树及树的应用.docx
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树及树的应用
树及其应用
肖永亮
承德民族师专数计系06数专2班067000指导教师于兰芳
摘要:
树是图论中重要的概念之一。
树又是连通图中最简单的一类图,许多问题对一般连通图未能解决或者没有简单的方法。
而对于树则已圆满解决,且方法较为简单。
而且在许多不同领域中有着广泛的应用。
在日常事务中,树的例子是很多的。
例如家谱。
这里将介绍树的一些基本性质和应用。
它涵盖了无向树和有向树两方面的内容。
其中阐述了生成树、最小生成树的定义、性质与找法。
对根树的有关概念,m元树、二元树的定义、性质以及最优二叉树的定义还有找法做了详细的介绍。
关键词:
无向树外向树根树2叉树
1无向树的有关概念
1.1无向树的有关定义
定义1.1设有无向图G=
在图1.1中(a)所示是树,因为它连通又不含回路。
但1.1(b)所示不是树,因为图1.1(b)虽然连通但有回路。
图1.1(c)虽无回路但不连通。
在树中,次数为1的结点称为叶(悬挂点)。
如图1.1(a)中,V1、V4、V5等均为叶。
在树中,次数大于1的结点称为分枝点。
如图1.1(a)中,V2、V3均为分枝点。
仅有一个结点称为平凡树。
1.2无向树的性质
定理1.2.1在(n,m)树中必有m=n-1
[证]用数学归纳法对n进行归纳
n等于1时定理成立
设对所有i(i 设有一(n,m)树,由于其不包含任何回路,故从树中删去一边后就变成两个互不连通的子图。 而其每个子图是连通的,故其每个子图均为树。 设它们分别是(n1,m1)树及(n2,m2)树,由于n1<n,n2<n。 故有归纳假设可得, m1=n1-1,m1=n1-1 又因为 n=n1+n1,m2=n2-1 故得到m=n-1 定理1.2.2非平凡树至少有两片叶子 [证]设树T=〈V,E〉,│V│=v,因为T是连通图,对于任何vi 属于T有deg(vi)<1且∑deg(vi)不大于2v得出矛盾。 若T中只有一个结点度数为1,其它结点度数大于等于2,则 ∑deg(vi)≤2v-1 得出矛盾。 故T中至少有两个结点度数为1。 定理1.2.3(n,m)无向图构成树↔每对结点的通路只有一条 [证]必要性: 若有图G是树,故每对节点间均有通路。 若结点vi与vj间有两条通路,则此两条通路必构成一条回路,而这与树的定义矛盾。 充分性: 图G的每对结点间存在通路,故G是连通的。 又由于通路的唯一性,故知图中不包含回路,由此可知G是树。 1.3特殊的无向树(生成树) 1.3.1生成树的有关定义及其性质 定义1.3.1设有无向图G的生成子图构成树,则称其为生成树。 由一个连通图找它的生成树的过程是: 方法一: 破圈法。 设G是一个连通图,如果G是树,则G本身就是G的生成树。 如果G不是树,则G至少有一个回路c,在c中任取一条边e,则G-e仍是连通图。 即G1=G-e是G的连通生成子图。 如果G1仍不是树,可以继续这个过程,直到一条边从最后一个回路中去掉。 所得图T就是G的一个连通生成子图,而且没有回路,故T就是G的生成树。 方法二: 避圈法。 设G是一个连通图。 在V(G)中逐次添加E(G)中的边,要求每次添加边后所得子图都不含回路。 把上述过程进行到无法再进行为止。 所得到的子图T是G的一个极大无回路生成子图,T就是G的生成树。 定理1.3.1连通图至少有一颗生成树。 [证]设连通图G没有回路则G本身就是一棵生成树。 若G至少有一个回路,我们删去G的回路上的一条边,得到图G1就是生成树。 若G1仍有回路,再删去G1回路上的一条边。 重复上述步骤,直至得到一个连通图H,它没有回路。 但与G有同样的结点集,因此H是 G生成树。 由此定理得证。 1.3.2最小生成树 定义1.3.2在图G的所有生成树中,树权最小的那棵生成树称作最小生成树。 其中树权记作T(w)。 用避圈法找最小生成树。 将图中的环去掉。 将图中个边的权按从小到大的顺序排列w1,w2… wn( l1,l2…lm )。 先取l1,看l2 …lm与l1是否构成回路,构成回路的删去,不构成的留下。 继续以上方法,最后得到的生成树为最小生成树。 如图1.3.2中实线组成的图形为最小生成树。 2有向树的有关概念 2.1有向树的有关定义 定义2.1.1在有向图中不考虑边的方向而构成树,则称此有向图为有向树。 例如图2.1(a)所绘出的有向图即为有向树,但图2.1(b)所绘出的有向图则不是有向树,因为当忽略其方向时该图存在回路。 定义2.1.2若一颗有向树恰有一个结点的引入次数为0,其余所有节点的引入次数为1,则称该有向树为树形图。 例如图2.1.2中(a),(b)所示是树形图。 在树形图中引入次数为零的结点称为树形图的根。 如图2.1.2(a)中V1。 引入次数为1,引出次数为0的结点称为树形图的叶。 如图2.1.2(a)中v2,v4,v6。 引入次数为1,引出次数非零的结点称为树形图的内点。 如图2.1.2(a)中v3,v5 2.2特殊有向树 定义2.2.1有且仅有一个结点的引入次数为0,其它结点的引入次数为1,还有一些结点的引出次数为0的有向树称为外向树(根树)。 例如图2.1.2中(a),(b)所示是外向树。 定义2.2.2有且仅有一个结点的引出次数为0,其它结点的引出次数为1,还有一些结点的引出次数为0的有向树称为内向树。 例如图2.2.2所示 3根树(外向树) 定义3.1在树形图中有且仅有一个引入次数为零的结点称为根。 定义3.2根到结点vi的层数称为该结点vi的层数。 定义3.3外向树的最大层数称为树高。 例如图3.0所给出的图是根树。 在图3.0中,v0是根。 v5,v6,v7,v8,v9是树叶。 v1,v2,v3,v4是内点。 v0,v1,v2,v3,v4统称为分枝点。 结点v0的层数为0。 结点v1,v2的层数为1,结点v3,v4,v5的层数为2。 结点v6,v7,v8,v9的层数为3。 这样的树形图的高为3。 4二元树 外向树除叶外每个节点的引出次数均大于0。 结点的引出次数均不超过某一正整数m,则称此外向树为m元树。 由此可以定义m元树如下: 定义4.1n个结点的外向树如满足: 引出次数deg(vi)≤m(i=1,2…n) 则称此外向树为m元树。 如满足(除叶外): 引出次数deg(vi)=m(i=1,2…n) 则称此外向树为m元完全树。 定理4.1设有m元完全树,其树叶树为t,分枝点数为i,则(m-1)×i=t-1 [证]若把m元树看做是每局有m位选手参加比赛的单淘汰撒计划表。 树叶数t表示参加比赛的选手数。 分枝点数i表示比赛的局数。 因为每局比赛将淘汰(m-1)位选手,故比赛结果共淘汰(m-1)×i位选手,最后剩下一位冠军。 因此(m-1)×i=t-1。 定义4.2设有有权树D=〈V,E,w〉。 w1,w2…wn为叶的权。 T(w)=∑wi×l(vi)中最小的2元树称为最优2元树。 画出最优2元树的步骤如下: 1 将叶的权从小到大排列w1,w2…wn。 2 将权为w1,w2的两片叶子画出,引出新的结点的权数为w1+w2。 3 权为w1+w2与w3…wn的比较画出结点。 继续上述过程得到的2元树为最优2元树。 图4.0(a)(b)(c)(d)分别绘出了四元树、四元完全树、二元树、二元完全树的例子。 在二元树中每个节点最多可以有两个儿子,一般称位于左边的为做儿子,右边的为右儿子。 二元树是一种比较重要的外向树,好多实际问题均可用二元树表示。 下面举几个这方面的例子。 例可用二元树表示算术表达式,如下列表达式 (v1-v2)/v3+v4(v5-v6/v7) 这个表达式可用图4.1所示有序二元树表示。 例很多计算机中的程序流程图可用有序二元树表示。 如图4.2(a)所示的流程图及可用图4.2(b)的有序二元树表示。 5树的应用 例1有十个学生参加一次考试,试题10道。 已知没有两个学生作对的题目是相同的。 证明: 在这10道题中可以找到一道试题,将这道试题取消后,每两个学生所做对的题目仍然不会相同。 证明: 反证法。 用10个结点vi(i=1,2…10)来表示10位学生。 如果结论不成立,则对每一道试题h(1≤h≤10),如果去掉h,比有两个学生vi和vj,他们作对的题目是完全相同的,即原来vi比vj或vj比vi恰好多做一题h,就在vi和vj之间连一条边,并标上号h(如果有好几对,我们可以任取一对)。 这样就得到一个具有10个结点,10条边的简单图,用G表示。 有定理可知,G不是树。 因为结点数与边数相同。 G含有回路,设为 C=vi1vi2…vikvi1 则沿着C走时,每通过一条边就相当于解出的题目增加或减少了一道题,并且增减的题目是互不相同的。 现在对回路C来说。 从vi1出发沿C走一圈回到vi1,就相当于vi1做对的题目会增加一些,在减少一些题目,最后结果仍是vi1原来做对的题目,这是一个矛盾。 例2用树形图可以表示家庭之间的关系。 设某祖宗A有两个儿子B、C,B与C分别有三个儿子D、E、F及G、H、I,而D与G分别又有一个儿子J及K。 这样的家庭关系可以用如下树形图5.2表示。 例3设有28盏灯,拟共用一个电源插座.问需用多少块具有四插座的插线板. 解: 将四叉树的每个分枝点看作是具有四插座的接线板,树也看作是电灯,则有(4-1)×i=28-1,i=9,所以需要九块具有四插座的接线板。 例4假设有一台计算机,它有一条加法指令,可计算三个树的和。 如果要计算九个数的和,至少要执行几次家发指令。 解: 若把这就个数看作是完全三叉树的九片叶子,则有(3-1)×i=9-1,i=4。 所以需要之心四次加法指令。 例5如图5(a)中给出了一个连通图,求此图的生成树。 解: 求图5(a)的生成树过程可用图5(b)到图5(e)表示。 例6绘出公式(P∨(¬P∧Q))∧((¬P∨Q)∧¬R)的根树表示。 例7在一棵有2个结点,次数为2。 4个结点次数为3。 其余结点都是叶的无向树中,共有几片叶子。 解: 设X为其余结点。 其中n=2+4+X,m=n-1=X+5。 由握手定理与结点和边的关系2×2+4×3+X×1=2×(X+5)。 解得X=6。 例8构造带权3、4、7、8、10、12的最优二元树。 解: 这样的最优二元树的权为 w(T)=3×4+4×4+7×3+8×2+10×2+12×2=109 构造过程如图5.8所示。 参考文献: 1.卜月华著,《图论及其应用》,南京: 东南大学出版社,2000。 2.左孝凌等著,《离散数学》,上海: 上海科学技术文献出版社,2001。 3.徐洁磬著,《离散数学导论》,北京: 高等教育出版社,2007。
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