七年级数学下册45利用三角形全等测距离习题新版北师大版.docx

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七年级数学下册45利用三角形全等测距离习题新版北师大版

《利用三角形全等测距离》

一、选择题

1．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上，如图，可以得到△EDC≌△ABC，所以ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是（　　）

A．SASB．ASAC．SSSD．HL

2．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：

根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（　　）

A．SASB．ASAC．AASD．SSS

3．如图：

要测河岸相对两点A、B间距离，先从B出发与AB成90°角方向，向前走50米到C立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为17米．这一作法的理论依据是（　　）

A．SSSB．SASC．ASAD．AAS

4．如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=AD=5.2km，CB=CD=5km，村庄C到公路l1的距离为4km，则C村到公路l2的距离是（　　）

A．3kmB．4kmC．5kmD．5.2km

5．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（　　）

A．POB．PQC．MOD．MQ

C．∠B=∠C，∠BAD=∠CADD．∠B=∠C，BD=DC

6．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（　　）

A．SASB．ASAC．SSSD．AAS

二、填空题

7．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中点，也是BE的中点，若DE=20米，则AB=　　．

8．如图，在东西走向的铁路上有A、B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A、B的正北分别有C、D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C、D到E的距离相等，则E站应建在距A站　　千米的地方．

9．“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道∠DEH=∠DFH，小明是通过全等三角形的识别得到的结论，请问小明用的识别方法是　　（用字母表示）．

10．如图1所示的折叠凳．图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30cm，依据是　　．

三、解答题

11．如图，A、B两点分别位于一个假山两边，请你利用全等三角形的知识设计一种测量A、B间距离的方案，并说明其中的道理．

（1）测量方案：

（2）理由：

12．小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？

13．如图所示，在铁路线CD同侧有两个村庄A，B，它们到铁路线的距离分别是15km和10km，作AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且CD=25，现在要在铁路旁建一个农副产品收购站E，使A，B两村庄到收购站的距离相等，用你学过的知识，通过计算，确定点E的位置．

14．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：

①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；

②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；

③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；

④测得DE的长为5米．

求：

（1）河的宽度是多少米？

（2）请你证明他们做法的正确性．

15．如图，点D为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，DA，DB为海岸线．一轮船离开码头，计划沿∠ADB的角平分线航行，在航行途中C点处，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等．试问：

轮船航行是否偏离指定航线？

请说明理由．

参考答案

一、选择题

1．答案：

B

解析：

【解答】∵AB⊥BF，DE⊥BF，

∴∠ABC=∠EDC=90°，

在△EDC和△ABC中，

，

∴△EDC≌△ABC（ASA）．

故选B．

【分析】结合图形根据三角形全等的判定方法解答．

2．答案：

D

解析：

【解答】在△ADC和△ABC中，

，

∴△ADC≌△ABC（SSS），

∴∠DAC=∠BAC，

即∠QAE=∠PAE．

故选：

D．

【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．

3．答案：

C

解析：

【解答】∵先从B处出发与AB成90°角方向，

∴∠ABC=90°，

在△ABC和△EDC中，

∴△ABC≌△EDC（ASA），

∴AB=DE，

∵沿DE方向再走17米，到达E处，即DE=17

∴AB=17．

故选：

C．

【分析】根据已知条件求证△ABC≌△EDC，利用其对应边相等的性质即可求得AB．

4．答案：

B

解析：

【解答】连接AC，

在△ADC和△ABC中

，

∴△ADC≌△ABC（SSS），

∴∠DAC=∠BAC，

∴C到l1与C到l2的距离相等，都为4km．

故选：

B．

【分析】利用已知得出△ADC≌△ABC（SSS），进而利用角平分线的性质得出答案．

5．答案：

B

解析：

【解答】要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长，只需求得线段PQ的长，

故选：

B．

【分析】利用全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长，只需求得其对应边PQ的长，据此可以得到答案．

6．答案：

A

解析：

【解答】∵O是AA′、BB′的中点，

∴AO=A′O，BO=B′O，

在△OAB和△OA′B′中

，

∴△OAB≌△OA′B′（SAS），

故选：

A．

【分析】由O是AA′、BB′的中点，可得AO=A′O，BO=B′O，再有∠AOA′=∠BOB′，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OA′B′．

二、填空题

7．答案：

20米

解析：

【解答】∵点C是AD的中点，也是BE的中点，

∴AC=DC，BC=EC，

∵在△ACB和△DCE中，

，

∴△ACB≌△DCE（SAS），

∴DE=AB=20米

【分析】根据题目中的条件可证明△ACB≌△DCE，再根据全等三角形的性质可得AB=DE，进而得到答案．

8．答案：

12

解析：

【解答】设AE=x千米，则BE=（36﹣x）千米，

在Rt△AEC中，CE2=AE2+AC2=x2+242，

在Rt△BED中，DE2=BE2+BD2=（36﹣x）2+122，

∵CE=ED，

∴x2+242=（36﹣x）2+122，解得x=12，

所以E站应建在距A站12千米的地方，能使蔬菜基地C、D到E的距离相等．

【分析】设AE=x千米，则BE=（36﹣x）千米，分别在Rt△AEC和Rt△BED中，利用勾股定理表示出CE和ED，然后通过CE=ED建立方程，解方程即可．

9．答案：

SSS．

解析：

【解答】证明：

∵在△DEH和△DFH中

，

∴△DEH≌△DFH（SSS），

∴∠DEH=∠DFH

【分析】根据题目中的条件DE=DF，EH=FH，再加上公共边DH=DH，可利用SSS证明△DEH≌△DFH，再根据全等三角形的性质可得∠DEH=∠DFH．

10．答案：

全等三角形对应边相等.

解析：

【解答】∵O是AB、CD的中点，

∴OA=OB，OC=OD，

在△AOD和△BOC中，

，

∴△AOD≌△BOC（SAS），

∴CB=AD，

∵AD=30cm，

∴CB=30cm．

所以，依据是全等三角形对应边相等．

【分析】根据中点定义求出OA=OB，OC=OD，然后利用“边角边”证明△AOD和△BOC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．

三、解答题

11．答案：

见解答过程．

解析：

【解答】

（1）测量方案：

先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至E，BC至D，使EC=AC，DC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；

（2）理由：

在△EDC和△ABC中，

，

∴△EDC≌△ABC（SAS），

∴ED=AB（全等三角形对应边相等），

即DE的距离即为AB的长．

【分析】

（1）先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至E，BC至D，使EC=AC，DC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；

（2）利用SAS证明△EDC≌△ABC，根据全等三角形的对应边相等得到ED=AB．

12．答案：

楼高AB是26米．

解析：

【解答】∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，

∴∠DCP=∠APB=54°，

在△CPD和△PAB中

∵

，

∴△CPD≌△PAB（ASA），

∴DP=AB，

∵DB=36，PB=10，

∴AB=36﹣10=26（m），

答：

楼高AB是26米．

【分析】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB=DP=DB﹣PB求出即可．

13．答案：

E点在距离C点10km处．

解析：

【解答】设CE=xkm，则DE=（25﹣x）km，

∵AC⊥CD，BD⊥CD，

∴△ACE和△BDE都是直角三角形，

在Rt△ACE中，AE2=152+x2，

在Rt△BDE中，BE2=102+（25﹣x）2，

∵AE=BE，

∴152+x2=102+（25﹣x）2，

解得：

x=10，

∴E点在距离C点10km处

【分析】产品收购站E，使得A、B两村到E站的距离相等，在Rt△DBE和Rt△CAE中，设出CE的长，可将AE和BE的长表示出来，列出等式进行求解．

14．答案：

见解答过程．

解析：

【解答】

（1）解：

河的宽度是5m；

（2）证明：

由作法知，BC=DC，∠ABC=∠EDC=90°，

在Rt△ABC和Rt△EDC中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA），

∴AB=ED，

即他们的做法是正确的．

【分析】

（1）根据全等三角形对应角相等可得AB=DE；

（2）利用“角边角”证明Rt△ABC和Rt△EDC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．

15．答案：

此时轮船没有偏离航线.

解析：

【解答】此时轮船没有偏离航线．

理由：

由题意知：

DA=DB，AC=BC，

在△ADC和△BDC中，

，

∴△ADC≌△BDC（SSS），

∴∠ADC=∠BDC，

即DC为∠ADB的角平分线，

∴此时轮船没有偏离航线．

【分析】只要证明轮船与D点的连线平分∠ADB就说明轮船没有偏离航线，也就是证明∠ADC=∠BDC，证角相等，常常通过把角放到两个三角形中，利用题目条件证明这两个三角形全等，从而得出对应角相等．