生成函数在组合计数中的应用文档格式.docx

生成函数在组合计数中的应用文档格式.docx

《生成函数在组合计数中的应用文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《生成函数在组合计数中的应用文档格式.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

组合恒等式的证明技巧性很强，解题方法独特，其中利用构造生成函数，比较等式两端对应项的系数，是证明组合恒等式的一种非常有效的方法。

求证：

2+3+4+…+n=

可以看出，该组合恒等式左端比较复杂，不太可能利用组合公式去证明，观察后发现等式左端各项规律性较强。

通过分析，设法将等式左端看作是某一函数中确定项的系数，由为中项的系数，所以我们构造生成函数：

fn（x）=（1+x）+2+…+n（x≠-1）

fn（x）中的系数即为2+3+4+…+n.同时,利用”错位相减法”易知:

fn（x）=+.

比较的系数即得所证结果

从上面可以看出，根据题意，灵活地引入生成函数是证明组合恒等式的关键所在。

2.生成函数在递推关系上的应用

递推关系是计算中的一个强有力工具，而递推关系的求解一般比较困难．利用生成函数求解递推关系则是一种主要的、行之有效的方法。

求n位十进制数中出现偶数个5的数的个数。

令=n位十进制数中出现偶数个5的数的个数，=n位十进制数中出现奇数个5的数的个数。

因此有关系:

其中

则，此关系为关于序列｛｝的递推关系，求解此递推关系是解决本问题的难点。

我们可以考虑

引进序列｛｝的生成函数A（x）．即：

A（x）=，利用错位相加减的方法，即：

A（x）=

则（1-8x）A（x）=8+9x+9=,A（x）=

再将A（x）展开成幂级数的形式：

A（x）=（=

因此

递推关系的求解主要是利用递推关系求得生成函数的一种形式算法，生成函数确定了，相应的递推关系对应的结果就确定了，这样的例子还有很多，象着名的Hanoi塔问题，Fibonacci数列都是典型的利用生成函数解决递推关系的例子

3.利用生成函数进行整数的拆分

组合数学中有很多实际问题都可以理解为将某一（些）整数按照一定条件进行拆分，而求所有拆分的种类或方法，利用生成函数可以简单有效地解决这类问题中的某些问题

求方程满足X1+X2+X3+X4=20满足1≤x1≤6，0≤x2≤7，4≤x3≤8，2≤x4≤6的整数解的个数。

此问题仍可看成是拆分数的问题，把20拆分成满足条件的4个整数和的方法数问题，根据x所需条件，引入生成函数：

g（x）中的系数即为所求的满足条件的整数解的个数。

可以解得=96即为所求

4.生成函数在组合计算上的应用

生成函数的应用确实很广泛，利用生成函数还可以解决在排列组合中有关排法种数的问题:

有红球两只，白球、黄球各一只，试求有多少种不同的组合方案。

此问题不能看成是简单的组合问题，也不是可重复元素的组合数问题，若用r，w，y分别代表红球、白球、黄球，则不同的组合方案可有下面的式子给出:

此结果可以看出,除一个球也不取的情况外,有:

（a）取一个球的组合数为3，即分别取红、白、黄三种；

（b）取两个球的组合数为4，即两个红的、一红一黄、一红一白、一黄一自；

（c）取三个球的组合数为3，即两红一黄、二红一白、一红一白一黄；

（d）取四个球的组合数为1，即两红一黄一白。

若此问题只求不同的方案种数，则可直接利用生成函数。

设取r个球的组合数为Cr（o≤r≤4），则{Cr}的生成函数为：

G（x）=（1+x+x2）（1+x）2=1+3x十4x2十3x3+x4。

共有1+3+4+3+1=12种组合方式。

设有n个物件，并设n（r）是由n个不同物件中可任意重复地取r个物件生成函数的组合数。

這個組合問題的生成函數即是「xr之係數等於n（r）」之生成函數。

这个组合问题的生成函数即是「xr之系数等于n（r）」之生成函数。

對一個物件來說，我們可以不選取，選取一次，選取二次等等，其方法可用式子对一个物件来说，我们可以不选取，选取一次，选取二次等等，其方法可用式子

表示。

對第二個，第三個等物件也有同樣作法。

对第二个，第三个等物件也有同样作法。

故其生成函數是故其生成函数是

我們必須將它寫成標準形式。

我们必须将它写成标准形式。

因為因为

故故

我們得我们得

[例a.5]設n（r）是由n個不同物件中可任意重複地取r個，並在每一選取中，每個物件必須至少包含一次的組合數原編註2。

aaq令n（r）是由n个不同物件中可任意重复地取r个，并在每一选取中，每个物件必须至少包含一次的组合数。

數列{n（r）}的生成函數是数列{n（r）}的生成函数是

故得故得

。

。

顯然如果r<

n，本問題無解。

显然如果r<

n，本问题无解。

簡單推廣上述問題，若在每一選取中每個物件必須至少選取q次，則简单推广上述问题，若在每一选取中每个物件必须至少选取q次，则

一般排列組合問題可以歸納成將球放入盒中的問題。

一般排列组合问题可以归纳成将球放入盒中的问题。

其中可將球與盒子看成可區分的或不可區分的，而每一盒子又可被允許放最多一個球，或超過一個球而產生各種情況。

其中可将球与盒子看成可区分的或不可区分的，而每一盒子又可被允许放最多一个球，或超过一个球而产生各种情况。

組合問題可看成將不可區分的球放入可區分的盒中之問題。

组合问题可看成将不可区分的球放入可区分的盒中之问题。

例如[例a.4]的問題相當於想求得將r個相同的球，可任意重複地放入n個不同盒中之方法個數。

[例a.5]的問題相當於要求出將r個相同的球放入n個不同盒中之方法個數，其中每一盒必須至少放一個球aa的问题相当于要求出将r个相同的球放入n个不同盒中之方法个数，其中每一盒必须至少放一个球。

放球入盒的各種情況可列表如下：

放球入盒的各种情况可列表如下：

aa

bb

cc

dd

球球

不可區分（r）不可区分（r）

可區分（r）可区分（r）

不可區分（n）不可区分（n）

盒盒

可區分（n）可区分（n）

典型問題典型问题

組合组合

排列排列

集合之分割集合之分割

整數之分解整数之分​​解

其中n或r表示盒子的個數，或球的個數。

其中n或r表示盒子的个数，或球的个数。

下面我們將利用生成函數的方法討論這四類問題。

下面我们将利用生成函数的方法讨论这四类问题。

[例a.6]設將相同的球放置於n個不同盒中，其中每一盒至少放q個球，並至多放q+z-1個球。

设将相同的球放置于n个不同盒中，其中每一盒至少放q个球，并至多放q+z-1个球。

此問題之生成函數是此问题之生成函数是

使問題具體些。

使问题具体些。

設有四人擲骰，每人各擲一次，問當所得點數之和為17時共有多少種可能方式。

设有四人掷骰，每人各掷一次，问当所得点数之和为17时共有多少种可能方式。

四人可看作四個相異的盒子，17點可看作17個相同的球。

四人可看作四个相异的盒子，17点可看作17个相同的球。

這問題是當n=4,r=17,q=1,z=6之特別情況。

这问题是当n=4,r=17,q=1,z=6之特别情况。

故答案為故答案为

展開式中x13項之係數，即共104種。

展开式中x13项之系数，即共104种。

上面的例子虽然很不全面，但我们也可以看出，利用生成函数是解决组合问题的非常有效的方法，但在具体问题中要注意具体问题具体分析，多研究，多体会，只有这样，才能真正掌握生成函数应用的技巧，做到事半功倍。

作为本文最后的一个例，我们利用组合问题与其生成函数之对应关系证明下面著名的Euler恒等式：

其中，其中，

首先我們要有下面結果：

首先我们要有下面结果：

[例d.7]設n是一正整數，令E（n）表示將n分解成偶數個部份均不等之分解個數；

F（n）表示將n分解成奇數個部份均不等之分解個數，則我們有设n是一正整数，令E（n）表示将n分解成偶数个部份均不等之分解个数；

F（n）表示将n分解成奇数个部份均不等之分解个数，则我们有

上式是利用Ferrers圖示所產生的對應來證明。

上式是利用Ferrers图示所产生的对应来证明。

設某一n之部份相異之分解的圖示有如左圖（我們用23=7+6+5+3+2為例）：

设某一n之部份相异之分解的图示有如下图（我们用23=7+6+5+3+2为例）：

令b記作底線上方框個數，d記作45°

斜線上方框個數。

令b记作底线上方框个数，d记作45°

斜线上方框个数。

這裏有三種情況：

这里有三种情况：

如果b<

d，則底線上b個方框可移至斜線上端如右圖所示。

d，则底线上b个方框可移至斜线上端如右图所示。

這樣n之分解中部份個數則減少了一個，且各部份仍保持相異。

这样n之分解中部份个数则减少了一个，且各部份仍保持相异。

如果b=d，則底線方框仍可移至斜線上端，唯一例外是斜線和底線相交如下面左圖：

如果b=d，则底线方框仍可移至斜线上端，唯一例外是斜线和底线相交如下面左图：

在這情況下，這分解有形式在这情况下，这分解有形式

如果b>

d，則斜線上方框可移至底部而令分解之部份個增加一個並各部份仍保持相異，唯一例外是斜線和底線相交如上面右圖且b=d+1在這情況下，這分解有形式如果b>

d，则斜线上方框可移至底部而令分解之部份个增加一个并各部份仍保持相异，唯一例外是斜线和底线相交如上面右图​​且b=d+1在这情况下，这分解有形式

當当

時，上面對應使E（n）與F（n）相等；

當时，上面对应使E（n）与F（n）相等；

当

時，則k是偶數使E（n）比F（n）多一個；

k是奇數使E（n）比F（n）少一個。

时，则k是偶数使E（n）比F（n）多一个；

k是奇数使E（n）比F（n）少一个。

本例證畢。

回到我們上面提到之Euler恆等式。

回到我们上面提到之Euler恒等式。

它的左邊是一無窮乘積，恰是數列{E（n）-F（n）}的生成函數。

它的左边是一无穷乘积，恰是数列{E（n）-F（n）}的生成函数.

Generatingfunctionintheapplicationofcombinedcount

【Abstract】Generatingfunctionthatisgeneratingfunction,isacombinationofmathematics,especiallyintermsofcountisanimportanttheoryandtools.GeneratingfunctionwasfirstproposedbyFrenchmathematicianwhoisLaplaceP.S.Inhis1812book"

probabilitytheory"

clearly.Commontypeofgeneratingfunctionandtheexponentialgeneratingfunctionoftwogeneratingfunctions,whicharemorecommontypeused.Generatingfunctionissimplytheapplicationoftheunknown（generalterm）seriesoflawsgivenbythismethodinthecaseofrecursivetypethegeneraltermofsequenceobtained,generatingfunctionsarederivedFibonacciseriesoneofthegeneralformula.Anothergeneratingfunctionisalsowidelyusedinprogrammingandalgorithmdesign,analysis,mathematicalmethodsoftenusethisprocedureconsiderablyimprovedtheefficiencyandspeed

Generatingfunctionintheapplicationofcombinatorialproblemsinflexibleandhasacertainuniversality,tomastertheconstructionofgeneratingfunctionmethodcanhelpstudentsimprovetheirmathematicalthinkingandtheabilitytosolvepracticalproblems,thearticlesummarizestheproblemofgeneratingfunctioninthecombinationofseveralcommonusage.

【Keywords】Combinatorial;

generatingfunctions

【参考文献】《组合学与图论》作者：

林翠琴：

清华大学2009年4月

书号:

20

引自:

第三章生成函数和递推公式

3.1.1生成函数的一般概念

3.1.3生成函数的应用

《离散数学》作者：

屈婉玲、耿素云、立昂：

清华大学2008年出版

978-04-023125-0

第十三章递推方程与生成函数