完整版第十二讲简单的三角恒等变换经典难题复习巩固文档格式.docx
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[自主解答]原式=
(丄
tan2
丄aa
tan2)(1+tana・p)n
COS2
La—
sin2
aa
sinsin
2(1sina_2、
a•+cosaacos^coS^
.a
cosasinasin22cos%2cosasina
(1+-)=~;
•
aacosaaSinasinacosasin^cos^cos?
sin扌
COS"
2
2sin
2cosa2
'
十=
sinaa
cos2
2cosa
sina4
4sin;
sina
2a2a2a
2cos十4sin2q21—2sin22十4sin;
sina_sina
变式训练:
化简1+COs—sin
1—cos—sin
0.
—cos—sin0
1+cos9-sin0
解:
原式=
20C.002
2cos22—2sin2COS22sin2Q—2sin
c099
2cosqcos-—sin㊁
c•B99
2sinsin㊁—cos^
200020002sin2—2sin2COS22cos2—2sin$cos2
2sin0sin2—cos#
2cos^cos—sin㊁
20,.20
cos^sin^cos2q+sin2q
厂=—
singcos^singcosg
sin0
考点二
三角函数式的求值
(1)已知
(2)已知
a,
八n31
0<
3<
2<
a<
n且cos(—2)=—9,
1A
3=-,tan
3€(0,n,且tan(
a2
sin(-—3=石,求cos(汁3的值.
23
1
3=—7求2a—3的值.
[自主解答]
na
v_
42
n
(1)T0<
3<
<
a<
n
3
,4<
a—2<
n,
a'
a5
•••cosg-3=丫1—sin22—3=3,
.(3%23理5
sin(—2)=A/1—cos2a—-
a+33a
.・cos2=cos[(一(:
2)一Q—
)]
=cos(-a?
cos(-—3卅sin(
3a
—psin(2
2a+349x5239
——
2一7—
=>
0,d1/3,
14一X一
I十27
.•.cos(4a3=2cos~2~—1=2x729—1=—729,
tana—3+tan3
(2)Ttana=tan[(—343]=
1—tana—3tan3
2x3
•••0<
a<
.又•••tan2
2tana33
=厂=厂=4>
°
1一tana1—2
1—3
•••0<
2a|,
3—tan2—tan34十7
•'
•tan(2-a3==31=1.
1十tan2atan3—3X-
47
—-tan3一7<
0,
■'
■2<
3<
n—n<
2^3<
•••2a—3=—34n.
变式训练:
sin2d-cos2—1sin2—cos2a1
sin4a
3求角a的值.
sin2—cos2—1sin2(—cos2—1
已知a是锐角,且
sin22a—cos2—12sin空a—C0S?
2a+2cos2a—1—2cos22a+2cos2a1—cos2a
2sin2acos2a
2sin2a・cos2asin2a
2sin2a・cos2
2sin2asina
==tar
2sinacosacosa
由已知可得tan=v3,又Ta是锐角.
…a=3.
(1)求f(x)的最小正周期;
y=g(x)的最大值.
⑵若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求当x€[0,
nnnnn■3n3n—nn
[自主解答]
(1)f(x)=si“4xcos6—cos&
xsin©
—cos&
x=三sin^x—qco^x=,3sim^x—§
),
故f(x)的最小正周期为T=6=8.
4
⑵在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于x=1的对称点为(2—x,g(x)).
由题设条件,点(2—x,g(x))在y=f(x)的图象上,
*-3)=3cos(n<
+p.
•g(x)=f(2—x)=,3si门[彳2—x)—扌]=,3sin(
当0<
xw-时,
n,nn,2n
34x十33.
•••当x=0时,即
g(x)max='
3COS§
:
思考:
将本例
(2)中“直线x=1对称”改为“坐标,原点对称”,如何求解?
解:
设x,y为y=gx图象上的任意一点,则x,y
关于原点的对称点为一x,—y,
即g(x)=,3sin(n<
+扌)
又•••0wxw—
unn2•••3w4x+3w3n
•••2w3sin(4X+n)w3,
•g(x)的最大值为.3.
已知集合P={x|x2-条汁专w0},函数f(x)=4sin2(扌+x)—2p"
3cos2x+t(x€P)最小值为3.
(1)求t的值;
⑵若不等式2+m<
f(x)在x€P上恒成立,求实数m的取值范围.
(1)因为f(x)=2[1—cos(2+2x)]—2.3cos2x+1=2sin2x—2,3cos2x+2+1=4sin(2x-£
)+2+t,
32
由P={x|x2—4nx8w0},可得4wxw2,
2n1
所以6w2x—3w才,则有wsin(2x—3)w1.
因为函数f(x)=4sin2(4+x)—2.3cos2x+t(x€P)的最小值为3,所以4Xj+2+t=3,解得t=—1.
⑵因为2+m<
f(x)在x€P上恒成立,则由已知可得2+m<
3,得m<
1,故m的取值范围是(一^,1).
[咼考考题印证]
1+tan;
42
[考题印证](2010全国新课标)若cosof—5,a是第三象限的角,则:
5a1—tan?
11
A.—1C.2D.—2
[规范解答]TCOSF—5,且a是第三象限的角,
•・sinf—厂,
cos^+sin^
aaaa
1+tan2cos?
cos^+sin?
aa2
COS2+sing
1+sina
卫aaaa
1—tan:
cos;
—sin:
cos:
22222
cos^
aaaaaa
coSc—sgcoSc+sgcos\—sin:
222222
1+sina1—5cosa4
—5
四、技法巧点:
1.三角函数式的化简
(1)三角函数式的化简原则一是统一角,二是统一函数名.能求值的求值,必要时切化弦,更易通分、约分.
(2)三角函数式化简的要求
①能求出值的应求出值;
②尽量使三角函数种数最少;
③尽量使项数最少;
④尽量使分母不含三角函数;
⑤尽量使被开方数不含三角函数.
(3)三角函数化简的方法主要是弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幕或升幕.
2.三角函数式的求值
已知三角函数式的值,求其他三角函数式的值,一般思路为:
(1)先化简所求式子;
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手);
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
五、巩固练习:
一、选择题(共6个小题,每小题5分,满分30分)
1.函数f(x)=2cos2x—3sin2x(x€R)的最小正周期和最大值分别为()
A.2n3B.2n,1
C.n,3D.n,1
解析:
由题可知,f(x)=2cos2x—3sin2x=cos2x—.3sin2x+1=2sin(g—2x)+1,所以函数f(x)的最小
正周期为T=n,最大值为3.
•n、
2.已知cos(6—a=
则sin2(a—p—cos(5;
n+a的值是(
2+“3
代3
B.
2+
3-
D.
—2+,3
解析:
sin2(
n5n
a—6)—cos(_6+
2nn
a=1—cos>
(6—a+cos(6—a=
2+*3
3.右f(x)=2tanx
-
込2
x_s
o
c
X-2
A.—3.3
C.4.3
D.-4.3
2x
1—2sin2jo
22cosx
2tanx+下=2tanx+
^sinx
4.(2011烟台模拟)已知sin(4—x)=5,则sin2x的值为()
7161419
A.25B.25C.25D.25
sin2x=cosq—2x)=cos2Q—x)=1—2sin2q—x)=1—25=25.
5.(2011东营模拟)若x是三角形的最小内角,则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域是()
B.[—1,2]C.(0,.2]D.(1,.2+2】
令t=sinx+cosx=V2sin(x+寸),而:
x+詐$n得1<
twV2.又t2=1+2sinxcosx,
f(x)=
A.[—1,+^)
由o<
xwn,
t2—i
得sinxcosx=2,得
2__4
sinxsinxcosx—sin2x‘
n3
二叼==8.
sin^
6
t2—111一-1
y=t+—=yt+1)2—1,有1<
yw-(2+1)2—1=.2+,故选D.
a—Bz、a—严kn,k€Z),贝Ucos22=()
6.已知acosa+bsina=c,acosB+bsinB=c(ab^0,
c2
A.a2+b2
a2
B.c2+b2
D.c2+b2
在平面直角坐标系中,设A(cosa,sina,B(cosB,sin3,点A(cosa,sina)
与点B(cos3,sin3是直线I:
ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点,如图,从而|AB|2=(cosa-cos3)2+(sina—sin®
2=2—2cos(a-3),又•••单位圆的圆心(0,0)到直线I
Id处1处处2—2cosa—3
的距离d=.,由平面几何知识知|OA|2—(2|AB|)2=d2,即卩1—4
2_c2
d=22,
a2+b2
2a—3c2
•••cos2”=一.
2a2+b2
二、填空题洪3小题,每小题5分,满分15分)
3n3
7.若sinCg—2x)=3,贝Vtan2x=.
丽(乎-2X)=3?
cos2x=-5,tan2x=黯
1—cos2x
1—cos2x
=4.
1+cos2x1+cos2x
&
设f(x)=1+cos2x+sinx+a2sin(x+n的最大值为2+3,则常数a=
n4
2sin2—x
1+2cosx—1n
f(x)=2cosx+sinx+a2sin(x+4)
2n—n2n
=cosx+sinx+asin(x+[)=32sin(x+?
+a
=(.2+a2)sin(x+4).
依题意有,2+a2=2+3,—a=±
3.
9.已知a=(cos2a,sina),b=(1,2sina—1),
由a•=5,得cos2a+sina(2sin
n2n
a€(2,n,若ab=2贝ytan(a+-)的值为
2a—1)=5,
2223
即1—2sin2a+2sin2a—sina=,即sina=.
55
又a€(2,力,—cosa=—5,
3n1+tana
•tana=—a,—tan(a+彳)=
441—tana
1—4_13=7.
1+3
三、解答题洪3小题,满分35分)
八3
10.已知4nVaVn,
1tana+?
tana
5sin2:
+8sin-cosr+Ucos2-—8
10「2222
.求的值.
3n
丫2sina—2
Ttana+
130,—3tan2a+10tana+3=0,
解得tana=—3或tan
a=-3.
匸3n丄
又-4VaVn,--tana=—
2aaa2a
5sin2+8sin2cosg+llcosq—8
2sina—2
1—cosa
1+cosa
+4sina+11
5,2
5—5cosa+8sina+11+11cosa—168sina+6cosa8tana+6
—2\;
2cosa—2"
』2cosa—2\2
11.(2010天津高考)在厶ABC中,
AC_cosBABcosC.
(1)证明B=C;
1n
⑵若cosA=—3,求sin(4B+3)的值.
(1)证明:
在厶ABC中,由正弦定理及已知得
sinB_cosBsinCcosC
于是sinBcosC—cosBsinC=0,即卩sin(B—C)=0,因为一nVB—Cvn,从而B—C=0.所以B=C.
⑵由A+B+C=n和
(1)得2B=n—A,1
故cos2B=cos(n-A)=—cosA=3.
又0v2Bvn于是
sin2B=
1—cog2B=
2.2
从而sin4B=2sin2Bcos2B=,cos4B=cog2B—sin22B=—9
nnn4,2—7_3
所以sin(4B+3)=sin4Bcos§
+cos4Bsm3=花—
nn
4<
a2,
2sina+sin2a
12.函数y=sina+cosa—4sinacosa+1,且=k,
1+tana
(1)把y表示成k的函数f(k);
⑵求f(k)的最大值.
2sina+sin2a2sina+2sin久cosa2sinasina+cosa
(1)'
-k====2sinacosa,
1+tana1+cosa+sina
+cosa
cosa
/•(sina+cosa)2=1+2sinacosa=1+k.
/•sina+cosa>
•'
•Sina+cosa=
1+k./.y=
1+k—2k+1.
由于k=2sinacosa=sin2a,4<
aW2,
•••0Wk<
1..-.f(k)=1+k—2k+1(0wk<
1).⑵设J+k=t,贝Vk=t2—1,1wt<
2.
•••y=t—(2t2—2)+1,
即y=—2t2+t+3(1<
t<
.2).
•••关于t的二次函数在区间[1,.2)内是减函数,•'
•t=1时,y取最大值为2.
六、反思总结:
当堂过手训练(快练五分钟,稳准建奇功!
1.已知sin10°
=a,贝Usin70°
等于
A.1—2a2
由题意可知,
B.1—2a2C.1—a2D.a2—1
=1—2a2.
2.(2011海淀模拟
)定义运算a®
b=a12—ab—b2,则
A—丄—亚
.24
.nn
sin®
cos-=
66
sinn®
cosn=sin
.2n.nn
口6—sin6cos6
:
2n
—cos2=
sin70°
=cos20°
=1—2sin210
1+.2cos2a—
3.已知角a在第一象限且cos
等于(
sina—n
代5
b.5
C.
14
5
1+cos2
原式=
a(sj+sin2
n45i1+cos2—sin2
2cos2a—2sinacosa
►Hu
贝
4一
/_k
=2x(cos-asin=2x(+£
)=乎.
4.(2010全国卷n)已知a是第二象限的角,
由题设得tan(n-2a)tan2a=—3,
由二倍角公式得
2tana
tan2=~
1—tana
3,
整理得2tana—3tan—2=0,解得tana2,或tan=—2,
记相应的三个圆的圆心分别是01,02,03,半径为r.依题知,可考虑特殊情形,从而求得相应的
值,当相应的每两个圆的公共弦都恰好等于圆半径时,易知此时有
2n4n
a1=a2=a3=2n—~~,
a1a+a3a1a+aa1+a2+a
此时cosgcos~~3~—sin§
sin~3~=cos
4nnn1
3=cos~3=cos(+13)=—cos3=—^.
6.已知向量a=(cosasina,b=(cos,sin
(1)求cos(—B的值;
B,|a—b|=
nn5
⑵右—2<
B<
a^且sin=—13,求sin
a的值.
(1)•••|a|=1,|b|=1,
•••|a—b|2=a2—2ab+b2=|a|2+|b|2—2(cos
acOssir(3asinB)
=1+1—2cos(—aB)
•••|a—b|2=(響)2=4,
、4
•・2—2cos(-aB=5,
解得cos(—B)?
(2)I—2<
a矛
•・0<
a—
由cos(
B<
n.
34
—B)5,得sin(—a
5心12
由sin书一13,得cos书13.
4123533
「•sinasin[(—3沪B]sin(—B)cos+cos(—B)sin=
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