线性代数期末复习刚要.docx
- 文档编号:22790371
- 上传时间:2023-04-28
- 格式:DOCX
- 页数:50
- 大小:55.35KB
线性代数期末复习刚要.docx
《线性代数期末复习刚要.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《线性代数期末复习刚要.docx(50页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
线性代数期末复习刚要
线性代数期末复习纲要(2013级适用)
(编辑人:
理学院宏景)
重要知识点
第一部分行列式
一.全排列的逆序数.
二.行列式的定义(包含二阶和三阶行列式特殊计算方法——对角线展开法).
三.对角行列式、三角形行列式的计算公式.
四.行列式的余子式(Mij)与代数余子式(Aij)的概念.
五.行列式的的性质.
六.行列式按行(列)展开法
a11
a12
...a1n
...
ai1
...
ai2
......
...ain
=ai1Ai1+ai2Ai2+...ainAin(i=1,2...n)
...
...
...
...
第二部分矩阵、矩阵的运算、矩阵的初等变换与线性方程组
一.矩阵的运算(代数和、数乘、矩阵乘以矩阵、方阵的次幂、转置、方阵的行列式、矩阵
的初等变换等).
二.逆矩阵
1.逆矩阵的定义:
若同阶矩阵A,B满足AB
=BA=E,则称B是A的逆矩.
*
=A*A=|A|E).
3.可逆的充分必要条件:
n阶方阵A可逆⇔|A|≠0⇔R(A)=n⇔A的列向量组线性无关
4.逆阵的求法:
(1)伴随矩阵法:
A
-1
=
A*
|A|
r
(2)初等变换法:
(A,E)~(E,A
-1
)
1
2.伴随矩阵A的概念与性质(AA*
⎡A1
⎢
(3)分块对角矩阵逆阵:
⎢
⎢
⎢
⎣
A2
...
AS⎦⎢
-1
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
A2
-1
...
⎤
⎥
⎥(Ai可逆)
⎥
-1⎥
AS⎥⎦
三.相关公式
1.(AB)
T
=BTAT
2.(AB)
-1
=B-1A-1
3.|
AT|=|A|
4.|kAn
|=kn|An|
5.|
AB|=|A||B|
6..|A-1|=1
|A|
7.(kA)-1
=
1-1
k
8.(A*)-1
=
A
|A|
10.|A*|=|A|n-1(n为A的阶数)
T
=A,则称A为对称矩阵
五.矩阵的初等变换(三类).结论:
通过初等行变换能将任意一个矩阵化为行阶梯形和行最
简形
六.矩阵秩的概念、性质及秩的求法:
1.秩的定义:
矩阵A中非零子式的最高阶数成为矩阵的秩,记为R(A)
2.秩的主要性质:
(1)矩阵的秩不超过矩阵的行数也不超过矩阵的列数
(2)初等变换不改变矩阵的秩,即:
若P,Q可逆,则R(PAQ)=R(A)
(3)R(A)≤
R(A,B)≤R(A)+R(B),
特别地:
B为列向量b时,R(A)≤
R(A,b)≤R(A)+1
(4)R(AB)≤min{R(A),R(B)}
3.秩的求法:
将A作行初等变换化为行阶梯形,则行阶梯形的非零行的行数即为A的秩
七.线性方程组解的判定
1.线性齐次方程组Am⨯nx
=o有非零解⇔R(A)=r 2 ⎡A1-1 ⎤ ⎥=⎢ ⎣ A(k≠0) 四.对称矩阵的概念: 若方阵满足A 此时解集S的秩RS=n-r,即方程组的基础解系含有n-r个线性无关的解向量: ξ1,ξ2,...ξn-r 通解为x =k1ξ1+k2ξ2+...+kn-rξn-r 2.线性齐次方程组Am⨯nx =o只有唯一零解⇔R(A)=n 3.线性非齐次方程组Am⨯nx 4.线性非齐次方程组Am⨯nx 5.线性非齐次方程组Am⨯nx 6.线性非齐次方程组Am⨯nx =b有解⇔R(A)=R(A,B)=r =b无解⇔R(A) =b有唯一解⇔R(A)=R(A,B)=r=n =b有无穷多组解⇔R(A)=R(A,B)=r 此时导出组 Am⨯nx=o的基础解系含有n-r个线性无关的解向量: ξ1,ξ2,...ξn-r,若 Am⨯nx=b的一个特解为η*则非齐次方程通解为x=k1ξ1+k2ξ2+...+kn-rξn-r+η* 八.克莱姆法则(特点: 用行列式求解,方便,但注意法则的局限性) 九.1.形如An⨯nXn⨯m 2.形如Xm⨯nAn⨯n r r 第三部分向量组的线性相关性 一.向量组等价的概念: 如果两个向量组A与B中的向量可以互相线性表示时,称两向量组 等价记为A~B 设A: α1,α2,...αs;B: β1,β2,...βt, 1.向量组B可由向量组A线性表示⇔ 矩阵方程 (α1,α2,...αs)X=(β1,β2,...βt)有解 ⇔R(α1,α2,...αs)=R(α1,α2,...αs,β1,β2,...βt) 2.向量组B等价于向量组A ⇔R(α1,α2,...αs)=R(β1,β2,...βt)=R(α1,α2,...αs,β1,β2,...βt) 二.向量组的线性相关与无关 1.定义: 给定向量组α1,α2,...αm,如果存在一组不全为零的数 k1,k2,...km,使得 k1α1+k2α2+...kmαm=o ,则称该向量组线性相关,否则(上述等式仅有 3 =Bn⨯m方程的解法: (A,B)~(E,X) =Bm⨯n方程的解法: (AT,BT)~(E,XT) k1=k2=...=km=0时才能成立),则称该向量组线性无关. 2.线性相关的向量组特性: 若向量组线性相关,则其中存在某个向量可由其余向量线性表示. 3.线性无关向量组特性: 若向量组线性无关,则其中任何向量都不能由其余向量线性表示. 4.线性相关性判别法 (1)向量组α1,α2,...αm线性相关⇔齐次线性方程组Ax α1,α2,...αm)⇔矩阵A的秩R(A) =o有非零解,其中矩阵A=( (2)向量组α1,α2,...αm线性无关⇔齐次线性方程组 Ax=o只有零解,⇔矩阵A的 秩R(A)=m(向量的个数). (3)线性相关的向量组任意增加向量后仍然线性相关(部分相关则整体相关). (4)线性无关的向量组任意减少向量后仍然线性无关(整体无关则部分无关). (5)当向量的个数超过向量的维数时,向量组必定线性相关. (6)若向量组α1,α2,...αm线性无关,而α1,α2,...αm,β线性相关,则β一定可由 α1,α2,...αm线性表示,且表示关系唯一. 三.向量组的秩 1.概念: 若在向量组A中能找到一个部分组A0 : α1,α2,...αr(r个)满足 (1)α1,α2,...αr线性无关; (2)A中任意r+1个向量线性无关(或A中任意向量可由A0 线性表示).则α1,α2,...αr称为向量组A的一个最大线性无关组;最大无关组中所含向量 的个数r称为向量组A的秩,记为RA 2.定理: 矩阵秩等于它列(或行)向量组的秩 3.有限个向量组成的向量组秩的求法: 将这组向量作为列构成矩阵,矩阵的秩r就是向量组 的秩,矩阵中任意r个线性无关的向量就是向量组的一个最大无关组. 4.结论: 向量组和它的最大无关组等价 5.齐次线性方程组基础解系 (1)概念: 当齐次线性方程组 Am⨯nx=o有非零解时(R(A)=r 的一个最大无关组称为方程组的基础解系,其中含向量的个数为n-r 4 (2)基础解系的求法: 当Am⨯nx =o满足R(A)=r ,将这n-r ⎡1⎤⎡0⎤⎡0⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎣0⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎢⎣1⎥⎦ 性无关的解向量,即为基础解系. 第四部分相似矩阵与二次型 一.向量内积: 2 ⎣xn⎦ ⎡x1⎤⎡y1⎤ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ 称xTy=x1y1+x2y2+...xnyn为x与 y的内积,记为 [x,y] 二.向量的模(范数) x=xTy=x1y1+x2y2+...xnyn 三.向量组的正交: 若[α1,α2]=0称α1,α2正交.非零的向量组如果两两正交,称该向量 组为正交向量组.结论: 非零正交向量组必定线性无关 四.施密特正交化公式(以两个向量为例)设α1,α2,取ξ1 =α1ξ2=α2- [α2,ξ1] [ξ1,ξ1] ξ1, 则向量组ξ1,ξ2正交,且α1,α2与ξ1,ξ2等价. T A=E,则称矩阵A为正交矩阵.正交矩阵特 性: 每个列(行向量组)为单位向量,且列(行)向量组正交,| 六.特征值与特征向量 1.定义: 设A为n阶方阵,如果存在非零向量x和数λ,使得Ax 的特征值,x为对应于λ的特征向量. A|=1或-1. =λx,则称λ为矩阵A 2.特征值与特征向量的求法: 求出特征方程| A-λE|=0,或|λE-A|=0的根,然后对 每一个根λ带入到齐次线性方程组(A-λE)x 性无关的特征向量. 5 =o,求出其基础解系,即为对应于λ的线 个自由变元依次赋值,比如有三个自由变元时,依次取⎢0⎥⎢1⎥⎢0⎥,从而得到对应的线 ⎢x⎥⎢y⎥ 设x=⎢⎥y=⎢⎥ 2 ⎣yn⎦ 五.正交矩阵的概念: 若方阵矩阵A满足A 3.特征值的性质: (1)A的全部特征值之积等于| A|. (2)A的全部特征值之和等于A的主对角线元素之和(称为矩阵的迹). (3)若λ是A的特征值,ϕ(x)=a0 +a1x+a2x2+...+anxn,则ϕ(λ)一定是矩 阵多项式ϕ(A)=a0E 七.矩阵的相似 +a1A+a2A2+...+anAn的特征值. 1.定义: 设A、B为同阶矩阵,如果存在可逆矩阵P,使得P -1 AP=B,则称矩阵A与B 相似,或称B是A的相似矩阵,其中矩阵P称为相似变换矩阵. 2.两矩阵相似的性质: (1)相似的矩阵具有相同的特征多项式,从而有相同的特征值. (2)相似的矩阵的行列式相等. 八.矩阵的相似对角化 1概念: 如果矩阵A能与对角阵Λ相似,则称A可对角化,此时存在可逆阵P,使得 A=PΛP-1,从而An=PΛnP-1 2.可对角化的充要条件: n阶方阵A可对角化⇔矩阵A恰有n个线性无关的特征向 12n ⎡λ1 ⎢ ⎢ ⎣ λ2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 3.实对称矩阵的对角化 结论: 实对称矩阵的特征值全为实数,且它一定可以正交相似于一个对角矩阵. 九.二次型及其标准形 1.二次型的定义: 一个n元齐次函数 ⎡x1⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ 次型,其中,对称矩阵A称为二次型矩阵. 6 量: p1,p2,...pn,此时变换矩阵P=(p,p,...p),Λ=⎢ ⎢ ⎢x⎥ f(x1,x2,...xn)=[x1,x2,...xn]A⎢2⎥=xTAx称为二 ⎣xn⎦ 2.标准二次型: 12n12n ⎡k1 ⎢ ⎢ ⎣ k2 ⎤⎡y1⎤ ⎥⎢⎥ ⎥⎢⎥ 标准二次型. 3.对于二次型 T 准型 22 2 ,其中k1,k2...kn恰好是二次型矩阵A的n个实特征值,P的 n个列向量刚好是它们对应的n个线性无关的特征向量经过正交化和标准化后所得到的标准 正交向量组. 4.二次型的正定性 (1)定义: 对于二次型 TT 型为正定二次型,此时对称矩阵A称为正定矩阵;若 T 若 T (2)正定(负定)二次型的判别法: f f 正定⇔二次型矩阵A的特征值全为正数 ⇔二次型的标准形中正系数的个数(正惯性指数)=n ⇔二次型矩阵A的的各阶顺序主子式均为正数(霍尔维茨定理) 正定⇔二次型矩阵A的特征值全为负数 ⇔二次型的标准形中负系数的个数(负惯性指数)=n ⇔二次型矩阵A的的奇数阶主子式为负数,偶数阶主子式为正数.(霍尔维茨定理) 7 若f(y,y,...y)=[y,y,...y]⎢ ⎢ ⎥⎢y⎥ ⎥⎢2⎥=k1y12+k2y22+...knyn2,则称为 kn⎦⎣yn⎦ f=xAx,总存在正交矩阵P,通过正交变换x=Py,可将二次型化为标 k1y1+k2y2+...knyn f=xAx,如果存在非零向量x,使得f=xAx>0,则称二次 f=xAx≥0,则称二次型为半正定; f=xAx<0,则称二次型为负定. 线性代数学期考试模拟试卷(A) 一.单项选择题(本大题6小题,每小题3分,共18分) a11 a12 a13 4a11 2a11-3a12 a13 1.若D=a21 a22 a23=1,则4a21 2a21-3a22 a23=( ) A.8 a31 a32 a33 B.-12 4a31 C.24 2a31-3a32 a33 D.-24 2由AB=AC(A,B,C为同阶方阵)能推出B=C,则A满足( ) A.A≠O C.|A|≠0 B.A=O D.|AB|≠0 * ) A.a B. a 2 C.a 3 D.a 4 r ⎛1113⎫ ç0011⎪ ) A.α4=α1+α2+α3 B.α4=3α1+2α2+α3 C.α4=-2α1+α2+α3 D. 8 α1,α2,α3,α4线性无关 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 分数 评卷人 3.设A为3阶矩阵,|A|=a,则|A|=( ç ⎪ 4.已知A=(α1,α2,α3,α4)~ç0112⎪则( ⎝⎭ 5.Am⨯nx=o只有零解⇔R(Am⨯n)=r( ) A.r=m B. r=n C.r D.r 22 )的 A.正定 B.负定 C. 半正定 D.不定 二.填空题((本大题6小题,每小题3分,共18分) 1.行列式 3421536215 2809230092 = ___________ 2.设齐次线性方程组Am⨯nx=o,且R(A)=r 3.设三阶矩阵A的特征值为2,3,λ,且|2A|=-48,则λ=_________ 4.设3阶矩阵A=(α1,β,γ),B=(α2,β,γ),且|A|=2,|B|=-1, 则| A+B|=_________ 5.已知. ç⎪ A=ç25k-1⎪ ç12-1k⎪,且R(A)=2,则k=____ 6.设α1 =(1,3,-1)T,α2=(-1,0,2)T,α3=(3,k,-4)T,当k为___时α1,α2,α3 线性相关 1234 三.(10分)计算行列式D= 2341 3412 4123 的值 四.(10分)设 ⎛120⎫ ⎝⎭ ⎛2 ⎝-240⎭ 9 6.设二次型f(x,y,z)=x+y则该二次型是( ⎛11-610⎫ ⎝⎭ ç ⎪ 3-1⎫ 40⎪,B=çç ⎪⎪,求ABT及4|A| A=ç3 ç-121⎪ 五.(10分) ⎛033⎫ 设A=ç110⎪,且AB=A+2B,求B ç-123⎪ 六.已知α1,α2,α3线性无关,且β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α1+3α3 证明: β1,β2,β3线性无关(10分) 七.(12分)求线性方程组 ç ç5x1+3x2+6x3-x4=-1 ç2x1+4x2+2x3+x4=-6 的通解 八.(12分)求正交变换将二次型 222 为标准形,并写出所用的变换矩阵P 10 ç ⎪ ⎝⎭ ⎛x1+5x2+2x3-3x4=11 ⎝ f(x1,x2,x3)=x1+2x2+3x3-4x1x2-4x2x3化 线性代数学期考试模拟试卷(B) 二.单项选择题(本大题6小题,每小题3分,共18分) 103100204 1.若D=199 200395=( ) 301300600 A.0 B.1 C.2000 D.1000 2.设A,B,为n阶方阵,则( TTT ) B.|A+B|=|A|+|B| T ⎛100⎫ 3.设A=ç220⎪则(A*)-1=() ç345⎪ TT T A.10A B. A 10 C.10A-1 D. A-1 10 4.已知A3⨯2,B2⨯3,C3⨯3,则下列运算可行的是() A.AC B.CB C.ABC D.AB-BC 5.设A为n阶矩阵,若A与n阶单位阵等价,则线性方程组Ax=b( ) A.无解 C.有无穷多解 B.有唯一解 D.不确定 11 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 分数 评卷人 A.(AB)=BA C.(A+B)=A+B D.(AB)=AB ç ⎪ ⎝⎭ 222 )的 A.正定 B.负定 C. 半正定 D.不定 二.填空题((本大题有6小题,每小题3分,共18分) 1 2.行列式 D= n 2 =_____ ⎧x1-2x2+x3+x4=0 ⎨ 的基础解系中含有解向量的个数是 -1 4.设3阶矩阵A按列分块为A=(α,β,γ),|A|=5,B=(α+2β,3α+4γ,5β) 则|B|=_________ ç 5.已知A=ça2b1 ça3b1 a1b2 a2b2 a3b2 ⎪ a3b3⎪⎭ 6.设α1 =(1,0,-1,2)T,α2=(2,-1,-2,6)T,α3=(3,1,t,4)T,线性无关,则t应满足 1 a
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 线性代数 期末 复习 刚要