走向高考春季发行高三数学第一轮总复习 113推理与证明 新人教A版Word格式文档下载.docx
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山东实验中学期末)具有性质:
f=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:
①y=x-,②y=x+,③y=中满足“倒负”变换的函数是( )
A.①②B.②③
C.①③D.只有①
[解析] ①对于函数f(x)=x-,
∵f=-x=-=-f(x),∴①是“倒负”变换的函数,排除B;
②对于函数f(x)=x+有f=+x=f(x)不满足“倒负”变换,排除A;
③,当0<
x<
1时,>
1,
∵f(x)=x,∴f=-=-x=-f(x);
当x>
1时,0<
<
1,∵f(x)=-,
∴f==-f(x);
当x=1时,=1,
∵f(x)=0,∴f=f
(1)=0=-f(x),
∴③是满足“倒负”变换的函数,故选C.
3.如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AB=a,CD=b(a>
b).若EF∥AB,EF到CD与AB的距离之比为mn,则可推算出:
EF=,试用类比的方法,推想出下述问题的结果.在上面的梯形ABCD中,延长梯形两腰AD、BC相交于O点,设△OAB、△OCD的面积分别为S1、S2,EF∥AB,且EF到CD与AB的距离之比为mn,则△OEF的面积S0与S1、S2的关系是( )
A.S0=B.S0=
C.=D.=
[解析] 根据面积比等于相似比的平方求解.
4.(2011·
咸阳市高考模拟考试)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”,而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”.如图,可以发现,任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和,下列等式中,符合这一规律的表达式是( )
①13=3+10;
②25=9+16;
③36=15+21;
④49=18+31;
⑤64=28+36.
A.①④ B.②⑤ C.③⑤ D.②③
[解析] 这些“三角形数”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45,…且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和,很容易得到:
15+21=36,28+36=64,只有③⑤是对的.
5.设⊕是R上的一个运算,A是R的非空子集,若对任意a、b∈A,有a⊕b∈A,则称A对运算⊕封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )
A.自然数集B.整数集
C.有理数集D.无理数集
[解析] 令a=1,b=2,=,可排除A、B.
令a=,b=3,=3,可排除D,故选C.
[点评] 这是一个信息给予题,用筛选法(即排除法解)更加简便.
6.规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步,现程序设计师让机器狗以“前进3步,然后再退2步”的规律移动.如果将此机器狗放在数轴原点,面向正方向,以1步的距离为1个单位长度移动,令P(n)表示第ns时机器狗所在的位置坐标,且P(0)=0,则下列结论中正确的是( )
A.P(2012)=404B.P(2013)=404
C.P(2014)=405D.P(2015)=405
[答案] A
[解析] 显然每5s前进一个单位,且P
(1)=1,P
(2)=2,P(3)=3,P(4)=2,P(5)=1,
∴P(2012)=P(5×
402+2)=402+2=404,
P(2013)=405,P(2014)=404,P(2015)=403,故选A.
7.已知整数对排列如下:
(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),(3,3),…,按以上构造规律,第2014个数对是________.
[答案] (61,3)
[解析] 所给各数对依次为对整数2,3,4,5,…的分解,且是第一个数从小到大依次分解,2的分解有一个(1,1),3的分解有两个(1,2),(2,1),4的分解有(1,3),(2,2),(3,1),n(n≥2,n∈N)的分解有n-1个,
由≤2014得,n≤63,
∵n=63时,=1953,故第2014个数对为64的分解第61对,由(1,63),(2,62),(3,61),(4,60),…知,第61对为(61,3).
8.(2011·
湘潭五模)已知=2,=3,=4,…,若=6,(a,t均为正实数),类比以上等式,可推测a,t的值,则a+t=________.
[答案] 41
[解析] 根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为=n,所以当n=6时a=6,t=35,a+t=41.
9.(2011·
江西吉安期末)请阅读下列材料:
若两个正实数a1,a2满足a+a=1,那么a1+a2≤.证明:
构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1.因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,从而得4(a1+a2)2-8≤0,所以a1+a2≤.类比上述结论,若n个正实数满足a+a+…+a=1,你能得到的结论为________.
[答案] a1+a2+…+an≤(n∈N*)
[解析] 构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2=nx2-2(a1+a2+…+an)x+1,
∵f(x)≥0对任意实数x都成立,
∴Δ=4(a1+a2+…+an)2-4n≤0,
∵a1,a2,…,an都是正数,∴a1+a2+…+an≤.
10.设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.
(1)求证:
数列{Sn}不是等比数列;
(2)数列{Sn}是等差数列吗?
为什么?
[证明]
(1)证法一(反证法):
若{Sn}是等比数列,则S=S1S3,即
a(1+q)2=a1·
a1(1+q+q2).
∵a1≠0,∴(1+q)2=1+q+q2,∴q=0,与q≠0矛盾,故{Sn}不是等比数列.
证法二:
只需证明SnSn+2≠S.
∵Sn+1=a1+qSn,Sn+2=a1+qSn+1,
∴SnSn+2-S=Sn(a1+qSn+1)-(a1+qSn)Sn+1=a1(Sn-Sn+1)=-a1an+1≠0.
故{Sn}不是等比数列.
(2)当q=1时,{Sn}是等差数列.当q≠1时,{Sn}不是等差数列,否则由S1,S2,S3成等差数列得,2S2=S1+S3.
∴2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2).由于a1≠0,
∴2(1+q)=2+q+q2,q=q2,
∵q≠1,∴q=0,与q≠0矛盾.
能力拓展提升
11.下图为某三岔路口交通环岛的简化模型.在某高峰时段,单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示,图中x1、x2、x3分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数(假设:
单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则( )
A.x1>
x2>
x3B.x1>
x3>
x2
C.x2>
x1D.x3>
x1
[解析] ∵x1=50+(x3-55)=x3-5⇒x3>
x1,
x2=30+(x1-20)=x1+10⇒x2>
x3=30+(x2-35)=x2-5⇒x2>
x3,
∴x2>
x1,∴选C.
[点评] 抓住“同一路段上驶入与驶出的车辆数相等”这一信息是解题的关键,考查阅读理解能力.
12.(文)(2011·
泉州模拟)考察下列一组不等式:
23+53>
22·
5+2·
52,24+54>
23·
53,2
+5>
52,….将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广,使以上的不等式成为推广不等式的特例,则推广的不等式为________________________.
[答案] am+n+bm+n>
ambn+anbm(a,b>
0,a≠b,m,n>
0)
[解析] 由“23+53>
52”,“24+54>
53”,“2+5>
5”,可得推广形式的最基本的印象:
应具有“□□+□□>
□□·
□□+□□·
□□”的形式.
再分析底数间的关系,可得较细致的印象:
应具有“a□+b□>
a□·
b□+a□·
b□”的形式.
再分析指数间的关系,可得准确的推广形式:
am+n+bm+n>
0).
(理)观察等式:
sin230°
+cos260°
+sin30°
cos60°
=,sin220°
+cos250°
+sin20°
cos50°
=和sin215°
+cos245°
+sin15°
cos45°
=,…,由此得出以下推广命题,则推广不正确的是( )
A.sin2α+cos2β+sinαcosβ=
B.sin2(α-30°
)+cos2α+sin(α-30°
)cosα=
C.sin2(α-15°
)+cos2(α+15°
)+sin(α-15°
)cos(α+15°
)=
D.sin2α+cos2(α+30°
)+sinαcos(α+30°
[解析] 观察已知等式不难发现,60°
-30°
=50°
-20°
=45°
-15°
=30°
,推广后的命题应具备此关系,但A中α与β无联系,从而推断错误的命题为A.选A.
13.(文)(2011·
江苏苏州测试、南宁模拟)已知结论:
“在三边长都相等的△ABC中,若D是BC的中点,G是△ABC外接圆的圆心,则=2”.若把该结论推广到空间,则有结论:
“在六条棱长都相等的四面体ABCD中,若M是△BCD的三边中线的交点,O为四面体ABCD外接球的球心,则=________.”
[答案] 3
如图,易知球心O在线段AM上,不妨设四面体ABCD的边长为1,外接球的半径为R,则BM=×
=,
AM==,
R=,
解得R=.
于是,==3.
(理)如图所示,面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i=1,2,3,4),此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i=1,2,3,4),若====k,则(ihi)=.类比以上性质,体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i=1,2,3,4),此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i=1,2,3,4),若====k,则(iHi)的值为( )
A.B.
C.D.
[答案] B
[解析] 在平面四边形中,连接P点与各个顶点,将其分成四个小三角形,根据三角形面积公式,得
S=(a1h1+a2h2+a3h3+a4h4)
=(kh1+2kh2+3kh3+4kh4)=(ihi).
所以(ihi)=.
类似地,连接Q点与三棱锥的四个顶点,将其分成四个小三棱锥,则有
V=(S1H1+S2H2+S3H3+S4H4)
=(kH1+2kH2+3kH3+4kH4)
=(H1+2H2+3H3+4H4)=(iHi),
∴(iHi)=.
[点评] 类比推理是由特殊到特殊的推理,是两类相类似的对象之间的推理,类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性(相似性)确切地表达出来,也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚.类比推理能够为我们提供发现的思路和方向,但类比推理的结论不一定正确.
14.已知命题:
若数列{an}为等差数列,且am=a,an=b(m≠n,m、n∈N*),则am+n=;
现已知等比数列{bn}(n∈N*),bm=a,bn=b(m≠n,m、n∈N*),先类比上述结论,得出在等比数列{bn}中bn+m的表达式,再证明你所得出的结论.
[解析] 等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am,等差数列中的bn-am可以类比等比数列中的,数列中的可以类比等比数列中的,
故bm+n=.
证明如下:
设bn=b1qn-1,则
bn+m=b1qn+m-1,
∵bm=a,bn=b,∴===b·
qn(n-1)-m(m-1)=b·
q(n-m)(n+m-1),
∴=b1qn+m-1=bm+n.
15.(2011·
上海模拟)冬天,洁白的雪花飘落时非常漂亮.为研究雪花的形状,1904年,瑞典数学家科克(KochHeigeVon)把雪花理想化,得到了雪花曲线,也叫科克曲线.它的形成过程如下:
(ⅰ)将正三角形(图①)的每边三等分,并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形,然后去掉底边,得到图②;
(ⅱ)将图②的每三边等分,重复上述作图方法,得到图③;
(ⅲ)再按上述方法无限多次继续作下去,所得到的曲线就是雪花曲线.
将图①、图②、图③……中的图形依次记作M1,M2,…,Mn,…,设M1的边长为1.
记Mn的边数为an,边长bn,周长为Ln.
(1)写出a1,a2,a3;
b1,b2,b3;
(2)求an,bn,Ln.
[解析]
(1)a1=3,a2=12,a3=48,
b1=1,b2=,b3=.
(2)其边数与边长的变化规律是:
一条边变为4条边,边长为原来的,如图
∴an+1=4an,bn+1=bn.
又a1=3,∴an=3×
4n-1,
∵b1=1,∴bn=.
∴Ln=an·
bn=3×
4n-1×
=3·
n-1.
16.已知a>
b>
c,且a+b+c=0,求证:
a.
[证明] 要证<
a,
只需证b2-ac<
3a2,
因为a+b+c=0,
只需证b2+a(a+b)<
3a2,只需证2a2-ab-b2>
0,
只需证(a-b)(2a+b)>
0,只需证(a-b)(a-c)>
0.
因为a>
c,所以a-b>
0,a-c>
所以(a-b)(a-c)>
0,显然成立,故原不等式成立.
1.(2011·
江西理,7)观察下列各式:
55=3125,56=15625,57=78125,…,则52011的末四位数字为( )
A.3125B.5625
C.0625D.8125
[答案] D
[解析] 因为58=390625,59=1953125.
所以5n(n≥5)的末四位数字周期为4,
2011=502×
4+3,故52011的末四位数字为8125,故选D.
2.将正整数排成下表:
则在表中数字2014出现在( )
A.第44行第78列B.第45行第78列
C.第44行第77列D.第45行第77列
[解析] 第n行有2n-1个数字,前n行的数字个数为1+3+5+…+(2n-1)=n2.∵442=1936,452=2025,且1936<
2014,2025>
2014,∴2014在第45行.
2014-1936=78,∴2014在第78列,选B.
3.(2011·
清远模拟)定义A*B,B*C,C*D,D*A的运算分别对应图中的
(1)
(2)(3)(4),那么下图中(A)(B)所对应的运算结果可能是( )
A.B*D,A*DB.B*D,A*C
C.B*C,A*DD.C*D,A*D
[解析] 观察图形及对应运算分析可知,基本元素为A→|,B→□,C→——,D→○,从而可知图(A)对应B*D,图B对应A*C.
皖南八校联考)为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2),传输信息为h0a0a1a2h1,其中h0=a0⊕a1,h1=h0⊕a2,⊕运算规则为:
0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.例如原信息为111,则传输信息为01111,信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( )
A.11010B.01100
C.10111D.00011
[解析] 对于选项C,传输信息是10111,对应的原信息是011,由题目中运算规则知h0=0⊕1=1,而h1=h0⊕a2=1⊕1=0,故传输信息应是10110.
5.n个连续自然数按规律排成下表:
根据规律,从2012到2014的箭头方向依次为( )
A.↓→B.→↑
C.↑→D.→↓
[解析] 观察图例可见,位序相同的数字都是以4为公差的等差数列,故从2012至2014,其位序应与012相同,故选A.
6.(2012·
陕西文,12)观察下列不等式
1+<
,
1++<
1+++<
……
照此规律,第五个不等式为__________________.
[答案] 1+++++<
[解析] 本题考查了归纳的思想方法.
观察可以发现,第n(n≥2)个不等式左端有n+1项,分子为1,分母依次为12,22,32,…,(n+1)2;
右端分母为n+1,分子成等差数列,因此第n个不等式为1+++…+<
所以第五个不等式为:
1+++++<
.
[点评] 在用归纳法归纳一般性结论的时候,要养成检验意识.
7.(2011·
盐城市高三第一次调研)观察下列几个三角恒等式:
①tan10°
tan20°
+tan20°
tan60°
+tan60°
tan10°
=1;
②tan5°
tan100°
+tan100°
tan(-15°
)+tan(-15°
)tan5°
③tan13°
tan35°
+tan35°
tan42°
+tan42°
tan13°
=1.
一般地,若tanα,tanβ,tanγ都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为__________________________.
[答案] 当α+β+γ=90°
时,tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1
[解析] 所给三角恒等式都为tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1的结构形式,且α,β,γ之间满足α+β+γ=90°
8.设f(x)=,先分别求f(0)+f
(1),f(-1)+f
(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.
[解析] f(0)+f
(1)=+
=+=+=,
同理可得:
f(-1)+f
(2)=,f(-2)+f(3)=,
注意到在这三个特殊式子中,自变量之和均等于1.
归纳猜想得:
当x1+x2=1时,均有f(x1)+f(x2)=.
设x1+x2=1,
f(x1)+f(x2)=+
=
==.
9.已知:
a>
0,b>
0,a+b=1.求证:
+
≤2.
[证明] 要证
≤2,
只需证a+
+b+
+2
≤4,
又a+b=1,故只需证
≤1,只需证(a+
)(b+
)≤1,只需证ab≤
∵a>
0,1=a+b≥2
,∴ab≤
,故原不等式成立.
10.(2012·
福建理,17)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
①sin213°
+cos217°
-sin13°
cos17°
;
②sin215°
+cos215°
-sin15°
cos15°
③sin218°
+cos212°
-sin18°
cos12°
④sin2(-18°
)+cos248°
-sin(-18°
)cos48°
⑤sin2(-25°
)+cos255°
-sin(-25°
)cos55°
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据
(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
[解析]
(1)选择
(2)式,计算如下:
sin215°
=1-
sin30°
(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°
-α)-sinαcos(30°
-α)=
sin2α+cos2(30°
-α)
=sin2α+(cos30°
cosα+sin30°
sinα)2-sinα(cos30°
sinα)
=sin2α+
cos2α+
sinαcosα+
sin2α-
sinαcosα-
sin2α
sin2α+
cos2α=
解法二:
(1)同解法一.
-sinα(cos30°
-
(cos60°
cos2α+sin60°
sin2α)-
(1-cos2α)
cos2α-
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