高中数学必修五第三章《不等式》32一元二次不等式及其解法 第2课时.docx
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高中数学必修五第三章《不等式》32一元二次不等式及其解法第2课时
第2课时 一元二次不等式及其解法
学习目标
1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.
知识点一 分式不等式的解法
思考
>0与(x-3)(x+2)>0等价吗?
将
>0变形为(x-3)(x+2)>0,有什么好处?
答案 等价;好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式.
梳理 一般的分式不等式的同解变形法则:
(1)
>0⇔f(x)·g(x)>0;
(2)
≤0⇔
(3)
≥a⇔
≥0.
知识点二 一元二次不等式恒成立问题
思考 x-1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么?
区间[2,3]与不等式x-1>0的解集有什么关系?
答案 x-1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y=x-1在区间[2,3]上的图象恒在x轴上方.区间[2,3]内的元素一定是不等式x-1>0的解,反之不一定成立,故区间[2,3]是不等式x-1>0的解集的子集.
梳理 一般地,“不等式f(x)>0在区间[a,b]上恒成立”的几何意义是函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象全部在x轴上方.区间[a,b]是不等式f(x)>0的解集的子集.
恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题,即:
k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max;
k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min.
知识点三 含参数的一元二次不等式的解法
思考 解不等式-x2+3x-2<0第一步需要干什么?
解ax2+3x-2<0呢?
答案 解-x2+3x-2<0,第一步先把二次项系数化为正数:
x2-3x+2>0.
解ax2+3x-2<0,由于不知道a的正负,故需要分a>0,a=0,a<0讨论.
梳理 解含参数的一元二次不等式,仍可按以前的步骤,即第一步先处理二次项系数,第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根,第三步若有根,区分根的大小写出解集,若无根,结合图象确定解集是R还是∅.
在此过程中,因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时,为了确定展开讨论.
1.由于
>0等价于(x-5)(x+3)>0,故y=
与y=(x-5)(x+3)图象也相同.(×)
2.x2+1≥2x等价于(x2+1)min≥2x.(×)
3.对于ax2+3x+2>0,当a=1时与a=-1时,对应的不等式是两个独立的不等式,所以解集也是相对独立的,不能求并集.(√)
类型一 分式不等式的解法
例1 解下列不等式:
(1)
<0;
(2)
≤1.
考点 分式不等式的解法
题点 分式不等式的解法
解
(1)
<0⇔(2x-5)(x+4)<0⇔-4 , ∴原不等式的解集为 . (2)∵ ≤1,∴ -1≤0,∴ ≤0,即 ≥0. 此不等式等价于(x-4) ≥0且x- ≠0, 解得x< 或x≥4, ∴原不等式的解集为 . 反思与感悟 分式不等式的解法: 先通过移项、通分整理成标准型 >0(<0)或 ≥0(≤0),再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负,直接去分母即可. 跟踪训练1 解下列不等式. (1) ≥0; (2) >1. 考点 分式不等式的解法 题点 分式不等式的解法 解 (1)原不等式可化为 解得 ∴x<- 或x≥ , ∴原不等式的解集为 . (2)方法一 原不等式可化为 或 解得 或 ∴-3 , ∴原不等式的解集为 . 方法二 原不等式可化为 >0, 化简得 >0,即 <0,∴(2x+1)(x+3)<0, 解得-3 . ∴原不等式的解集为 . 类型二 不等式恒成立问题 例2 设函数f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围; (2)对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围. 考点 一元二次不等式恒成立问题 题点 一元二次不等式在区间上恒成立 解 (1)要使mx2-mx-1<0恒成立, 若m=0,显然-1<0,满足题意; 若m≠0,则 即-4 (2)方法一 要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立, 就要使m 2+ m-6<0在x∈[1,3]上恒成立. 令g(x)=m 2+ m-6,x∈[1,3]. 当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数, ∴g(x)max=g(3)=7m-6<0,∴0 ; 当m=0时,-6<0恒成立; 当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数, ∴g(x)max=g (1)=m-6<0,得m<6,∴m<0. 综上所述,m的取值范围是 . 方法二 当x∈[1,3]时,f(x)<-m+5恒成立, 即当x∈[1,3]时,m(x2-x+1)-6<0恒成立. ∵x2-x+1= 2+ >0, 又m(x2-x+1)-6<0,∴m< . ∵函数y= = 在[1,3]上的最小值为 ,∴只需m< 即可. 综上所述,m的取值范围是 . 引申探究 把例2 (2)改为: 对于任意m∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求实数x的取值范围. 解 f(x)<-m+5,即mx2-mx-1<-m+5, m(x2-x+1)-6<0. 设g(m)=m(x2-x+1)-6. 则g(m)是关于m的一次函数且斜率 x2-x+1= 2+ >0. ∴g(m)在[1,3]上为增函数,要使g(m)<0在[1,3]上恒成立,只需g(m)max=g(3)<0, 即3(x2-x+1)-6<0,x2-x-1<0, 方程x2-x-1=0的两根为x1= ,x2= , ∴x2-x-1<0的解集为 , 即x的取值范围为 . 反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围,通常处理方法有两种 (1)考虑能否进行参变量分离,若能,则构造关于变量的函数,转化为求函数的最大(小)值,从而建立参变量的不等式. (2)若参变量不能分离,则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数),并结合图象建立参变量的不等式求解. 跟踪训练2 当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是________. 考点 一元二次不等式恒成立问题 题点 一元二次不等式在区间上恒成立 答案 (-∞,-5] 解析 构造函数f(x)=x2+mx+4,x∈[1,2], 则f(x)在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2). 由于当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立. 则有 即 可得 所以m≤-5. 类型三 含参数的一元二次不等式 例3 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0. 考点 一元二次不等式的解法 题点 含参数的一元二次不等式的解法 解 当a<0时,不等式可化为 (x-1)>0, ∵a<0,∴ <1,∴不等式的解集为 . 当a=0时,不等式可化为-x+1<0,解集为{x|x>1}. 当a>0时,不等式可化为 (x-1)<0. 当0 >1,不等式的解集为 . 当a=1时,不等式的解集为∅. 当a>1时, <1,不等式的解集为 . 综上,当a<0时,解集为 ; 当a=0时,解集为{x|x>1}; 当0 ; 当a=1时,解集为∅; 当a>1时,解集为 . 反思与感悟 解含参数的不等式,可以按常规思路进行: 先考虑开口方向,再考虑判别式的正负,最后考虑两根的大小关系,当遇到不确定因素时再讨论. 跟踪训练3 解关于x的不等式(x-a)(x-a2)<0. 考点 一元二次不等式的解法 题点 含参数的一元二次不等式的解法 解 当a<0或a>1时,有a 当0 当a=0或a=1时,原不等式无解. 综上,当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|a 当0 当a=0或a=1时,解集为∅. 1.若不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是( ) A.m≥2B.m≤-2 C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2 考点 一元二次不等式恒成立问题 题点 一元二次不等式在R上恒成立问题 答案 D 解析 由题意,得Δ=m2-4≤0,∴-2≤m≤2. 2.不等式 ≥0的解集为( ) A.[1,2]B.(-∞,1]∪[2,+∞) C.[1,2)D.(-∞,1]∪(2,+∞) 考点 分式不等式的解法 题点 分式不等式的解法 答案 D 解析 由题意可知,不等式等价于 ∴x>2或x≤1. 3.当不等式x2+x+k>0恒成立时,k的取值范围为________. 考点 一元二次不等式恒成立问题 题点 一元二次不等式在R上恒成立问题 答案 解析 由题意知Δ<0,即1-4k<0, 得k> ,即k∈ . 4.解关于x的不等式: x2+(1-a)x-a<0. 考点 一元二次不等式的解法 题点 含参数的一元二次不等式的解法 解 方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a. 因为函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以 ①当a<-1时,原不等式的解集为{x|a ②当a=-1时,原不等式的解集为∅; ③当a>-1时,原不等式的解集为{x|-1 1.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时,分母不为零. 2.对于某些恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后,问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然,这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时,经常要用到以下简单结论 (1)若f(x)有最大值f(x)max,则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max; (2)若f(x)有最小值f(x)min,则a 3.含参数的一元二次型的不等式 在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑 (1)关于不等式类型的讨论: 二次项系数a>0,a<0,a=0. (2)关于不等式对应的方程根的讨论: 两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0). (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论: x1>x2,x1=x2,x1 一、选择题 1.不等式 ≥2的解集是( ) A. B. C. D. 考点 分式不等式的解法 题点 分式不等式的解法 答案 D 解析 ≥2⇔ ⇔ ∴不等式的解集为 . 2.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为( ) A.1B.-1 C.-3D.3 考点 一元二次不等式恒成立问题 题点 一元二次不等式在区间上恒成立 答案 C 解析 由已知可得m≤x2-4x对一切x∈(0,1]恒成立, 又f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数, ∴f(x)min=f (1)=-3, ∴m≤-3, ∴m的最大值为-3. 3.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a) <0的解集为( ) A. B. C. D. 考点 一元二次不等式的解法 题点 含参数的一元二次不等式的解法 答案 A 解析 ∵a<-1, ∴a(x-a) <0⇔(x-a)· >0. 又a<-1,∴ >a, ∴x> 或x ∴不等式的解集为 . 4.若a>0,b>0,则不等式-b< A. B. C. D. 考点 分式不等式的解法 题点 分式不等式的解法 答案 A 解析 原不等式 即 可得 故不等式的解集为 . 5.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是( ) A. B.R C. D.∅ 考点 一元二次不等式的解法 题点 含参数的一元二次不等式解法 答案 A 解析 因为Δ=a2+4m>0, 所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点, 又m>0,所以原不等式的解集不可能是B,C,D,故选A. 6.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( ) A.1 C.1 考点 一元二次不等式恒成立问题 题点 一元二次不等式在区间上恒成立 答案 B 解析 设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4), g(a)>0恒成立且a∈[-1,1] ⇔ ⇔ ⇔x<1或x>3. 7.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1小且另一根比1大,则a的取值范围是( ) A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 考点 一元二次不等式的解法 题点 根的分布 答案 C 解析 令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2, 依题意得f (1)<0,即1+a2-1+a-2<0, ∴a2+a-2<0,∴-2 8.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,2)B.(-∞,2] C.(-2,2)D.(-2,2] 考点 一元二次不等式的解法 题点 含参数的一元二次不等式的解法 答案 D 解析 当a-2≠0时, 即 解得-2 当a-2=0时,-4<0恒成立, 综上所述,-2 二、填空题 9.若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是∅,则实数a的取值范围是__________. 考点 一元二次不等式的解法 题点 含参数的一元二次不等式的解法 答案 (-1,0] 解析 当a=0时,-2≥0,解集为∅,满足题意; 当a≠0时,a满足条件
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