运算法则上还是直观可靠的,那又何必去自找麻烦呢?
1797年,挪威的韦塞尔写了一篇论文“关于方向的分析表示”,试图利用向量来表示复数,遗憾的是这篇文章的重大价值直到1897年译成法文后,才被人们重视。
瑞士人阿甘达给出复数的一个稍微不同的几何解释。
他注意到负数是正数的一个扩张,它是将方向和大小结合起来得出的,他的思路是:
能否利用新增添某种新的概念来扩张实数系?
在使人们接受复数方面,高斯的工作更为有效。
他不仅将atbi表示为复平面上的一点,而且阐述了复数的几何加法和乘法。
他还说,如果1,-1和原来不称为正、负和虚单位,而称为直、反和侧单位,那么人们对这些数就可能不会产生种种阴暗神秘的印象。
他说几何表示可以使人们对虚数真正有一个新的看法,他引进术语“复数”以与虚数相对立,并用i代替。
在澄清复数概念的工作中,爱尔兰数学家哈米尔顿是非常重要的。
哈米尔
顿所关心的是算术的逻辑,并不满足于几何直观。
他指出:
复数atbi不是2+3意义上的一个真正的和,加号的使用是历史的偶然,而bi不能加到a上去。
复数a+bi只不过是实数的有序数对(a,b),并给出了有序数对的四则运算,同时,这些运算满足结合律、交换率和分配率。
在这样的观点下,不仅复数被逻辑地建立在实数的基础上,而且至今还有点神秘的-1的平方根也完全消除了。
回顾数系的历史发展,似乎给人这样一种印象:
数系的每一次扩充,都是在旧的数系中添加新的元素。
如分数添加于整数,负数添加于正数,无理数添加于有理数,复数添加于实数。
但是,现代数学的观点认为:
数系的扩张,并不是在旧的数系中添加新元素,而是在旧的数系之外去构造一个新的代数系,其元素在形式上与旧的可以完全不同,但是,它包含一个与旧代数系同构的子集,这种同构必然保持新旧代数系之间具有完全相同的代数构造。
当人们澄清了复数的概念后,新的问题是:
是否还能在保持复数基本性质的条件下对复数进行新的扩张呢﹖答案是否定的。
当哈米尔顿试图寻找三维空间复数的类似物时,他发现自己被迫要做两个让步:
第一,他的新数要包含四个分量;第二,他必须牺牲乘法交换律。
这两个特点都是对传统数系的革命。
他称这新的数为“四元数”。
“四元数”的出现昭示着传统观念下数系扩张的结束。
1878年,富比尼证明:
具有有限个原始单元的、有乘法单位元素的实系数先行结合代数,如果服从结合律,那就只有实数,复数和实四元数的代数。
数学的思想一旦冲破传统模式的藩篱,便会产生无可估量的创造力。
哈米尔顿的四元数的发明,使数学家们认识到既然可以抛弃实数和复数的交换性去构造一个有意义、有作用的新“数系”,那么就可以较为自由地考虑甚至偏离实数和复数的通常性质的代数构造。
数系的扩张虽然就此终止,但是,通向抽象代数的大门被打开了。
随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。
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