初中一元二次方程讲解Word文档下载推荐.docx
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2是一元二次方程,且满足不等式,则的取值范围是(
且CBA...0aaa222a
1/16
类型2、一元二次方程的一般形式
(1)一元二次方程一般形式的特点是:
方程左边是按未知数降幕排列的整式,右边是0,并且
在通常情况下,左边各项系数不含有公约数。
2,后确定各项系数和常数项,一般形式中,、可以等于2)先化为一般形式:
0。
(c0axbxcba0
(3)在应用时,如果求各项系数,不要漏掉前面的符号。
题型1、化方程为一元二次方程的一般形式
2化成一元二次方程的一般形式,并写出其二次项系数,一次项系数、.把方程例62y2)(2y1)(3y常数项。
题型2、利用一元二次方程的隐含条件解题
|a|1,
(1)、为何值时,关于的方程是一元一次方程?
(2)是一元二次方程?
例7xa03)xx43(a)(a
|a|2是一元二次方程,指出其二次项系数、一次项系数及常数项。
8、方程例0)xxa8(a4
2的二次项系数、一次项系数及常数项之和为5,、若一元二次方程求的值。
例
9k0)2)(2xk8x(k3
2/16
、一元二次方程的根(解)类型3解题要点:
)根必须满足两个条件:
①未知数的值;
②必须使方程左右两边相等。
(12()用代入法验证一个数值是否为一元二次方程的解时,只要看方程左右两边是否相等即可。
题型1、判断一元二次方程的根243,20,1,,例10.下列哪些数是一元二次方程的根?
,,,3x4x312
2、由一元二次方程的根求未知数的值。
题型22的值。
的一个根是0,求例11、关于的一元.
次方程ax01x1(a)xa
26x的根,求和、已知的值。
,是关于的一元二次方程12例ax0xaxbb2x
题型3、由一元二次方程的根求代数式的值。
22ba2,求的值。
是一元二次方程例13、已知的一个根,且040axbxba1x.b22a
201022是方程14、已知的一个根,试求的值。
例a0x2010x1a2009a21a
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题型4、已知两方程有公共根,求代数式的值。
220092的值。
与有一个公共根,求例15、已知关于的方程x)qp0(pxqx)q0(pxpxq
类型4、列一元二次方程
一元二次方程一般源于实际生活中的问题,解决问题的关键是先列岀一元二次方程,列方程时需
注意的两个方面:
(1)设一个未知数,由其他未知量与这个未知数的关系,用表示其他量。
xx
(2)寻找以上各
量间的等量关系,一般为积的关系或平方差与平方和的关系,根据此关系列岀一元二次方程。
3,高为6cm,底面的长比宽多5cm16、已知一个长方体粉笔盒的体积为750cm,若设这个粉笔
盒的底例面的宽为cm,请根据题意列岀方程,并将其他为一般形式。
x
例17.用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板,随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使
得每次钉入木板的钉子的长度后一次与前一次的比值为(),已知一个钉子受击三次后恰好全部进
入木1kk04,,且第一次受击后进入木板的钉长度是钉长的板(铁钉在第二次受击后未入木板
的部分足够长)
7)1,那么符合这一事实的方程是(
设铁钉的长度为
44448444422
AD...BC11kk
1k1kkk
777777777
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接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义。
2时,的一元二次方程,常用直接开平
方法求解,当方程的根是,
(2)对于形如0p)0xpp(px。
0xX212的一元二次方程,也可以
用直接开平方法求解,方程的根为(3)对于形如)0,pmxn)0p(m(pnn,当时,。
x0pxx21
-mm)解题时,一定要注意方程有两个根。
(4、用直接开平方法解一元二次方程的必备条件
题型12例18、用直接开平方法解方程),方程有根的条件是(bc)a(x、同号
或,.D.A.B.Ca0a0,b00ba0ba题型2、用直接开平方法解一元二
次方程2、求一元二次方程的根。
例190(x)322例20、求一元二次方程的根。
)x(3(2x1)6、
因式分解法类型解题要点:
。
(1)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤可归纳为“右边化
零,左边分解,分别为零,求解”、提公因式法等,需注意一般方程的左)因式分解的常用方法:
公式法(完全平方公式、平方差公式)(2。
边是因式的积,右边等于0)不是所有的一元二次
方程都能用因式分解法求解。
(32题型1、用因式分解法解形如的一元二次方程。
)0aaxbx0(例
21、用因式分解法解下列方程:
22)
(2)(155x5x)2(x23(x2)
2、用因式分解法解形如(、为常数)的一元二次方程。
题型2ab0)bxabx(a22、用因式分解
法解下列方程。
例22)
(1)(2;
06xx1606)(x23x
5/16
23、用因式分解法解形如的一元二次方程。
题型)0c0(axabx、用因式分解法解下列方程:
例
2322);
(
(1)2;
013x66x5x106x
题型4、因式分解法在解一元二次方程中的综合应用22x22x例24、当0为何值时,代数式。
的值等于x22x
2ABC的周长。
例25、已知△ABC的两边长分别为2和3,第三边的长是方程的根,求厶010x7x
、配方法7类型解题要点:
222和直接开平方法解一元二次为依1)配方法解一元二次方程是以
完全平方公式()bb(aa2ab据。
配方法的关键是配方,把一个一元二次方程的左边配成一个
含有未知数的完全平方式,右边是一个(2非负数。
(。
3)配方法的一般步骤可以归纳为“一
除、二移、三配、四开方”22的一元二次方程题型1、用配方法解形如)4cbbxc0(0x、用配
方法解下列方程例26222)()(1Ox105x7x4x
22、用配方法解形如的一元二次方程题型2)04c0axbxc0(a,b27、用配方法解下列方程:
222)
(1);
(2;
(3)0x447x070x3x485x2x
、公式法类型8解题要点:
2acb4b22)一元二次方程的求根公式为。
(1)0(aOaxbxc)Ob4acx(—a2
(2)一元二次方程的求根公式的推导过程,就是用
配方法解一般形式的一元二次方程2的过程。
)a0axbxc0((3)由求根公式知,一元二次方
程的根是由系数、、决定的,只要确定了、、的值就可以代cacabb6/16
入求根公式求岀一元二次方程的根。
1、用公式法解系数为整数的一元二次方程。
题型2)例
28、方程的正根为(2xx4..CD.A.B633662622、用公
式法解方程:
例29x104x84x1
、用公式法解系数为分数或小数的一元二次方程题型2、用公式法解下列方程:
例3021xx212)
(1
(2);
010.2x0.3x0..323
0kx12xk
于的方程x0x21kx4x12的另一个根。
2
(1)求的值;
()求方程
9、根的判别式类型解题要点)在用根的判别式判别根的情况时,是在一元二次方程的一般形式下进行的,即先将方程化为(12的大小关系。
的形式,再确定根的判别式与
0)0ax0bxc(a22acb4bacb4b2,当2)当时,方程有两个不相等的实数根,(x04acbx21
.a2a2b22时,方程有两个相等的实数根;
当时,方程没有实数根。
0ac0b4b4acxx21.a2(3)
通过计算根的判别式的值,可以在不解方程的情况下判断方程的根的情况。
4)由方程的根情况
可以得知根的判别式的情况,进而得岀方程中未知字母的取值情况。
(、由根的判别式来确定根
的情况题型132、不解方程,判断下列关于的一元二次方程的根的情况。
例X222X454x53)(;
);
(2
(1)83xx0x)m(mx241
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2、由根的情况来确定方程中的待定系数。
题型22)例33、已知方程有两个不相等的实根,
那么的最大整数值是(k0kxk(21)x1
D.B.C.0A.1222.当取何值时,一元二次方程34例
m01)x2m2x(4m1)没有实数根。
)有两个相等的实数根;
(3
(1)有两个不相等的实数根;
(2
、根的判别式与三角形的综合应用题型32)、、分别是三角形的三边,则方程的根的情况是
(例35、已知cabO))x2ex(ab(ab•有两个不相等的实根DC•有两个相等的实根A•没
有实根B•可能有且仅有一个实根
有两个相的三边,且方程是厶ABC36•已知、、例cabOxa)c)(xc)((xa)(xb)(xb)(xABC的形
状。
等的实根,试判断厶
10、选择合适的方法解一元二次方程类型解题要点:
1)解一元二次方程的基本思路;
将二次
方程通过“降次”化为一次方程。
(2)解一元二次方程的方法口诀:
(如果缺少常数项,因式
分解没商量;
方程没有一次项,直接开方最理想;
同时不为零,因题而异择良方。
、、相等都为零,等根是零不要忘;
ccbb)在用多种
方法都可以解一元二次方程且没有特殊规定方法时,首先考虑的方法是直接开平方法和因3(式
分解法,其次再考虑配方法和求根公式法。
•用适当的方法解下列方程:
例3721222XX;
4()
(;
(1);
(2)3);
x12x14)x7)(xx78(25x(61)”_28
例38、我们已经学习了一元二次方程的四种解法:
因式分解法、直接开平方法、配方法和公式
法,请选择你认为适当的方法解下列方程:
22224));
((1();
(2);
34x01x3x02xxx531x()
类型11、一元二次方程的实际应用
例39、金鑫商店1月份的利润是2500元,3月份的利润为3000元,这两个月的利润平均月增长
率是多少?
(精确到0.1%)
2的长方形活动场地,准备一边靠墙,其余三边、明月兔业养殖厂在兔舍外面开辟了一个面积为
20m例40利用长14m的旧围栏,已知墙面长6m,问:
围成长方形的长和宽各是多少?
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23.3实践与探索
类型12、一元二次方程与生活实践解题要点:
(1)用一元二次方程解决实际问题的一般步骤可归纳为“审、设、列、解、验、答”。
(2)在解决实际问题时有几个重要环节:
①完整、准确地审清题意;
②提取问题中的等量关系;
③正确地求解方程并检验解的合理性。
题型1、平均增长率(降低率)问题
例41、义乌市是一个“车轮上的城市”,截止2007年底全市汽车拥有量为114508辆,已知2005年底全市汽车拥有量为72983辆,请解答如下问题:
(1)2005年底至2007年底义乌市汽车拥有量的年平均增长率是多少?
(结果精确到0.1%)
(2)为保护城市环境,要求义乌市到2009年底汽车拥有量不超过158000辆,据估计从2007
年底起,此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的4%,那么每年新增汽车数量最多不超
过多少辆?
(假定每年新增汽车数量相同,结果精确到个位)。
题型2、商品经营策略问题
例42、某商店如果将货价为8元的商品按每件10元售出,每天可销售200件,现采用提高售价,尽可能减少进货量的方法增加利润,如果这种商品每件涨0.5元,其销售量就会减少10件,那么,将售价定为多少元时,才能使所赚利润为640元?
题型3、利率问题
例43、李先生将10000元存入银行一年,到期后取出2000元购买彩电,剩余8000元和利息又按一年定期存入银行,若存款的年利率不变,则到期后本息和是8410元,试求不计利息税时这种存款的年利率。
(精确到0.01%).
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5m,例44、用12m
、面积问题题型42那么此时长方形的长是多少?
宽)如果长方形的面积为
长的一根铁丝围成长方形,(122)能围成的长方)能否围成面积是10m3是多少?
如果面积是8m
、根与系数的关系类型13解题要点:
在根与系数的关系中包含的两个条件和两个结论:
2)
两个条件:
①方程是一元二次方程,即二次项系数;
②方程有实数根,即;
(10b4acOab2;
②
的两个根,则①
(2)两个结论:
若、是一元二次方程xx)0(aOaxbxcxx2121-ac。
xx2i
a、不解方程,求根与系数的关系。
题型1例45、不解方程,检验以下方程的解是否正确。
252522)x,4x8x10(x);
((12))71,x(x6x70x2121,,22
例46、不解方程,求岀方程的两根之和与两根积;
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题型2、不解方程,求含有方程两根的代数式的值。
2的两根分别为、,不解方程求下列各代数式的值。
47、设方程例0xx312xx211122
(3)
(1))3xx3)((xX2121.xx21
题型3、利用根与系数的关系求字母的值。
2的一个根为,则=例48、若一元二次方程。
p30pxx3
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、根据要求构造一元二次方程解题题型4,,试求作一个一元二次方程,使此方程的两根分别为、
50例、已知xx3xx2322121
例51、已知两个数的和为,积为12,求这两个数题型5、根与系数关系的综合问题
52x0)4(a1)3x(a5x
22的两个实数根分别是一个直角三角形的两、已知关于的一元二次方程例
条直角边,该直角三角形的周长是30,求此三角形的面积。
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全章总结
类型14、数学思想方法
(1)转化思想是把复杂的问题变为简单的问题,把难的问题变为容易的问题,把未知的知识变为已知的知识来解决,本章把高次方程降次为一元二次方程或一元一次方程来求解,这就是转化思想在解方程中的应用。
(2)数学建模思想是指在解决实际问题时,通过对已知条件和未知条件的分析,提炼出实际问题与数学知识的联系,将其转化为相应的数学问题,从数学角度解决问题,它可以化难为易,化抽象为具体地解决实际问题。
(3)分类讨论思想是一种常见的数学思想方法,具体地说,就是把包含多种可能情况的问题,按照某一标准分成若干类,然后对每一类分别进行解决,从而达到解决整个问题的目的,即“化整为零,各个击破”。
题型1、转化思想
4253、解方程:
例05xx6
例54、数学建模思想
2,因为准、在某市实施棚户区改造过程中,某工程队承包了一项拆迁工程,原计划每天拆迁1250m例542。
1440m,从第二天开始,该工程队加快了拆迁速度,第三天拆迁了备不足,第一天少拆迁了20%
(1)求该工程队第一天拆迁的面积。
(2)若该工程队第二天、第三天每天拆迁的面积比前一天增加的百分数相同,求这个百
分数。
题型3、分类讨论思想
2的两个实数的一元二次方程AC的长是关于.已知△ABC的两边AB、55例xO)(k1(2k1)xkx
根,第三边BC的长为5。
(1)为何值时,
△ABC是以BC为斜边的直角三角形?
k
(2)为何值时,△ABC
是等腰三角形?
并求△
ABC的周长。
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类型15、一题多解
256、分别用三种方法解一元二次方程例O166xx
类型16、判断说理题
2abab是关于的一元二次方程,求、57、若的值,下面是两位同学的解法。
axO13xxb2ab2a1甲:
根据题意,得,解得ab1bO2ab22ab1a1a1乙:
根据题意,得,或,解方程组得或,ab1ab2b1bO你认为上述两位同学的解法是否正
确?
为什么?
如果都不正确,请给出正确的解法。
类型17、定义新运算题
例58、若规定两实数、通过运算*得,即,例如a486644ababa*b42b2*
(1)求3*5
的值。
x值。
中的2)若(02*4**xx2xxa的值。
取何值时,总有)若无论(3,求xa*x
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18、学科间综合题类型12是竖直上抛时59、已知竖直上抛的物体离地面的高度和抛岀时间的关
系是,例vsh(m))t(gtthvoo_22m/s的瞬间速度,常数取10m/s,问:
,设g30vo25m?
(1)隔
多长时间物体的高度是
2)多长时间以后物体回到原处?
(3)隔多长时间物体达到最大高度,最大高度是多少?
(
、阅读理解题类型191260、按下列范例提供的方法解方程例049x72acb4b22为的根
根为,方程的一元二次方程x0)byacy0bxaxc0(a.a224bacby22的根,的根,只要
求岀,显然有,因为要求y0ac0(a0)byyaxbxcx2a再除以就可以了。
a12范例:
解方程
0x872x.612,解得解:
解方程,6yy2072y8y216121612的两根为,.••方程
872xxx0x21127236726
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类型20、规律探究题
例61、已知下列(为正整数)个关于的一元二次方程:
xnn2①01X2②
02xx2③032xx……
2O0nx1(n)xn;
(1)请解上述一元二次方程①②③……on
(2)请你指岀这个方程的根
有什么共同特点,写出一条即可。
n
类型21、图形拼割题
例62、如图,在长为10cm,宽为8cm的矩形四个角上截去四个全等的小正方形,使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,求所截去的小正方形的边长。
类型22、方案设计题:
例63、在一块长16米,宽12米的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半,你能给出设计方案吗?
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