高三理科数学一轮复习两条直线的位置关系知识讲解与题型演练Word文件下载.docx
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对任意实数a,直线y=ax-3a+2所经过的定点是( )
A.(2,3)B.(3,2)
C.(-2,3)D.(3,-2)
直线y=ax-3a+2变为a(x-3)+(2-y)=0.又a∈R,所以
解得
得定点为(3,2).故选B.
已知直线l1:
mx+y-2=0,l2:
6x+(2m-1)y-6=0,若l1∥l2,则实数m的值是( )
A.-
B.2C.-
或2D.
或-2
当m=0时,直线l1:
y-2=0,l2:
6x-y-6=0,则l1与l2不平行,同理m=
时不平行;
当m≠0且≠
时,由l1∥l2,得
=
≠
,解得m=-
,故选A.
已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=0上,且线段AB的中点为P
,则线段AB的长为________.
依题意,a=2,P(0,5),设A(x,2x),B(-2y,y),故
所以A(4,8),B(-4,2),所以|AB|=
=10.故填10.
已知点A(3,2)和B(-1,4)到直线ax+y+1=0的距离相等,则a的值为________.
由平面几何知识得AB平行于直线ax+y+1=0或AB中点(1,3)在直线ax+y+1=0上,kAB=-
,所以a=
或-4.故填
或-4.
类型一 两条直线平行、重合或相交
已知两条直线l1:
ax-y+a+2=0,l2:
ax+(a2-2)y+1=0,当a为何值时,l1与l2:
(1)相交;
(2)平行;
(3)重合.
首先由a·
(a2-2)=(-1)a,
得:
a=0或a=-1或a=1.
所以当a≠0且a≠-1且a≠1时两直线相交.
当a=0时,代入计算知l1∥l2,
当a=-1时,代入计算知l1与l2重合,
当a=1时,代入计算知l1∥l2.
因此,
(1)当a≠-1且a≠0且a≠1时,l1与l2相交;
(2)当a=0或a=1时,l1与l2平行;
(3)当a=-1时,l1与l2重合.
【点拨】由直线的一般式直接判断两条直线是否平行时,可直接应用结论:
若
,则直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0平行,这是一个很实用的结论,但要注意分母不能为零.
当实数m为何值时,三条直线l1:
3x+my-1=0,l2:
3x-2y-5=0,l3:
6x+y-5=0不能围成三角形.
当m=0时,直线l1,l2,l3可以围成三角形,要使直线l1,l2,l3不能围成三角形,则m≠0.
记l1,l2,l3三条直线的斜率分别为k1,k2,k3,
则k1=-
,k2=
,k3=-6.
若l1∥l2,或l1∥l3,则k1=k2=
,或k1=k3=-6,解得m=-2或m=
;
若三条直线交于一点,由
得
l2与l3交于点(1,-1),将点(1,-1)代入3x+my-1=0,得m=2.所以当m=±
2或
时,l1,l2,l3不能围成三角形.
类型二 两条直线垂直
(1)已知两条直线l1:
ax-by+4=0和l2:
(a-1)x+y+b=0,若l1⊥l2,且l1过点(-3,-1),求a,b的值;
(2)已知两直线l1:
x+ysinα-1=0和l2:
2x·
sinα+y+1=0,若l1⊥l2,求α的值.
(1)解法一:
由已知可得l2的斜率k2存在,且k2=1-a.
若k2=0,则1-a=0,a=1.
因为l1⊥l2,所以直线l1的斜率k1必不存在,即b=0.
又因为l1过点(-3,-1),所以-3a+4=0,得a=
(矛盾).
所以此种情况不存在,所以k2≠0,
所以k1,k2都存在.
因为k2=1-a,k1=
,l1⊥l2,
所以k1k2=-1,即
(1-a)=-1.①
又因为l1过点(-3,-1),所以-3a+b+4=0.②
联立①②可得a=2,b=2.
解法二:
因为l1⊥l2,所以a(a-1)+(-b)·
1=0,
即b=a2-a.①
又因为l1过点(-3,-1),
所以-3a+b+4=0.②
联立①②可得
经验证,符合题意.
故a=2,b=2.
(2)因为A1A2+B1B2=0是l1⊥l2的充要条件,
所以2sinα+sinα=0,即sinα=0,α=kπ,k∈Z.
所以当α=kπ,k∈Z时,l1⊥l2.
【点拨】判定两直线垂直的方法:
(1)判定两直线的斜率是否存在,若存在,可先化成斜截式,若k1·
k2=-1,则两直线垂直;
若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则两直线也垂直.
(2)直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论.设直线l1:
A1x+B1y+C1=0,l2:
A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
已知定点A(-1,3),B(4,2),以A、B为直径的端点作圆与x轴有交点C,求交点C的坐标.
以线段AB为直径的圆与x轴交点为C,则AC⊥CB.据题设条件可知AC,BC的斜率均存在.设C(x,0),则kAC=
,kBC=
,所以
·
=-1,去分母解得x=1或2.故C(1,0)或C(2,0).
类型三 对称问题
已知直线l:
2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标;
(2)直线m:
3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程;
(3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程.
(1)设A′(x,y),
则有
所以A′
.
(2)在直线m上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上.
设对称点为M′(a,b),
则
解得M′
设m与l的交点为N,则由
得N(4,3).
又因为m′经过点N(4,3),
所以由两点式得直线m′的方程为9x-46y+102=0.
(3)解法一:
在l:
2x-3y+1=0上任取两点,如P(1,1),N(4,3).
则P,N关于点A的对称点P′,N′均在直线l′上.
易知P′(-3,-5),N′(-6,-7),由两点式可得l′的方程为2x-3y-9=0.
设Q(x,y)为l′上任意一点,
则Q(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为
Q′(-2-x,-4-y),
因为Q′在直线l上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,
即2x-3y-9=0.
【点拨】
(1)关于中心对称问题的处理方法:
①若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得
②求直线关于点的对称直线的方程,其主要方法是:
在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用两直线平行,由点斜式得到所求直线方程,当然,斜率必须存在.
(2)关于轴对称问题的处理方法:
①点关于直线的对称.若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:
Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中点在l上,且连接P1P2的直线垂直于l,由方程组
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2).
②直线关于直线的对称.此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决,有两种情况:
一是已知直线与对称轴相交;
二是已知直线与对称轴平行.
如图,已知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是________.
由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0),则光线所经过的路程的长为|CD|=2
.故填2
类型四 距离问题
(1)已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是( )
A.
B.
C.8D.2
因为
,所以m=8,直线6x+8y+14=0可化为3x+4y+7=0,两平行线之间的距离d=
=2.故选D.
(2)过点P(1,2)引直线,使A(2,3)、B(4,-5)到它的距离相等,求这条直线的方程.
解法一:
因为kAB=-4,线段AB中点C(3,-1),
所以过P(1,2)与直线AB平行的直线方程为y-2=-4(x-1),即4x+y-6=0.此直线符合题意.
过P(1,2)与线段AB中点C(3,-1)的直线方程为y-2=-
(x-1),即3x+2y-7=0.此直线也是所求.
故所求直线方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0.
显然这条直线斜率存在.
设直线方程为y=kx+b,
据条件有
化简得
或
所以k=-4,b=6或k=-
,b=
所以直线方程为y=-4x+6或y=-
x+
即4x+y-6=0或3x+2y-7=0.
【点拨】距离的求法:
(1)点到直线的距离.
可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式.
(2)两平行直线间的距离.
①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离;
②利用两平行线间的距离公式d=
若动点A、B分别在直线l1:
x+y-7=0和l2:
x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为________.
依题意知AB的中点M所在直线方程为x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得M到原点的距离的最小值为
=3
.故填3
类型五 直线系及其应用
求证:
动直线(m2+2m+3)x+(1+m-m2)y+3m2+1=0(其中m∈R)恒过定点,并求出定点坐标.
证法一:
令m=0,则直线方程为3x+y+1=0,①
再令m=1时,直线方程为6x+y+4=0,②
联立①②,得方程组
将点A(-1,2)代入动直线(m2+2m+3)x+(1+m-m2)y+3m2+1=0中,
(m2+2m+3)×
(-1)+(1+m-m2)×
2+3m2+1
=(3-1-2)m2+(-2+2)m+2+1-3=0,
故点A(-1,2)的坐标恒满足动直线方程,所以动直线(m2+2m+3)x+(1+m-m2)y+3m2+1=0恒过定点A.
证法二:
将动直线方程按m降幂排列整理得,
m2(x-y+3)+m(2x+y)+3x+y+1=0,①
不论m为何实数,①式恒为零,
所以有
故动直线恒过点(-1,2).
【点拨】此题属于数学中恒成立问题,所以证法一是先赋给m两个特殊值得两条直线,那么这两条直线的交点就是那个定点,但m只是取两个特殊值,是否m∈R时都成立,则要进行代入检验;
证法二是将动直线方程按m的降幂排列,由于∀m∈R恒成立,所以得关于x,y的方程组,解此方程组便得定点坐标.直线系也称直线束,是具有某一共同性质的直线的集合.常见直线系方程有:
(1)过定点(x1,y1)的直线系:
y-y1=k(x-x1)和x=x1.
(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系:
Ax+By+λ=0(λ≠C).(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系:
Bx-Ay+λ=0.(4)过A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点的直线系:
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).
(2a+b)x+(a+b)y+a-b=0及点P(3,4).
(1)证明直线l过某定点,并求该定点的坐标;
(2)当点P到直线l的距离最大时,求直线l的方程.
(1)证明:
直线l的方程可化为
a(2x+y+1)+b(x+y-1)=0,
由
所以直线l恒过定点(-2,3).
(2)由
(1)知直线l恒过定点A(-2,3),
当直线l垂直于直线PA时,点P到直线l的距离最大.
又直线PA的斜率kPA=
,
所以直线l的斜率kl=-5.
故直线l的方程为y-3=-5(x+2),
即5x+y+7=0.
1.当直线的方程中含有字母参数时,不仅要考虑斜率存在与不存在的情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.两条直线的位置关系一般用斜率和截距来判定,但当直线方程用一般式给出且系数中有参数时,往往需要繁琐地讨论.但也可以这样避免:
设两直线为A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0,则两直线垂直的条件为
=-1,由此得A1A2+B1B2=0,但后者适用性更强,因为当B1=0或B2=0时前者不适用但后者适用.
3.运用直线系方程,有时会使解题更为简单快捷,常见的直线系方程有:
(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C);
(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R);
(3)过直线l1:
A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.
4.运用公式d=
求两平行直线间的距离时,一定要将两条直线方程中x,y的系数化成相等的系数,求两平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离,即在一条直线上任取一点(如直线与坐标轴的交点),求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离.这一方法体现了化归思想的应用.
5.对称主要分为中心对称和轴对称两种,中心对称仅用中点坐标公式即可,轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴,所以根据线段的中点坐标公式和两条直线垂直的条件即可解决.
1.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是( )
B.
C.
D.
d=
.故选D.
2.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( )
A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0
设所求直线方程为x-2y+c=0,将(1,0)代入得c=-1.所以所求直线方程为x-2y-1=0.故选A.
3.已知直线l1:
x+ay-2=0,l2:
x-ay-1=0,则“a=-1”是“l1⊥l2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
由l1⊥l2,得1×
1+a×
(-a)=0,解得a=-1或a=1,则“a=-1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件,
故选A.
4.(2015·
武汉调研)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( )
A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0
C.2x+y-3=0D.x+2y-3=0
设直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线为l2,则l2的斜率为-
,且过直线x-2y+1=0与x=1的交点(1,1),则l2的方程为y-1=-
(x-1),即x+2y-3=0.故选D.
5.若直线l:
y=kx-
与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
B.
C.
如图,直线l:
,过定点P(0,-
),又A(3,0),所以kPA=
,则直线PA的倾斜角为
,满足条件的直线l的倾斜角的范围是
.故选B.
6.(2015·
洛阳统考)已知点P(x0,y0)是直线l:
Ax+By+C=0外一点,则方程Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0表示( )
A.过点P且与l垂直的直线
B.过点P且与l平行的直线
C.不过点P且与l垂直的直线
D.不过点P且与l平行的直线
因为点P(x0,y0)不在直线Ax+By+C=0上,所以Ax0+By0+C≠0,所以直线Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0不经过点P.又直线Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0与直线l:
Ax+By+C=0平行.故选D.
7.点P为x轴上的一点,A(1,1),B(3,4),则|PA|+|PB|的最小值是________.
点A(1,1)关于x轴的对称点A′(1,-1),则|PA|+|PB|的最小值是线段A′B的长为
.故填
8.若O(0,0),A(4,-1)两点到直线ax+a2y+6=0的距离相等,则实数a=________.
由题意,得
,即4a-a2+6=±
6,解得a=0或-2或4或6.检验得a=0不合题意,所以a=-2或4或6.故填-2或4或6.
9.已知两直线l1:
x+ysinθ-1=0和l2:
2xsinθ+y+1=0,试求θ的值,使得:
(1)l1∥l2;
(2)l1⊥l2.
(1)由
=sinθ≠
,得sinθ=±
由sinθ=±
,得θ=kπ±
(k∈Z).
所以当θ=kπ±
(k∈Z)时,l1∥l2.
(2)由2sinθ+sinθ=0,得sinθ=0,θ=kπ(k∈Z),
所以当θ=kπ(k∈Z)时,l1⊥l2.
10.已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点.
(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.
(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,
所以
=3.
解得λ=2或λ=
所以l的方程为x=2或4x-3y-5=0.
(2)由
解得交点P(2,1),
如图,过P作任一直线l,设d为点A到l的距离,
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).
所以dmax=|PA|=
11.在△ABC中,BC边上的高所在直线l1的方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在的直线l2的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A、C的坐标.
如图,设C(x0,y0),由题意知l1∩l2=A,则
⇒
即A(-1,0).
又因为l1⊥BC,
所以kBC·
kl1=-1.
所以kBC=
=-2.
所以由点斜式可得BC的直线方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.
又因为l2:
y=0(x轴)是∠A的平分线,
所以B关于l2的对称点B′在直线AC上,易得B′点的坐标为(1,-2),由两点式可得直线AC的方程为x+y+1=0.
由C(x0,y0)在直线AC和BC上,可得
即C(5,-6).
x+a2y+1=0和直线l2:
(a2+1)x-by+3=0(a,b∈R).
(1)若l1∥l2,求b的取值范围;
(2)若l1⊥l2,求|ab|的最小值.
(1)因为l1∥l2,所以-b-(a2+1)a2=0,且a2+1≠3.
则b=-a2(a2+1)=-a4-a2=-
+
因为a2≥0,所以b≤0.
又因为a2+1≠3,所以b≠-6.
故b的取值范围是(-∞,-6)∪(-6,0].
(2)因为l1⊥l2,所以(a2+1)-a2b=0,
又若a=0,不满足l1⊥l2,则a≠0,
所以ab=a+
,|ab|=
≥2,当且仅当a=±
1时等号成立,因此|ab|的最小值为2.
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- 理科 数学 一轮 复习 直线 位置 关系 知识 讲解 题型 演练