常微分方程毕业论文.docx

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常微分方程毕业论文

安阳师范学院

安阳师范学院本科学生毕业论文

一阶常微分方程初等解法

作者田丰系（院）数学与统计学院专业数学与应用数学

年级2010级学号100801066

指导教师李波论文成绩

日期2014年5月10日

安阳师范学院

学生诚信承诺书本人郑重承诺：

所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.

签名：

日期：

论文使用授权说明

本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：

学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.

签名：

导师签名：

日期：

安阳师范学院

安阳师范学院

一阶常微分方程初等解法

田丰

（安阳师范学院数学与统计学院，河南安阳100801066）

摘要:

文章对一阶常微分方程运用变量分离,积分因子,恰当微分方程等各类初等解法进行了归纳与总结,同时结合例题演示了常微分方程的求解问题。

关键词:

一阶常微分方程;变量分离;恰当微分方程;积分因子

1引言

常微分方程在微积分概念出现后即已出现,对常微分方程的研究也可分为几个阶段.发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解,属

于“求通解”时代.莱布尼茨曾专门研究利用变量变换解决一阶常微分方程的求解问题,而欧拉则试图用积分因子处理.但是求解热潮最终被刘维尔证明里卡蒂方程不存在一般初等解而中断.加上柯西初值问题的提出,常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代.在20世纪六七十年代以后,常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期,从求“求所有解”转入“求特殊解”时代,发现了具有新性质的特殊的解和方程,如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等.微分方程里各项的次数，其实说的是方程各项中未知函数（y）及其导数（y'，y''，y'''⋯⋯）的次数但是一般接触到的有解析解的微分方程都不会超过1次，所以齐次一般指的就是方程各项中未知函数（y）及其导数（y'，y''，y'''⋯⋯）的次数为1也就是说方程各项中必须出现且只出现单独的y，y'，y''，y'''⋯⋯，而不出现它们的平方、n次方，也不出现它们互相相乘，也不出现常数项（次数为0）其中的常见的求解一阶微分方程有：

一般变量分离dyf（x）（y）；齐次微分方程dyg（x），dxdxy

dya1xb1yc1；常数变易dyPxyQx,dyP（x）yQ（x）yn（伯努利微分

dxa2xb2yc2dxdx

方程）；恰当微分方程及积分因子法这些都是常见的解法

常微分方程的研究还与其他学科或领域的结合而出现各种新的分支,如控制

论、种群分析、种群生态学、分支理论、泛函微分方程、脉冲微分方程等.

总之,常微分方程属于数学分析的一支,是数学中与应用密切相关的基础学科,其自身也在不断发展中,学好常微分方程基本理论和实际应用均非常重要.因此本文对一阶常微分方程的初等解法进行了简要的分析,同时结合例题,展示了初等解法在解题过程中的应用.

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2一阶常微分方程的初等解法

2.1变量分离法

2.1.1一般变量分离法

dyf（x）（y）,（2.1）

dx

的方程,称为变量分离方程,f（x）,（y）分别是x,y的连续函数.这是一类最简单的一

阶函数.

如果（y）0,我们可将（2.1）改写成

这样,变量就分离开来了.两边积分,得到

（2.2）

d（yy）f（x）dxc.

这里我们把积分常数c明确写出来,而把dy,f（x）dx分别理解为1,f（x）的

（y）（y）

原函数.常数c的取值必须保证（2.2）有意义,如无特别声明,以后也做这样理解

因（2.2）式不适合（y）0情形.但是如果存在y0使（y0）0,则直接验证知yy0也

是（2.1）的解.因此,还必须寻求（y）0的解y0,当yy0不包括在方程的通解（2.2）

中时,必须补上特解yy0

例1求解方程dyy

dxx

解将变量分离,得到

ydyxdx,

两边积分,即得

2

x2c

22

因而,通解为

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这里c是任意正常数,或者解出y,写出显函数形式的解

ycx2.

例2求解方程

dy

p（x）y,

dx

的通解,其中p（x）是x的连续函数

解将变量分离,得到

dyp（x）dx,

y

两边积分,即

ln|y|p（x）dxc~.

这里c~是任意常数.由对数定义,有

p（x）dxc~

|y|e,

即

c~p（x）dx

yee,

~

令ec~c,得到

p（x）dx

yce,

此外,y0显然也是方程（3.1）的解,如果允许（3.2）中允许c0则y

（3.2）中,因而（3.1）的通解为（3.2）,其中c为任意常数

2.1.2用变量分离解齐次微分方程

2.1.2.1用变量分离法解齐次微分方程类型一

形如

dyx

g（）,

dxy

的方程,称为齐次微分方程,这里g（u）是u的连续函数.

（3.1）

（3.2）

0也就包括在

作变量变换

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uy,x

即yux,于是

dydu

xu.dxdx

代入原方程可得

du

xug（u）,

dx

整理后,得到

dug（u）u

.（2.3）dxx

因（2.3）是一个变量分离方程

.则可按照变量分离方法求解,然后代回原来的变量,即

可得到原方程的解

例3求解方程dy

dx

ytanyxx

解这是齐次微分方程

以yu及dyxduu代入,则原方程变为xdxdx

du

xuutanu,

dx

即

dutanu

.（3.3）dxx

将上式分离变量,既有

dxcotudu,

x

两边积分,得到

ln|sinu|ln|x|c~.

这里c~是任意常数,整理后,得

到

sinu=ecx,

e~c得到

sinucx.（3.4）

此外,方程（3.3）还有解

tanu0.

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如果在（3.3）中允许c0,则tanu0也就包括在（3.4）中,这就是说,方程（3.3）的通解为（3.4）

带回原来的变量,得到方程的通解为

y

sincx.

x

例4求解方程xdy2xyy（x0）

dx

解将方程改写为

dx2xx,

（3.5）

这是齐次微分方程.以yu及dyxduu代入,则原方程变为dxdxxdu2u.

dx

分离变量,得到

dudx

2ux

两边积分,得到（3.5）的通解

uln（x）c.

即当ln（x）c0时,

2

u[ln（x）c]2.

这里c时任意常数.此外,方程（3.5）还有解

u0.注意,此解并不包括在通解（3.5）中.代入原来的变量,即得原方程的通解为

yx[ln（x）c]2.

2.1.2.2用变量分离法解齐次微分方程类型二

形如

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（2.4）

dya1xb1yc1

dxa2xb2yc2

但是可以经过变量变换后化为变量分离方程,这里

的方程不可直接进行变量分离a1,b1,c1,a2,b2,c2均为常数.可分为三种情况来讨论:

1a1b1c1k（常数）的情形a2b2c2

这时方程可化为

有通解

ddyxk,

ykxc,

其中c为任意常数.

令ua2xb2y,这时有

du

a2

dx

b2dya2b2kuc1dxuc2

是变量分离方程

3a1b1及c1,c2不全为零的情形a2b2

因为方程右端分子,分母都是x,y的一次多项式,因此a1xb1yc10,a2xb2yc20.

代表Oxy平面上两条相交的直线,设交点为,,若令

Xx,

Yy,则方程可化为

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a1xb1y0,a2xb2y0,

从而方程（2.4）变为

dYa1Xb1YgY.dXa2Xb2YgX.

因此,求解上述变量分离方程

最后代回原方程,即可得到原方程的解.

（4）c1c20的情形,

此时直接变换uy即可.

x

解令uxy1,则有

代入所求方程

yux1,

dux111,

dxu

整理可得

由变量分离得故所求方程的解为

例6求解方程

du

dx

u22xc,

2

xy12xc.

dyxy1

dxxy3

解解方程组

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xy10,

xy30,

得x1,y2.令

xX1,

yY1,代入上式方程,则有

dYXY.

dXXY.

Y再令uY即YuX,则上式可化为

X

dX1u

2du,

X12uu2两边积分,得

22

lnX2ln|u22u1|c~,

因此

X2（u22u1）ec~,

记ec~c1,并带回原变量,得

22

Y22XYX2c1,

22

（y2）22（x1）（y2）（x1）2c1.

此外容易验证

u22u10,

即22

Y22XYX20,也是方程的解,因此方程的通解为

y22xyx26y2xc,其中c为任意的常数.

2.2常数变易法

2.2.1常数变易法类型一

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一阶线性微分方程

dyPxyQx,

dx

其中Px,Qx在考虑的区间上是x的连续函数,若Qx0,方程变为

ddyxPxy,

dx

称其为一阶齐次线性微分方程,若Qx0,称其为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为

ycePxdx,

这里c是任意常数.

现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出,是特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中c恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数c变易为x的待定函数,使它满足方程,从而求出cx,为此,令

Pxdx

ycxe,

两边同时微分,得到

dydcxePxdxcxPxePxdx.

dxdx

代入原方程,得到

dcxePxdxcxPxePxdxPx