经典等差数列性质练习题目含答案详解docWord格式.docx
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A.1B.﹣1C.2D.
13.(2009?
安徽)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于()
精彩文档
A.﹣1B.1C.3D.7
14.在等差数列{an}中,a2=4,a6=12,,那么数列{}的前n项和等于()
A.B.C.D.
15.已知Sn为等差数列{an}的前n项的和,a2+a5=4,S7=21,则a7的值为()
A.6B.7C.8D.9
16.已知数列{an}为等差数列,a1+a3+a5=15,a4=7,则s6的值为()
A.30B.35C.36D.24
17.(2012?
营口)等差数列{an}的公差d<0,且,则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n是
()
A.5B.6C.5或6D.6或7
18.(2012?
辽宁)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=()
A.58B.88C.143D.176
19.已知数列{an}等差数列,且a1+a3+a5+a7+a9=10,a2+a4+a6+a8+a10=20,则a4=()
A.﹣1B.0C.1D.2
2
﹣8n,第k项满足4<ak<7,则k=()
20.(理)已知数列{an}的前n项和Sn=n
21.数列an的前n项和为Sn,若Sn=2n﹣17n,则当Sn取得最小值时n的值为()
A.4或5B.5或6C.4D.5
22.等差数列{an}中,an=2n﹣4,则S4等于()
A.12B.10C.8D.4
23.若{an}为等差数列,a3=4,a8=19,则数列{an}的前10项和为()
A.230B.140C.115D.95
24.等差数列{an}中,a3+a8=5,则前10项和S10=()
A.5B.25C.50D.100
25.设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则等于()
A.1B.2C.3D.4
26.设an=﹣2n+21,则数列{an}从首项到第几项的和最大()
A.第10项B.第11项C.第10项或11项D.第12项
二.填空题(共4小题)
27.如果数列{an}满足:
=_________.
28.如果f(n+1)=f(n)+1(n=1,2,3⋯),且f
(1)=2,则f(100)=_________.
29.等差数列{an}的前n项的和,则数列{|an|}的前10项之和为_________.
30.已知{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式:
(Ⅱ)若数列{an}和数列{bn}满足等式:
an==(n为正整数),求数列{bn}的前n项和Sn.
参考答案与试题解析
考点:
等差数列.
专题:
计算题.
分析:
本题可由题意,构造方程组,解出该方程组即可得到答案.
解答:
解:
等差数列{an}中,a3=9,a9=3,
由等差数列的通项公式,可得
解得,即等差数列的公差d=﹣1.
故选D
点评:
本题为等差数列的基本运算,只需构造方程组即可解决,数基础题.
考点:
计算题.
直接根据数列{an}的通项公式是an=2n+5求出首项,再把相邻两项作差求出公差即可得出结论.
因为an=2n+5,
所以a1=2×
1+5=7;
an+1﹣an=2(n+1)+5﹣(2n+5)=2.
故此数列是以7为首项,公差为2的等差数列.
故选A.
本题主要考查等差数列的通项公式的应用.如果已知数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项.
3.在等差数列{an}中,a1=13,a3=12,若an=2,则n等于()
A.23B.24C.25D.26
综合题.
根据a1=13,a3=12,利用等差数列的通项公式求得d的值,然后根据首项和公差写出数列的通项公式,让
其等于2得到关于n的方程,求出方程的解即可得到n的值.
解:
由题意得a3=a1+2d=12,把a1=13代入求得d=﹣,
则an=13﹣(n﹣1)=﹣n+=2,解得n=23
故选A
此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值,是一道基础题.
4.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=6,a4=8,则公差d=()
A.一1B.2C.3D.一2
根据等差数列的前三项之和是6,得到这个数列的第二项是2,这样已知等差数列的;
两项,根据等差数列
的通项公式,得到数列的公差.
∵等差数列{an}的前n项和为Sn,
S3=6,
∴a2=2
∵a4=8,
∴8=2+2d
∴d=3,
故选C.
本题考查等差数列的通项,这是一个基础题,解题时注意应用数列的性质,即前三项的和等于第二项的三
倍,这样可以简化题目的运算.
A.1B.3C.2D.
由于a,b的等差中项为,由此可求出1与5的等差中项.
1与5的等差中项为:
=3,
故选B.
本题考查两个数的等差中项,牢记公式a,b的等差中项为:
是解题的关键,属基础题.
6.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是()
设等差数列{an}的公差为d,因为数列前六项均为正数,第七项起为负数,所以,结合公
差为整数进而求出数列的公差.
设等差数列{an}的公差为d,
所以a6=23+5d,a7=23+6d,
又因为数列前六项均为正数,第七项起为负数,
所以,
因为数列是公差为整数的等差数列,
所以d=﹣4.
解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式,并且结合正确的运算.
7.(2012?
福建)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为()
等差数列的通项公式.
设数列{an}的公差为d,则由题意可得2a1+4d=10,a1+3d=7,由此解得d的值.
设数列{an}的公差为d,则由a1+a5=10,a4=7,可得2a1+4d=10,a1+3d=7,解得d=2,
本题主要考查等差数列的通项公式的应用,属于基础题.
8.数列的首项为3,为等差数列且,若,,则=()
A.0B.8C.3D.11
先确定等差数列的通项,再利用,我们可以求得的值.
∵为等差数列,,,
∴
∴bn=b3+(n﹣3)×
2=2n﹣8
∵
∴b8=a8﹣a1
∵数列的首项为3
∴2×
8﹣8=a8﹣3,
∴a8=11.
本题考查等差数列的通项公式的应用,由等差数列的任意两项,我们可以求出数列的通项,是基础题.
(法一):
根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列,且公差为原来两个公差的
最小公倍数求解,
(法二)由条件可知两个等差数列的通项公式,可用不定方程的求解方法来求解.
解法一:
设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an},则a1=11
∵数列5,8,11,⋯与3,7,11,⋯公差分别为3与4,
∴{an}的公差d=3×
4=12,
∴an=11+12(n﹣1)=12n﹣1.
又∵5,8,11,⋯与3,7,11,⋯的第100项分别是302与399,
∴an=12n﹣1≤30,2即n≤25..5
又∵n∈N*,
∴两个数列有25个相同的项.
故选A
解法二:
设5,8,11,与3,7,11,分别为{an}与{bn},则an=3n+2,bn=4n﹣1.
设{an}中的第n项与{bn}中的第m项相同,
即3n+2=4m﹣1,∴n=m﹣1.
又m、n∈N*,可设m=3r(r∈N*),得n=4r﹣1.
根据题意得1≤3r≤1001≤﹣41r≤100解得≤r≤
∵r∈N*
从而有25个相同的项
解法一利用了等差数列的性质,解法二利用了不定方程的求解方法,对学生的运算能力及逻辑思维能力的
要求较高.
根据递推公式求出公差为2,再由S3=9以及前n项和公式求出a1的值.
∵an=an﹣1+2(n≥2),∴an﹣an
﹣1=2(n≥2),
∴等差数列{an}的公差是2,
由S3=3a1+=9解得,a1=1.
故选D.
本题考查了等差数列的定义,以及前n项和公式的应用,即根据代入公式进行求解.
等差数列的性质.
用通项公式来寻求a1+a8
与a4+a5的关系.
∵a1+a8﹣(a4+a5
)=2a1+7d﹣(2a1+7d)=0
∴a1+a8=a4+a5
∴故选B
本题主要考查等差数列通项公式,来证明等差数列的性质.
充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题.
设等差数列{an}的首项为a1,由等差数列的性质可得
a1+a9=2a5,a1+a5=2a3,
∴====1,
故选A.
本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用,
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则有如下关系S2n﹣1=(2n﹣1)an.
A.﹣1B.1C.3D.7
根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值,进而求得数列的公差,最后利用等差数列的通项
公式求得答案.
由已知得a1+a3+a5=3a3=105,
a2+a4+a6=3a4=99,
∴a3=35,a4=33,∴d=a4﹣a3=﹣2.
∴a20=a3+17d=35+(﹣2)×
17=1.
故选B
本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用.解题的关键是利用等差数列中等差中项的
性质求得a3和a4.
数列的求和;
等差数列的性质.
求出等差数列的通项,要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列,利用错位相减法求出数
列的前n项的和.
∵等差数列{an}中,a2=4,a6=12;
∴公差d=;
∴an=a2+(n﹣2)×
2=2n;
∴;
∴的前n项和,
=
两式相减得
求数列的前n项的和,先判断通项的特点,据通项的特点选择合适的求和方法.
由a2+a5=4,S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①,根据等差数列的前n项和公式可得,
,联立可求d,a1,代入等差数列的通项公式可求
等差数列{an}中,a2+a5=4,S7=21
根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①
根据等差数列的前n项和公式可得,
所以a1+a7=6②
②﹣①可得d=2,a1=﹣3
所以a7=9
故选D
本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的性质的综合应用,属于基础试题.
利用等差中项的性质求得a3的值,进而利用a1+a6=a3+a4求得a1+a6的值,代入等差数列的求和公式中求得
答案.
a1+a3+a5=3a3=15,
∴a3=5
∴a1+a6=a3+a4=12
∴s6=×
6=36
故选C
本题主要考查了等差数列的性质.特别是等差中项的性质.
等差数列的前n项和;
等差数列的通项公式.
由,知a1+a11=0.由此能求出数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n.
由,
知a1+a11=0.
∴a6=0,
本题主要考查等差数列的性质,求和公式.要求学生能够运用性质简化计算.
等差数列的性质;
等差数列的前n项和.
根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16,再由S11=运算求得结果.
∵在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,∴a1+a11=a4+a8=16,∴S11==88,
本题主要考查等差数列的定义和性质,等差数列的前n项和公式的应用,属于中档题.
等差数列的通项公式;
由等差数列得性质可得:
5a5=10,即a5=2.同理可得5a6=20,a6=4,再由等差中项可知:
a4=2a5﹣a6=0
由等差数列得性质可得:
a1+a9=a3+a7=2a5,又a1+a3+a5+a7+a9=10,
故5a5=10,即a5=2.同理可得5a6=20,a6=4.
再由等差中项可知:
本题考查等差数列的性质及等差中项,熟练利用性质是解决问题的关键,属基础题.
先利用公式an=求出an,再由第k项满足4<ak<7,建立不等式,求出k的值.
an=
∵n=1时适合an=2n﹣9,∴an=2n﹣9.
∵4<ak<7,∴4<2k﹣9<7,
∴<k<8,又∵k∈N+,∴k=7,
故选B.
本题考查数列的通项公式的求法,解题时要注意公式an=的合理运用,属于基础题.
21.数列an的前n项和为Sn,若Sn=2n﹣17n,则当Sn取得最小值时n的值为()
A.4或5B.5或6C.4D.5
等差数列的前n项和.
把数列的前n项的和Sn看作是关于n的二次函数,把关系式配方后,又根据n为正整数,即可得到Sn取得
最小值时n的值.
因为Sn=2n﹣17n=2﹣,
又n为正整数,
所以当n=4时,Sn取得最小值.
故选C
此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力,是一道基础题.
22.等差数列{an}中,an=2n﹣4,则S4等于()
A.12B.10C.8D.4
利用等差数列{an}中,an=2n﹣4,先求出a1,d,再由等差数列的前n项和公式求S4.
∵等差数列{an}中,an=2n﹣4,
∴a1=2﹣4=﹣2,
a2=4﹣4=0,
d=0﹣(﹣2)=2,
∴S4=4a1+
=4×
(﹣2)+4×
3
=4.
本题考查等差数列的前n项和公式的应用,是基础题.解题时要认真审题,注意先由通项公式求出首项和
公差,再求前四项和.
23.若{an}为等差数列,a3=4,a8=19,则数列{an}的前10项和为()
A.230B.140C.115D.95
等差数列的前n项和.
分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式,得到①和②,联立即可求出首项和公差,然后利用求
出的首项和公差,根据公差数列的前n项和的公式即可求出数列前10项的和.
a3=a1+2d=4①,a8=a1+7d=19②,
②﹣①得5d=15,
解得d=3,
把d=3代入①求得a1=﹣2,
所以S10=10×
(﹣2)+×
3=115
此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值,是一道基础题.
根据条件并利用等差数列的定义和性质可得a1+a10=5,代入前10项和S10=运算求得结
果.
等差数列{an}中,a3+a8=5,∴a1+a10=5,
∴前10项和S10==25,
本题主要考查等差数列的定义和性质,以及前n项和公式的应用,求得a1+a10=5,是解题的关键,属于基
础题.
A.1B.2C.3D.
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