考研数一真题和答案.docx
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考研数一真题和答案
2018年全国硕士研究生入学统一考试
数学一考研真题与全面解析
一、选择题:
1〜8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸..指定位置上•
1.下列函数中在x0处不可导的是()
(A)f(x)xsinx
(0f(x)cosx
(B)f(x)xsin』xf
(D)f(x)cos.x
2.过点(1,0,0),(0,1,0),且与曲面z
22
xy相切的平面为(
(A)z0与xyz1
(B)z0与2x2yz2
(C)xy与xyz1
(D)xy与2x2yz2
3.
3
1)!
4•设M
,N刁屮dx,K
21x2e
2(1、、cosx)dx,则(
(A)MNK
(B)MKN
(C)KMN
(D)KNM
110
5.下列矩阵中阵,与矩阵011相似的是(
001
(A)011(B)011
(C)010(D)01
6.设A,B是n阶矩阵,记r(X)为矩阵
X的秩,(X,Y)表示分块矩阵,则
(A)r(A,AB)r(A)
(B)r(A,BA)r(A)
(C)r(A,B)
max{r(A),r(B)}
(D)r(A,B)
r(AT,BT)
7.设随机变量
X的概率密度f(x)满足f(1x)f(1
2
X),且0f(x)dx0.6
则P{X0}
、填空题:
914小题,
每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
1
e,则k
卄1tanxsinkx
9.右lim
x01tanx
10.设函数f(x)具有二阶连续导数,若曲线yf(x)过点(0,0),且与y2x在点(1,2)
1
处相切,求°xf(x)dxo
11.设函数F(x,y,z)xyiyzjzxk,则rotF(1,1,0)。
12.设L是曲面x2y2z21与平面xyz0的交线,贝U?
xyds。
13.设二阶矩阵A有两个不同的特征值,1,2是A的线性无关的特征向量,且满足
A2(12)12,则IA一。
1
_14.设随机事件A与B相互独立,A与C相互独立,BC,P(A)P(B)
2
1
P(AC|ABUC)-,则P(C)。
—
三、解答题:
15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•
15.(本题满分10分)求不定积分e"arctanJex1dx.
16.(本题满分10分)将长为2m的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形,三个图形的面积之和是否存在最小值?
若存在,求出最小值。
17.(本题满分10分)设是曲面x\13y23z2的前侧,计算曲面积分
Ixdydz(y32)dzdxz3dxdy.
18.(本题满分10分)已知微分方程yyf(x),其中f(x)是R上的连续函数。
(I)若f(x)x,求方程的通解;(II)若f(x)是周期为T的函数,证明:
方程存在唯一的以T为周期的解。
19.(本题满分10分)设数列xn满足为0,xnexn1exn1(n1,2,3,L)。
证明xn收敛,并求limxn。
n
20.(本题满分11分)设二次型
f(x1,x2,Xg)(x1x2卷)2(x2x3)2(x1ax3)2,其中a是参数。
(i)求f(x1,x2,x3)0的解;(II)求f(x1,x2,x3)的规范型。
12a
21.(本题满分11分)设a是常数,且矩阵A130可经过初等列变换化为矩阵
27a
1a2
B011。
(I)求a;(II)求满足APB的可逆矩阵P?
111
22.(本题满分11分)设随机变量X,Y相互独立,X的概率分布为
1PX1PX1
2
Y服从参数为的泊松分布。
令ZXY,(I)求Cov(X,Z);(II)求Z的概率分布。
1凶
23.(本题满分11分)设总体X的概率密度为f(x;)e,x,
其中(0,)为未知参数,X1,X2,L,Xn为来自总体X的简单随机样本,记的最
大似然估计量为。
(I)求;(II)求E()和D()。
答案解析
1.[答案】(D)
x
lim——,极限不存在。
故选(D).
x0x
2•【答案】(B)
【解析一】设平面与曲面的切点为(x),y0,Zo),则曲面在该点的法向量为
n(2Xo,2yo,1),切平面方程为
切平面过点(1,0,0),(0,1,0),故有
2xo(1X。
)2y°(0y°)(0窃0,
(1)
2x0(0X0)2y°(1y°)(0Z0)0,
(2)
又(x0,y0,z0)是曲面上的点,故z0x0心,(3)
解方程
(1)
(2)(3),可得切点坐标(0,0,0)或(1,1,2)。
因此,切平面有两个
z0与2x2yz2,故选(B).
【解析二】由于xy不经过点(1,0,0)和(0,1,0),所以排除(C)(D)。
对于选项(A),平面xyz1的法向量为(1,1,1),曲面x2y2z0的法
一、111向量为(2x,2y,1),如果所给平面是切平面,则切点坐标应为(―,,),而曲面在该点
222
1
处的切平面为xyz,所以排除(A).所以唯一正确的选项是(B).
2
3.【答案】(B)
【解析】因为sinx
(1)n
x(2n1)!
2n
cosx
n0(2n)!
而
(1)n2n3
n0(2n1)!
1r(2n
2n1
1)!
1)n(2n1)!
(1)n
0(2n)!
(1)n
cos12sin1,故选(B)o
(2n1)!
4.【答案】(C)
【解析】积分区间是对称区间,先利用对称性化简,能求出积分最好,简化积分
不能求出积分则最
2(1x)
21
2
2—dx
x
21x2
2x一
2—dx2(1
1x~2
2(1
2
、cosx)dx
[1gdx,
2
令f(X)
x,x
(x)ex1,当x(
齐)时,f(x)0,
(咛时,
f(x)
0,故
(---),有f(x)
f(0)0,因而
21gix
2
,故KMN。
应选(C).
5.【答案】(A)
【解析】记矩阵H
,则秩r(H)3,迹tr(H)3,特征值1
(三重)。
观察A,B,C,D四个选项,它们与矩阵H的秩相等、迹相等、行列式相等,特
征值也相等,进一步分析可得:
r(EH)2,r(EA)2,r(EB)1
r(EC)1,r(ED)1。
如果矩阵A与矩阵X相似,则必有kEA与kE
相似(k为任意常数),从而r(kEA)r(kEX)),故选(A),
6.【答案】(A)
【解析】把矩阵A,AB按列分块,记A(1,2丄n),AB(1,2丄n),量组1,2,Ln可以由向量组1,2丄n线性表出,从而1,2,Ln与
1,2丄n,1,2丄n,等价,于是「(A,AB)「(A),故选(A)。
则向
7.【答案】(A)
【解析】由f(1x)
f(1x)可知概率密度函数f(x)关于x1对称,
结合概率密度函数的性质
2
f(x)dx1及已知条件of(x)dx0.6,容易得出
P{X0}
0f(x)dx-[
2
2
f(x)dxof(x)dx]0.2,故选(A)
8.【答案】(D)
【解析】正确解答该题,应深刻理解“检验水平”的含义。
X
统计量0〜N(0,1),在检验水平0.05下接受域为
U0.025,
解得接受域的区间为(XU0.025j=,Xu0.025
在检验水平
0.01下接受域的区间为(XU0.005旷,XU0.005
由于U0.025
U0.005,
0.01下接受域的区间包含了
0.05下接受域的区间,故选
(D)。
9.【答案】
【解析】
tanx
lim-
x01tanx
1
sinkx
lim—lnx0sinkx
e
1tanx
1tanx
1,,2tanx
limln1
x0sinkx1tanx
e
10.【答案】2(1n21)
【解析】由已知条件可得:
f(0)
0,f
(1)
2,f
(1)2ln2,
11
故0xf(x)dx0xdf
(x)
xf
1
(x)l。
1
0f(x)dx
11.【答案】(1,0,1)
【解析】rotF(x,y,z)
yizjxk
xy
yz
zx
故rotF(1,1,0)
(1,0,
1)。
12•【答案】-
3
【解析】先求交线
2
L:
x
x
z21
,由于曲面方程与平面方程中的x,y,z满足轮换
0
对称性,因此在曲线L上x,y,z具有轮换对称性。
又知
1
由轮换对称性可得:
蜒xyds(xyyzzx)ds
3
13•【答案】
【解析】设
2对应的特征值分别是
1,2,则
(121)
A2(12)
A21A22121
0,由于1,2线性无关,
从而A的两个不同的特征值为
1,1,于是A
14.【答案】1
4
S(x,y,z)x2y23z2的最小值”
4
由实际问题可知,最小值一定存在,且在该驻点处取得最小值。
最小面积和为
17.【解析】将空间曲面化成标准形以便确定积分曲面的形状
公式可得
18.【解析】(I)若f(x)x,则yyx,由一阶线性微分方程通解公式
dxdxx
得ye(xedxC)Cex1。
(Il)由一阶线性微分方程通解公式可得yex(f(x)eXdxC),
etf(t)dt
CVi-
故微分方程存在唯一的以T为周期的解。
一解A0,故limxn0
n
【证明二】首先证明数列人有下界,即证明xn0:
当n
1时,
X1
0。
根据题设
leX11
X2ln
X1
由eX11x1
可知
X2
ln10;
假设当
n
k时,
xk0;
则当n
k
1时,
lexk1ln
Xk
,其中eXk
xk
1xk,可知
Xk1
ln1
0。
根据数学归纳法,对任意的n
N,xn0。
再证明数列焉的单调性:
exn1exn1exn1
Xn1XnlnXnInInexnIn石
XnXnXne
(离散函数连续化)设f(x)ex1xeX(x0),则当x0时,f(x)xeX0,
f(x)单调递减,f(x)f(0)0,即ex1xeX
综上,数列Xn的单调递减且有下界。
由单调有界收敛原理可知Xn收敛。
设limxna,在等式xneXn1eXn1两边同时令n,得aeaea1,
n
解方程得唯一解a0,故limXn0。
n
20•【解析】(I)由f(X1,X2,X3)0可得
对上述齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换得
当a2时,f(x1,X2,X3)0只有零解:
X(0,0,0)T。
当a2时,A
f(x!
,x2,x3)0有非零解:
xk(2,1,1),k为任意常数
(II)当a2时,若X1,X2,X3不全为0,则二次型f(XpX2,X3)恒大于0,即二次型
f(x!
,x2,x3)为正定二次型,其规范型为f(y1,y2,y3)
当a2时,
21.【解析】(I)由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,故r(A)r(B)
对矩阵A,B作初等行变换,得
1
2a
1
2
a
12
a
A1
30
0
1
a
01
a,
2
7a
0
3
3a
00
0
1
a2
1
a
2
1a
2
B0
11
0
1
1
01
1,
1
11
0
a1
3
00
2a
显然r(A)2,要使r(B)
2,必有
2
a
0
a2。
(II)将矩阵B按列分块:
B(1,2,3),求解矩阵方程APB可化为解三个同
系数的非齐次线性方程组:
Axj,j1,2,3。
对下列矩阵施以初等行变换得
1
2
21
2
2
1
0
63
4
4
(A,B)1
3
0M0
1
1
0
1
2M1
1
1,
2
7
21
1
1
0
0
00
0
0
易知,齐次线性方程组Ax0的基础解系为:
°(6,2,1)t,三个非齐次线性方程
组的特解分别为:
1(3,1,0)t,2(4,1,0)t,3(4,1,0)To
因此,三个非齐次线性方程组的通解为
6
3
6
4
6
4
1匕2
1
,2k2
2
1
,3
k32
1,
1
0
1
0
1
0
36匕4
6k2
4
6k3
从而可得可逆矩阵
P
12k11
2k2
1
2k3
,其中k2
k3o
k1
k2
k3
22.【解析】(I)由X,Y相互独立,可得E(XY)E(X)E(Y).。
由协方差计算公式可知
Cov(X,Z)E(XZ)E(X)E(Z)E(X2Y)E(X)E(XY)
E(X2)E(Y)E2(X)E(Y)
其中E(X)0,E(X2)1,E(Y),代入上式可得Cov(X,Z)o
0,1,2,3丄于是,Z的概率分布为
PZOPX1YOPX1YO】PY0〕PY0e
22
1,Yk
lpYk-—,k1,2,3丄
22k!
23.【解析】(I)似然函数为
D|X|E(X2)E2(|X|)2222
D()1D|X
n
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