2001.C题基金使用计划.doc

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2001年全国大学生数学建模竞赛大专组

贾玉昌苗玉东张宁

基金使用计划问题

基金使用计划

一题目简介

某单位基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。

当前银行存款及各期国库券的利率见下表。

假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。

取款政策参考银行的现行政策。

单位基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀职工，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。

单位基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。

请你帮助单位基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：

1.只存款不购国库券；

2.可存款也可购国库券。

3．单位在基金到位后的第八（2010年）年要举行50年庆祝，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。

存款种类    

活期    

3个月    

6个月    

一年    

二年    

三年    

五年

年利率%    

0.72    

1.71    

1.89    

1.98    

2.25    

2.52    

2.79

额外条件

1实际收益利益为公布利率的80%，20%为利息税上交国库

2国库券具有2年，3年，5年的三种，其存款利率与周期的定期存款利率相同，但不交利息税。

要求

1问题的提出

2模型的假设

3符号的说明

4模型的分析

5模型以及求解

6模型的检验

7模型的优缺点

8模型的改进方向

9参考文献

C题基金使用计划

某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。

当前银行存款及各期国库券的利率见下表。

假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。

取款政策参考银行的现行政策。

校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。

校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。

请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：

1．只存款不购国库券；

2．可存款也可购国库券。

3．学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。

银行存款税后年利率（%）

国库券年利率（%）

活期

0.792

半年期

1.664

一年期

1.800

二年期

1.944

2.55

三年期

2.160

2.89

五年期

2.304

3.14

                              最佳基金使用计划模型

  摘　要：

运用基金M分成n份（M1，M2，…，Mn），M1存一年，M2存2年，…，Mn存n年．这样，对前面的（n－1）年，第i年终时M1到期，将Mi及其利息均取出来作为当年的奖金发放；而第n年，则用除去M元所剩下的钱作为第n年的奖金发放的基本思想，解决了基金的最佳使用方案问题．

　　关键词：

超限归纳法；排除定理；仓恩定理

1　问题简介

  基金使用计划

　　某校基金会有一笔数额为M元的基金，欲将其存入银行或购买国库券．当前银行存款及各期国库券的利率见表1．假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定．取款政策参考银行的现行政策．

　　校基金会计在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额．校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额．需

帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M＝5000万元，n＝10年给出具体结果：

  ①只存款不购国库券；

  ②可存款也可购国库券．

　　③学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20％．

2　模型的分析、假设与建立

2．1　模型假设

  ①每年发放的奖金额相同；

  ②取款按现行银行政策；

  ③不考虑通货膨胀及国家政策对利息结算的影响；

  ④基金在年初到位，学校当年奖金在下一年年初发放；

　　⑤国库券若提前支取，则按满年限的同期银行利率结算，且需交纳一定数额的手续费；

　　⑥到期国库券回收资金不能用于购买当年发行的国库券．

2．2　符号约定

  K——发放的奖金数；

  ri——存i年的年利率，（i＝1／2，1，2，3，5）；

　　Mi——支付第i年奖金，第1年开始所存的数额（i＝1，2，…，10）；

  U——半年活期的年利率；

2．3　模型的建立和求解

2．3．1　情况一：

只存款不购国库券

（1）分析

　　令：

支付各年奖金和本金存款方案———Mij（i＝1，…，10，i；j属于N）．

根据排队定理：

一个集一定可以依一个次序排除．

  ∴A中每行必存在上界，

  ∵A中存在一个极大组合．

　　M万元基金存入银行后，每年又拿出相同数额的本息奖励优秀师生，因为最后剩余的金额等于原来的本金，所以用这种发放的奖金总数可以看作是n年中各种利息的总和．将基金M分成n份（M1，M2，…，Mn），M1存1年，M2存2年，…，Mn存n年，对前面的（n－1）年，第i年的次年年初Mi到期，将Mi及其利息均取出来作为当年的奖金发放；而第10年，则用除去M元后所剩下的钱作为第n年的奖金发放．

  一般的模型：

关键在于如何计算每一个Ri．

　　基金在年初到位，而学校当年的奖学金一般在次年年初发放．因此，选择存活期或不可能使得到的利息最大．要尽可能提高奖金额，应选择存定期．在定期的选择上，应把尽可能多的钱存到定期长的储种上去；同时由于储种有限（只有半年、1、2、3、5年定期），这就需要对某些储种进行组合优化．即应尽可能地利用年份多的储种（如能用3年的决不用2年定期），对于M1，为了支付第一年的奖金，显然是存1年期拿到本金和利息最高，余者显然亦如此．对于特定年份的定期存款采用现有的储蓄种类的组合（如4年定期采用3年定期和1年定期组合等），要使所得的利息最大，对于该结论的说明如下所述．

  存4年定期时的有2种方案：

N为任意存款），显然，3年定期和一年定期组合最优．同理，通过计算各种组合，Mi得最大利息的存储方案如表2（Q1、Q2、Q3、Q5分别表示定期存的年数）．

  从表中可以得出以下结论：

　　①这是一个以5年为周期的方案组合，从第6年开始相当于对应的年份再加上一个5年定期，所得的存储方案最为合理．

　　②采用超限归纳法的推论，可将模型论推广到n年，则可得到如下的结论．对于一个以m年为周期的方案组合，可以从第m＋1年开始，在相应的年份上再加上一个m年定期，此时所得的方案最为合理．

（2）每1个Mi经过i年后得到的本金和利息，可用于支付奖金，下面可用反证法加以证明．

　　证明：

假设有另外一种方案使K1＞K，则显然存在某个n年期的存款到期后所得的总额R，可满足R－K1＞0（因为在我们的计算方式下，R＝K，即刚好用完）．则需要将R－K1转存入下一个存款．而按照前面我们得出的结论，要使所得的利息最大，则应尽可能地利用年份多的储种．

　　可推断，由此所得的利息要比一开始就将R－K1存一个更长时间的定期要少．与假设相矛盾．所以上述方式使得每年获得的奖金额度最大．

  （3）求解：

根据以上的讨论，可以建立以下的方程组：

  其中ri是i年期的存储的一个增长系数

　　由MATLAB编程的线性优化函数LP（LinearProgram－ming），可得K＝109．8000（万元）

　　这样，我们就可以通过把分成这10份，前9份刚好付当年的奖金，第10份刚好满足奖金和原有的基金，并得到了最优化的解（见表3）．

2．3．2　情况二：

可存款也可购国库券

　　我们对情形二外加了一个购买国库券的方式．同样把M分成M1，M2，…，Mn；存n年；且n年终将本金和利息一起取出来作为奖金发放，在外加购买国库券后，对Mn达到最大本金和利息有更多的组合及考虑因素．

　　因为国库券发行时间任意，且银行结算与发放奖金均在年终，因此得到购券基金并不能马上购券，需先存银行，国库券到期也不能马上作为奖金发掉，也需存银行．

  因经购买一次国库券，必定耽误一年的时间使它不能存整年定期，而只能存活期和半年的定期，由于半年定期的利率明显高于活期，又不影响对奖金的发放，所以这一年一定存1个半年定期和半年的活期。

由于国库券发行时间不定，一年中任何一天发行都是可能，这就涉及到数学期望的问题。

可以把一年的分为360天，如果国库券发行在上半年的第n天，则n天到期后的本金和利息为（0.792%×n>180）,这笔钱要分半年定期和活期是最优化的.先不考虑定期半年的本利率,那么（180-n）天的活期的本金和利息是[0.792%×（180-n）/360+1]m,那么这笔钱有半年里的本金和利息为[0.792%×（180-n）/360+1]×

  u=0.00396

  由上节

（2）已证了Mi经过i年的本金和利率,刚好放奖金时最优,现在讨论Mi在i年中存银行或购买国库券,或两者都有,以不同组合的所得到的利息的高低来取最优的组合.我们对每年Mi的组合都进行分析（见表4）,对于M1,M2不能考虑国库券,两年内尚不可支取用于支付奖金.对于M3根据情形可得出要使所得的利息最大,则应尽可能地利用年份多的储种这样一个结论.

从表4可知,最优的方案如表达所示.

根据以上的讨论,可以建立以下的方程组:

ro/2）（1+u）=k

    与上题同法,用线优化函数（lp）就解得:

  k=127.5（万元）

按照表6所述的对Mi各组达到最优化分配，并保证了所发放的奖金k达到最优值．

2．3．3　学校基金到位后的第三年的奖金比其他年度多20％

　　要使得基金到位后第3年的奖金比其他年度多20％，问题3与问题1和问题2的情形类同．可分为只存银行与既存银行又买国库券两种情形．将情形一的（3）式改成

其余保持不变．

  得最优解，K＝107．53（万元）

　　其本金收益计算于见表7．

将情形二的（3）式改成M3×（1＋r3）＝1．2×K；其余保持不变．

  得最优解：

K＝124．8（万元）

　　其本金收益见表8．

3　模型的分析和改进

　　情形一，我们利用超限归纳法及其推论，对结论2给出了一个完整的说明，从而对下述定理的证明及推广也起了很大的作用，该方法使得数学模型大为简化．但情形一中，我们所考虑的是大大简化了的模型，要考虑各方面因素，不会影响该模型，我们只需对原方程中加入一些参数，思路不变．

　　例如：

不假设学校一年发两次奖金．对于该题，我们需要考虑存半年期的情况，这也就是与前面最大的不同之处．

　　情形二，前面用有限枚举法，通过与情况一的比较确定更优值，其思想方法简单易行，但计算太复杂．可以利用集论中的仓恩定理对该模型求出一个上限或下限．上限，即国库券随时可购，可用情况一的求解方法，直接求解，然后由仓恩定理可得出必定存在极大元素，再对各种可能的情况进行分析，计算，从中选出极大值，这就是我们所要求的最优方案．下限，就是考虑到想买买不到的情况．

　　如存9年期的M9，假如第一年国库券发行时间是9月份，买了一个5年期的．那就是到第5年的9月份才能取出来，但第5年的国库券发行时间可能在9月份之前，也就是只有到下一个才能买到．这就有一个最坏的情况，可以求出问题的一个下限．

　　同时我们也要考虑到求每个Mi的增长率时，不能单独考虑．

　　如：

对于存9年期的M9如果考虑对M6买一个五年期的国库券时把发行时间定在第一个季度，那么对M9先买5年期的国库券也要在第一个季度．

4　结　语

　　这一思想的理论基础是《序数》中所用的“排队定理”和“仓恩定量”．

　　对第一问，通过计算我们得到最优的将基金的本金（加上去）作为奖金发放，同时我们用超限归纳法及其推论，可以证明这样的方案是最优的．而且，对于实际操作，我们给出了一个以5年为周期的规律，便于推广．对于第二问，推广了前面一种情形的思路，增加了购买国库券，其实质就是对这Mi经过i年存款和购买国库券得到的本金和利息最高．对于第三问，我们分只存款不购买国库券和购买国库券两种情况分别给出了结果．

参考文献：

［1］　大学生数学建模竞赛辅导教材［M］．长沙：

湖南教育出版社．

［2］　王丙武．实用教程［M］．北京：

中国水利水电出版社．

［3］　北京大学数学力学系几何与代数教研室代数小组．代数续论［M］．北京：

北京大学出版社．

附：