动点问题习题及答案.docx
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动点问题习题及答案
动点问题(习题)
Ø例题示范
例1:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AD=3cm,DC=15cm,BC=24cm.点P从A点出发,沿A→D→C的方向以1cm/s的速度匀速运动,同时点Q从C点出发,沿C→
B的方向以2cm/s的速度匀速运动.当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.
(1)连接AP,AQ,PQ,设△APQ的面积为S(cm2),点P
运动的时间为t(s),求S与t之间的函数关系式.
(2)当t为何值时,△APQ的面积最大?
最大值是多少?
(3)△APQ能成为直角三角形吗?
如果能,直接写出t的值;如果不能,请说明理由.
APD
BQC
【思路分析】
①研究基本图形,标注信息.
3
APD
15
BQC
24
②分析运动状态,分段、定范围.
△APQ的面积S
(1/s)P:
A3sD
(2/s)Q:
C
15s
C
12s
B
总时间:
0≤t≤12,分为两段:
0≤t≤3,3<t≤12.
③分析几何特征,表达,设计方案求解.
第1问,结合分段,画出对应的图形后,表达对应图形的底和高,根据公式建等式.(当t=0时,三角形不存在;所以t≠0)第2问,借助第1问的面积表达式来求解.
第3问,由于直角所在角不确定,分类后,画出对应图形,表达,分析不变特征,设计方案求解.
【过程示范】
解:
(1)当0<t≤3时,
APD
BQC
S=1⨯t⨯15=15t22
当3<t≤12时,
ADP
BQC
S=1⨯15⨯(3+2t)-1⨯3⨯(t-3)-1⨯2t⨯(18-t)222
=t2-9t+27
2
⎧15t
(0 ⎨ 综上: S=⎪2 9 ⎪ ⎪t2- ⎩ t+27 2 (3≤t≤12) (2)当0<t≤3时, S=15t,为一次函数, 2 ∵k=15>0,S随t的增大而增大, 2 ∴当t=3时,S最大,为45. 2 当3<t≤12时, S=t2-9t+27,为二次函数,2 ∵a=1>0, ∴图象开口向上, 又∵-b 2a =9,3<t≤12,4 ∴当t=12时,S最大,为117. 综上: 当t=12时,S最大,最大值为117cm2. (3)0<t≤3 ①当∠APQ=90°时, APD B 此时,AP=EQ,即t=3-2t, ∴t=1. ②当∠PAQ=90°时, EQC APD BQC 此时,CQ=AD,即2t=3, ∴t=3. 2 3<t≤12 ①当∠APQ=90°时, AD P BQC 易证∠APD=∠PQC, ∴△APD∽△PQC, ∴t=6或t=9. ②当∠PAQ=90°时, ADP BQEC 易证∠PAD=∠QAE, ∴△PAD∽△QAE, Ø巩固练习 1.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=5 ,∠C=30°.点D 从点C出发,沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发,沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间为t秒(t >0),过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF. (1)求证: AE=DF. (2)四边形AEFD能成为菱形吗? 如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由. (3)当t为何值时,△DEF为直角三角形? 请说明理由. A E BFC A BC A BC 2.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,D,E分别为边AC,BC的中点.点P从点A出发,沿折线AD-DE-EB以每秒3个单位长度的速度向点B匀速运动;点Q也从点A出发,沿射线AB以每秒2个单位长度的速度运动,当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动.设点P,Q运动的时间为t秒(t>0). (1)当点P到达点B时,求t的值. (2)设△BPQ的面积为S,当点Q在线段AB上运动时,求出S与t之间的函数关系式. (3)是否存在t值,使PQ∥DB? 若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由. A BEC A BEC A BEC 3.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=6cm,AB=8cm,BC=14cm.动点P,Q都从点C出发,点P沿C→B的方向做匀速运动,点Q沿C→D→A的方向做匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动. (1)求CD的长; (2)若点P以1cm/s的速度运动,点Q以22cm/s的速度运动,连接BQ,PQ,设△BQP的面积为S(cm2),点P,Q运动的时间为t(s),求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围; (3)若点P的速度仍是1cm/s,点Q的速度为acm/s,要使在运动过程中出现PQ∥DC,请直接写出a的取值范围. AD BPC AD BC AD BC Ø思考小结 表达线段长是动点问题解题过程中重要环节之一.表达线段长时思考方向如下: ①利用s=vt,用动点走过的路程来表达; ②利用动点所走路程和线段长组合,来表达新线段长; ③和角度结合在一起,利用相似或三角函数来表达. 【参考答案】
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