电影院座位设计问题Word格式.docx

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我们可以先将离散的座位连续化，根据条件求出tg＞的表达式，作

出〉对x的变化图象以及其变化率图象，计算tg〉的最大值，找到最佳座位点，

然后再将问题离散化，对求得的最佳座位点进行优化•

针对问题・2:

—般地，人们对某件事物看法的心理变化是一个模糊的概念.

本文观众对座位是否满意也是一个模糊概念.根据模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，我们可以引入满意度函数的概念，构造一个满意度函数，通过这一函数来度量观众满意程度随其座位离屏幕的距离x的变化趋势.在倾斜角二固

定的情况下，满意度函数值随x的变化而变化，不同的x有不同的满意度.有了满意度函数这一衡量标准后，我们可以求出所有座位的平均满意度.当平均满意

度最大时，求出此时对应的倾斜角,即为所要求的平均满意度最大时地板线的倾斜角度•

3.模型的假设

1.假设座位在地板线上严格等距，且均匀分布；

2.假设观众的满意度可以用一连续函数来衡量，因而可将离散问题连续化；

3.假设视角对观众的满意度影响较大；

4.符号说明

«

当人坐下时眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角

P当人坐下时眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角

p（x,y）当人坐下时眼睛所处在坐标系中的位置坐标

F（x）:

关于距离x和倾斜角二的正切函数

G（x）■-关于距离x和倾斜角二的正切函数

M（x）满意度函数

M（人）第i个位置的满意程度

M平均满意程度

九满意度函数的相关因子（即满意因子）

五•模型的建立

1•建模的准备

1.1建立坐标系

为了建立合适的数学模型，我们先建立如下坐标系:

直线L上任意一点P（x,y）的仰角B的正切值为：

（2）

（3）

tg：

_H_c_（x_d）tg=

x

又由图可知：

tg（—）=H-c-h-（x-d）®

由

（2）（3）得:

h

2

htg一2（H-cdtg旳（1tg~）x（HydS）"

（H-cdt^）

1.2构造满意度函数

一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念.本文中观众对某个座位是否满意的看法就是一个典型的模糊概念•由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据人们通常对一件事物评价的心理变化应遵循一定规律，不妨定义观众

对座位的满意度为：

（x-xo）2

（4）

M（x）=eC0）

其中■表示观众满意度的相关因子，称为满意因子，一般为常数.x0表示最佳座位点，即最佳座位处的横坐标值.

2.模型的建立

2.1问题1的模型

座位的满意程度主要取决于视角a和仰角B.a越大越好，B太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求B不超过30°

.要确定最佳座位，必须同时兼顾视角a和仰角B.

由上文不难发现tg〉和tg1均是x的函数，这里不妨令F（x）二tg：

•，

G（x）"

gl,则可得到：

F（x）-

2（H—c+dtq8）—h（H—c+dtq日）htg日-2（H-c+dtg日）+tg0）x+-

（5）

G（x）

（6）

H-c-（X-d）tg二

由30°

，即tgl：

：

tg300得：

x_HCdtg

Tl介

tg6tg

又由题意知：

x乞D

则x的取值范围为：

H-cdtg%乞d

n

tg—tgr

从而得到求解最佳座位的数学模型：

MaxF（x）=

htg一2（H-cdtg旳（1tg~）x（HydS）-h（HYW）

st

H-cdtgv

n齐

tg6tg二

（8）

当9=10度时求得模型的解

观众的满意度随位置变化曲线如图:

4681012141618

地板线横坐标x

e=1度时观众的满意度曲线

76543210aaaaaaa

值度意满的众观

2.2问题2的模型

为了求平均满意程度最大时地板的倾角二，本文先设法求平均满意程度M.

（x-Xo）2

由（4），记第i个座位满意度为：

M（xJ=e丸（九:

>

0）（9）

则区间[d,D]上n个座位的满意度为：

aM（xi）（10）

i壬

_送M（xj

从而得座位的平均满意程度为：

M=』（11）

从而得到求解地板倾角的数学模型：

_ZM（xi）

MaxM=』（12）

其中Xi的表达式为：

Xi=d（i-1）l，l为常数，表示前后两个座位之间的距离

D-dn的表达式为：

n=[^^]1.

l

观众满意度随地板线曲率变化如图：

观众平均满意度随地板线斜率变化曲线

0.5

11.5

2.5

地板线斜率k（tge）

有图解得：

-arctan0.36=19.8

2.3问题3的模型

为了进一步提高观众的满意程度，应当使总满意程度进一步增大。

因此，禾U

用最优化模型，使得每一名观众的满意程度达到最大。

目标函数为：

Max

（X-xo）2

约束条件为：

M（xj二eC0,0：

i：

n）

从而得到结果为：

5幺

附录：

第一、二问程序：

n=0;

ku=0;

q=5;

t0=0;

s=0.3;

fork=0:

0.01:

0.37;

m=0;

forx=450:

1900;

y（x）=（x/100）*（kA2+1）/2+（（3+4.5*kF2-0.81）/（2*（x/100））-k*（3+4.5*k）

5

z（x）=0.9/y（x）;

w（x）=atan（z（x））;

f（x）=atan（（5-k*（（x/100）-4.5）-1.1）/（x/100））;

x30=（3.9+4.5*k）/（k+（3A0.5）/3）;

ifk==0.18

ifx<

=x30

t=（w（x）-q*（f（x）-pi/6））;

ift>

t0

t0=t;

x10=x/100;

end

ifx>

x30

t=（w（x）-s*q*（f（x）-pi/6））;

x11=x/100;

figure

（1）;

plot（x11,t）;

grid;

xlabel（'

地板线横坐标x'

）;

ylabel（'

观众的满意度值'

title（'

0=10度时观众的满意度曲线’）；

holdon;

m=（（w（x）-q*（f（x）-pi/6））/100）+m;

m=（（w（x）-s*q*（f（x）-pi/6））/100）+m;

figure

（2）;

plot（k,m,'

.'

xlabel（'

地板线斜率k（tg0）'

观众平均满意度’）；

title（'

观众平均满意度随地板线斜率变化曲线’）;

m>

n=m;

ku=k;

plot（x10,t0,'

*'

第三问程序:

h=1.8;

H=5;

d=4.5;

D=19;

c=1.1;

q=1；

para=O;

stepx=（D-d）/20;

stepy=（H-c）/25;

y=zeros（1,21）;

total=0;

max=0;

fori1=0:

1

i

（1）=i1;

fori2=0:

i

（2）=i2;

fori3=0:

i（3）=i3;

fori4=0:

i（4）=i4;

fori5=0:

i（5）=i5;

fori6=0:

i（6）=i6;

fori7=0:

i（7）=i7;

fori8=0:

i（8）=i8;

fori9=0:

i（9）=i9;

fori10=0:

i（10）=i10;

fori11=0:

i（11）=i11;

fori12=0:

i（12）=i12;

fori13=0:

i（13）=i13;

fori14=0:

i（14）=i14;

fori15=0:

i（15）=i15;

fori16=0:

i（16）=i16;

fori17=0:

i（17）=i17;

fori18=0:

i（18）=i18;

fori19=0:

i（19）=i19;

fori20=0:

i（20）=i20;

fori21=0:

i（21）=i21;

fori22=0:

i（22）=i22;

fori23=0:

i（23）=i23;

fort=1:

21

x（t）=（t-1）*stepx+d;

y

（1）=c;

forr=2:

t

y（t）=i（r-1）*stepy+y（t-1）;

x1=x（t）;

yi=y（t）;

de=（x1）A2+（H-h/2-y1）A2-（h/2）A2;

w（t）=（atan（（h*x1）/de）-s*q*（（atan（H-y1）/x1）-pi/6））;

ifx1<

（3A0.5）*5;

ify1<

=（5-（（3A0.5）/3）*x1）;

w（t）=（atan（（h*x1）/de）-q*（（atan（H-y1）/x1）-pi/6））;

total=total+w（t）;

para=0;

iftotal>

max

max=total;

fore=1:

20

ify（e）>

（H-h）

forv=1:

e

aa=（（v-1）*stepx+d）*（-（y（e）-（H-h））/（（e-1）*stepx+d））+（H-h）;

ifaa<

y（v）

para=1;

fors=1:

20*

ifpara〜=1;

m（s）=i（s）;

forj=1:

m0=0;

ifj>

fore=2:

j

m0=m（e-1）+m0;

yopt（j）=m0*stepy;

xopt（j）=（j-1）*stepx+d;

x3=1:

0.1:

length（yopt）-1;

y3=interp1（xopt,yopt,x3,'

cubic'

）;

p=polyfit（x3,y3,15）;

y4=polyval（p,x3）;

plot（x3,y4,'

-'

）；

holdonplot（x3,y3,xopt,yopt）;

forrr=1:

y5=y4（（rr-1）*10+1）;

plot（rr,y5）;

holdon

gridon;

plot（0,（H-h）,'

plot（0,H,'