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-2∠BCD.
解法同
(2).
4、如图,有一面积是150平方米的长方形鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18米),墙对面有一个2米宽的门,另三边用竹篱笆围城,篱笆总长33米,求:
鸡场的长和宽各为多少米?
5、如图所示,一段街道的两边缘所在直线分别为AB,PQ,并且AB∥PQ.建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M,交PQ于点N.小亮从胜利街的A处,沿着AB方向前进,小明一直站在点P的位置等候小亮.
(1)请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线,以及此时小亮所在位置(用点C标出);
(2)已知:
MN=20
m,MD=8
m,PN=24
m,求
(1)中的点C到胜利街口的距离CM.
6、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=BC=4,AD=2.点M为边BC的中点,以M为顶点作∠EMF=∠B,射线ME交边AB于点E,射线MF交边CD于点F,连接EF.
(1)指出图中所有与△BEM相似的三角形,并加以证明;
(2)设BE=x,CF=y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;
(3)如果△BEM是以BM为腰的等腰三角形,求EF的长.
(1)由已知∠EMF=∠B,利用外角的性质证明∠CMF=∠BEM,由等腰三角形的性质,得∠B=∠C,证明△BME∽△CFM;
再利用相似比及∠EMF=∠B,证明△BME∽△MEF;
(2)根据△CMF∽△BEM得BEBM=CMCF,然后代入关于x和y的关系式求出可.
(3)当△BME是以BM为腰的等腰三角形时,①若BE=BM=2,同理CM=CF=2,可知E、F分别是AB、DC的中点,由梯形中位线定理求解,②若BM=ME=2,过M作MH⊥BE于H,过A作AG⊥BC于G,利用相似比求解.
7、如图1,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=4.
(1)在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,求D,E两点的坐标;
(2)如图2,若AE上有一动点P(不与A,E重合)自A点沿AE方向E点匀速运动,运动的速度为每秒1个单位长度,设运动的时间为t秒(0<t<5),过P点作ED的平行线交AD于点M,过点M作AE平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式;
当t取何值时,s有最大值,最大值是多少?
(3)在
(2)的条件下,当t为何值时,以A,M,E为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应的时刻点M的坐标?
(1)根据折叠的性质可知:
AE=OA,OD=DE,那么可在直角三角形ABE中,用勾股定理求出BE的长,进而可求出CE的长,也就得出了E点的坐标.
在直角三角形CDE中,CE长已经求出,CD=OC-OD=4-OD,DE=OD,用勾股定理即可求出OD的长,也就求出了D点的坐标.
(2)很显然四边形PMNE是个矩形,可用时间t表示出AP,PE的长,然后根据相似三角形APM和AED求出PM的长,进而可根据矩形的面积公式得出S,t的函数关系式,根据函数的性质即可得出S的最大值及对应的t的值.
(3)本题要分两种情况进行讨论:
①ME=MA时,此时MP为三角形ADE的中位线,那么AP=AE2,据此可求出t的值,过M作MF⊥OA于F,那么MF也是三角形AOD的中位线,M点的横坐标为A点横坐标的一半,纵坐标为D点纵坐标的一半.由此可求出M的坐标.
②当MA=AE时,先在直角三角形OAD中求出斜边AD的长,然后根据相似三角形AMP和ADE来求出AP,MP的长,也就能求出t的值.根据折叠的性质,此时AF=AP,MF=MP,也就求出了M的坐标.
8、已知:
如图,△ABC中,∠ABC=45°
,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连接DH与BE相交于点G.
(1)求证:
BF=AC;
(2)求证:
CE=12BF;
(3)CE与BG的大小关系如何?
试证明你的结论.
9、某单位于“三•八”妇女节期间组织女职工到温泉“星星竹海”观光旅游.下面是邻队与旅行社导游收费标准的一段对话:
邻队:
组团去“星星竹海”旅游每人收费是多少?
导游:
如果人数不超过25人,人均旅游费用为100元.
超过25人怎样优惠呢?
如果超过25人,每增加1人,人均旅游费用降低2元,但人均旅游费用不得低于70元.
该单位按旅行社的收费标准组团浏览“星星竹海”结束后,共支付给旅行社2700元.
请你根据上述信息,求该单位这次到“星星竹海”观光旅游的共有多少人?
10、如图,在直线l上摆放有△ABC和直角梯形DEFG,且CD=6cm;
在△ABC中:
∠C=90°
,∠A=30°
,AB=4cm;
在直角梯形DEFG中:
EF∥DG,∠DGF=90°
,DG=6cm,DE=4cm,∠EDG=60度.解答下列问题:
(1)旋转:
将△ABC绕点C顺时针方向旋转90°
,请你在图中作出旋转后的对应图形△A1B1C,并求出AB1的长度;
(2)翻折:
将△A1B1C沿过点B1且与直线l垂直的直线翻折,得到翻折后的对应图形△A2B1C1,试判定四边形A2B1DE的形状并说明理由;
(3)平移:
将△A2B1C1沿直线l向右平移至△A3B2C2,若设平移的距离为x,△A3B2C2与直角梯形重叠部分的面积为y,当y等于△ABC面积的一半时,x的值是多少.
(1)根据旋转的定义得到CB′=CB,在直角三角形ABC中,根据三角函数就可以求出BC的长,即CB′的长,就可以求出AB1的长度;
(2)四边形A2B1DE是平形四边形,可以证明A2B与DE平行且相等.
(3)y等于△ABC面积的一半时有两种情况,一种是当A3B2与DE相交时,即当2≤x<4时:
根据A3B2∥DE,得到则重合部分的三角形与△A3B2C2相似,且面积的比等于相似比,就可以求出在直线L上重合部分的长度,得到C1C2的长度.从而求出x的值.
另外一种情况是当A3B2与FG相交时,同样,根据三角形相似就可以求出C1C2的长度.从而求出x的值.
解:
(1)在△ABC中由已知得:
BC=2,AC=AB×
cos30°
=23,
∴AB1=AC+CB1=AC+CB=2+23.
(2)四边形A2B1DE为平行四边形.理由如下:
∵∠EDG=60°
,∠A2B1C1=∠A1B1C=∠ABC=60°
,
∴A2B1∥DE,
又∵A2B1=A1B1=AB=4,DE=4,
∴A2B1=DE,故结论成立.
(3)由题意可知:
S△ABC=12×
2×
23=23,①当0≤x<22或x≥103时,y=0,
此时重叠部分的面积不会等于△ABC的面积的一半.
②当2≤x<4时,直角边B2C2与等腰梯形的下底边DG重叠的长度为DC2=C1C2-DC1=(x-2)cm,
则y=12(x-2)3(x-2)=32(x-2)2,当y=12S△ABC=3时,即32(x-2)2=3
解得x=2-2(舍)或x=2+2.∴当x=2+2时,重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.
③当4≤x<8时,△A3B2C2完全与等腰梯形重叠,即y=23.
④当8≤x<10时,B2G=B2C2-GC2=2-(x-8)=10-x
则y=12(10-x)•3(10-x)=32(10-x)2,
当y=12S△ABC=3时,即32(10-x)2=3,
解得x=10-2,或x=10+2(舍去).
∴当x=10+2时,重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.
由以上讨论知,当x=2+2或x=10+2时,重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.
11、如图,某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,为节约资源,现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形(阴影部分)铁片备用,当要求截取的矩形两边长的比x:
y=4:
5时,矩形的面积是多少?
12、如下图,在矩形ABCD中,AB=12
cm,BC=6
cm.点P沿AB边从点A开始向点B以2
cm/s的速度移动;
点Q沿DA边从点D开始向点A以1
cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6)那么:
(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?
(2)求四边形QAPC的面积,提出一个与计算结果有关的结论;
(3)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
13、已知:
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°
.点E是DC的中点,过点E作DC的垂线交AB于点P,交CB的延长线于点M.点F在线段ME上,且满足CF=AD,MF=MA.
(1)若∠MFC=120°
,求证:
AM=2MB;
∠MPB=90°
-12∠FCM.
14、如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥CD,AC=AB,∠DAC=30度.点E、F是梯形ABCD外的两点,且∠EAB=∠FCB,∠ABC=∠FBE,∠CEB=30°
.
BE=BF;
(2)若CE=5,BF=4,求线段AE的长.
15、已知:
P是正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥DC,PF⊥BC,E、F分别为垂足.
求证:
AP=EF.
1、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,EA⊥AD,M是AE上一点,F、G分别是AB、CM的中点,且∠BAE=∠MCE,∠MBE=45°
,则给出以下五个结论:
①AB=CM;
②AE⊥BC;
③∠BMC=90°
;
④EF=EG;
⑤△BMC是等腰直角三角形.上述结论中始终正确的序号有
2、如图,四边形ABCD为一梯形纸片,AB∥CD,AD=BC.翻折纸片ABCD,使点A与点C重合,折痕为EF.连接CE、CF、BD,AC、BD的交点为O,若CE⊥AB,AB=7,CD=3.下列结论中:
①AC=BD,②EF∥BD,③S四边形AECF=AC•EF,④EF=2527,⑤连接F0;
则F0∥AB.正确的序号是
3、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=4,BC=6,将腰CD以D为中心顺时针旋转90°
至ED,过点D作DM⊥BC于M,过点E作EN⊥AD延长线于N,连接AE、CE,则△AED的面积为
4、如图,正方形ABCD,点P是对角线AC上一点,连接BP,过P作PQ⊥BP,PQ交CD于Q,若AP=22,CQ=5,则正方形ABCD的面积为
5、如图,正方形ABCD中,在AD的延长线上取点E,F,使DE=AD,DF=BD,连接BF分别交CD,CE于H,G下列结论:
①EC=2DG;
②∠GDH=∠GHD;
③S△CDG=S▭DHGE;
④图中有8个等腰三角形.其中正确的是( )
6、关于x的方程kx2+(k+2)x+k4=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根?
若存在,求出k的值;
若不存在,说明理由.
7、两个长为2cm,宽为1cm的长方形,摆放在直线l上(如图①),CE=2cm,将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角,将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度.
(1)当旋转到顶点D、H重合时,连接AG(如图②),求点D到AG的距离;
(2)当α=45°
时(如图③),求证:
四边形MHND为正方形.
8、用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°
角的三角尺与这个菱形叠合,使三角尺的60°
角的顶点与点A重合,两边分别与AB,AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时,(如图1),通过观察或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论并证明你的结论;
(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时(如图2),你在
(1)中得到的结论还成立吗?
简要说明理由.
9、凯里市某大型酒店有包房100间,在每天晚餐营业时间,每间包房收包房费100元时,包房便可全部租出;
若每间包房收费提高20元,则减少10间包房租出,若每间包房收费再提高20元,则再减少10间包房租出,以每次提高20元的这种方法变化下去.
(1)设每间包房收费提高x(元),则每间包房的收入为y1(元),但会减少y2间包房租出,请分别写出y1,y2与x之间的函数关系式.
(2)为了投资少而利润大,每间包房提高x(元)后,设酒店老板每天晚餐包房总收入为y(元),请写出y与x之间的函数关系式,求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入,并说明理由.
10、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°
,BC=16,DC=12,AD=21,动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,P、Q分别从点D、C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动,设运动时间为t(s).
(1)设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系;
(2)当t为何值时,以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?
11、某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时,欲使长方形的宽为20厘米,时钟的中心在长方形对角线的交点上,数字2在长方形的顶点上,数字3,6,9,12标在所在边的中点上,如图所示.
(1)当时针指向数字2时,时针与分针的夹角是多少度?
(2)请你在长方框上点出数字1的位置,并说明确定该位置的方法;
(3)请你在长方框上点出钟面上其余数字的位置,并写出相应的数字(说明:
要画出必要的、反映解题思路的辅助线);
(4)问长方形的长应为多少?
12、在联欢晚会上,有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上,他们在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放的最适当的位置在△ABC的
13、阅读下面的材料:
∵ax2+bx+c=0(a≠0)的根为x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a,
∴x1+x2=-2b2a=-ba,x1x2=b2-(b2-4ac)4a2=ca.
综上得,设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则有x1+x2=-ba,x1x2=ca.
请利用这一结论解决下列问题:
(1)若x2-px+q=0的两根为-1和3,求p和q的值;
(2)设方程3x2+2x-1=0的根为x1、x2,求1x1+1x2的值.
14、如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点,P异于A、D,Q是BC边上的一动点,连接AQ、DQ,过P作PE∥DQ交AQ于E,作PF∥AQ交DQ于F.
(1)请你判断△APE与△PDF的关系,并说明理由;
(2)若Q是BC的中点,当P点运动到什么位置时,四边形PEQF为菱形?
说明理由;
(3)四边形PEQF能否为矩形,为什么?
15、如图,△ABC中,∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,求证:
BE=CF.
16、如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M、N分别是边AB、BC的中点,则PM+PN的最小值是
17、在正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,Q是CD上任意一点,DP⊥AQ,交BC于点P.
(1)DQ=CP;
(2)OP⊥OQ.
18、如图,△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC=1,将△ABC绕点C逆时针旋转角α.(0°
<α<90°
)得到△A1B1C1,连接BB1.设CB1交AB于D,AlB1分别交AB、AC于E、F.
(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下,请你找出一对全等的三角形,并加以证明(△ABC与△A1B1C1全等除外);
(2)当△BB1D是等腰三角形时,求α;
(3)当α=60°
时,求BD的长.
19、已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0的一个根为0,则m的值为
20、已知关于x的二次方程(1-2k)x2-2kx-1=0有实数根,则k的取值范围是
21、若(x2+y2)2-4(x2+y2)-5=0,则x2+y2=
22、若一个等腰三角形的三边长均满足方程y2-6y+8=0,则此三角形的周长为
23、如图,已知:
在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC=4,M是边AB的中点,E、G分别是边AC、BC上的一点,∠EMG=45°
,AC与MG的延长线相交于点F.
(1)在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形,并证明其中的一对;
(2)连接结EG,当AE=3时,求EG的长.
23、如图,P是正方形ABCD内一点,在正方形ABCD外有一点E,满足∠ABE=∠CBP,BE=BP.
(1)在图中是否存在两个全等的三角形,若存在请写出这两个三角形并证明;
若不存在请说明理由;
(2)若
(1)中存在,这两个三角形通过旋转能够互相重合吗?
若重合请说出旋转的过程;
若不重合请说明理由;
(3)PB与BE有怎样的位置关系,说明理由;
(4)若PA=1,PB=2,∠APB=135°
,求AE的值.
24、已知关于x的一元二次方程:
x2-2(-a+1)x+a2-1=0有两个不相等的实数根x1,x2;
且有1x1+1x2=2,求a的值及方程两根x1,x2.
25、我市某旅行社为吸引市民组团去海南风景区旅游,推出了如下收费标准:
某单位组织员工去海南风景区旅游,共支付给旅行社旅游费用27000元,请问
(1)若有25人去旅游,则旅游费用是元;
(2)如果该单位去旅游的人数为x(x>25)人,则人均旅游费用为元;
(3)求该单位有多少人参加了这次旅游?
26、在△ABC中,∠C=Rt∠,AC=4cm,BC=5cm,点D在BC上,并且CD=3cm,现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以1cm/s的速度,沿AC向终点C移动;
点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动.过点P作PE∥BC交AD于点E,连接EQ,设动点运动时间为x秒.
(1)用含x的代数式表示AE、DE的长度;
(2)当点Q在BD(不包括点B、D)上移动时,设△EDQ的面积为y(cm2),求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)当x为何值时,△EDQ为直角三角形?
(1)可根据PE∥DC,来得出关于AE,AD,AP,AC的比例关系,AD可根据勾股定理求出,那么就能用x表示出AE的长,进而可表示出DE的长;
(2)求三角形EDQ的面积可以QD为底边,以PC为高来求,QD=BD-BQ,而BQ可根据Q的速度用时间表示出来,那么也就能用x表示出QD,而PC就是AC-AP,有了底和高,就可以根据三角形的面积公式得出关于x,y的函数关系式;
(3)因为∠ADB是钝角,因此要想使三角形EDQ是直角三角形,那么Q就必须在CD上,可分两种情况进行讨论:
①当∠EQD=90°
时,四边形EPCQ是个矩形,那么EQ=PC,DQ=BQ-BD,根据EQ∥AC可得出关于EQ,AC,DQ,DC的比例关系从而求出x的值.
②当∠DEQ=90°
时,可用PC和∠DAC的正弦值来表示出EQ,然后用相似三角形EQD和ABC,得出关于EQ,AC,DQ,AD的比例关系,从而求出x的值.
希望以上资料对你有所帮助,附励志名言3条:
1、理想的路总是为有信心的人预备着。
2、最可怕的敌人,就是没有坚强的信念。
——罗曼·
罗兰
3、人生就像爬坡,要一步一步来。
——丁玲
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