人教版数学九年级下册282《解直角三角形及其应用》训练《应用举例2》训练.docx
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人教版数学九年级下册282《解直角三角形及其应用》训练《应用举例2》训练
《应用举例
(2)》基础训练
知识点1方位角问题
1.如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向,与灯塔P的距离为30海里的A处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处,则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为()
A.60海里B.45海里C.20海里D.30海里
2.[2017广西百色中考]如图,在距离铁轨200米的B处,观察由南宁开往百色的“和谐号”动车,当动车车头在A处时,恰好位于B处的北偏东60°方向上;10秒钟后,动车车头到达C处,恰好位于B处的西北方向上,则这时段动车的平均速度是()
A.20(+1)米/秒B.20(-1)米/秒C.200米/秒D.300米/秒
3.[2018安徽淮安中考]如图,某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸,测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市的北偏东30°方向,测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处,测得小区M位于C的北偏西60°方向,请你在主输气管道上寻找支管道连接点N,使到该小区铺设的管道最短,并求AN的长.
知识点2坡度、坡角问题
4.[2018浙江宁波中考]如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡,从A滑行至已知B,已知AB=500米,则这名滑雪运动员的高度下降了____米.(参考数据:
sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67)
5.如图,斜坡AB的坡度为1:
2,AC=3米,坡顶有旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连.若AB=10米,则旗杆BC的高度为()
A.5米B.6米C.8米D.(3+)米
6.[2017湖北仙桃中考]为加强防汛工作,某市对一拦水坝进行加固.如图,加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD,已知迎水坡面AB=12米,背水坡面CD=12米,∠B=60°.加固后拦水坝的横断面为梯形ABED,tanE=,则CE的长为____米.
7.如图,兰兰站在河岸上的G点,看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来,此时,测得小船C的俯角∠FDC为30°,若兰兰的眼睛与地面的距离DG是1.5米,BG=1米,BG平行于AC所在的直线,迎水坡的坡度i=4:
3,坡高8米,求小船C到岸边的距离CA.(参考数据:
≈1.73,结果保留一位小数)
参考答案
1.D【解析】由题意,知∠APB=90°,∠A=60°,PA=30海里,∴PB=PA·tanA=30×tan60°=30(海里).故选D.
2.A【解析】如图,过点B作BD⊥AC于点D.在Rt△ABD中,因为∠ABD=60°,BD=200米,所以AD=BDtan∠ABD=200米,在Rt△CDB中,BD=200米,∠CBD=45°,所以CD=BD=200米,则AC=AD+CD=(200+200)米,则平均速度是=(20+1)米/秒.故选A.
3.【解析】如图,过点M作MN⊥AC于点N,此时MN最短.
由题意知∠EAC=60°,∠EAM=30°,∴∠CAM=30°,易知∠FCM=60°,∴∠MCB=30°,∵∠EAC=60°,∴∠CAD=30°,∴∠BCA=30°,∴∠MCA=∠MCB+∠BCA=60°,∴∠AMC=90°.在Rt△AMC中,∠AMC=90°,∠MAC=30°,∴MC=AC=1000米.
在Rt△CMN中,∠MCN=60°,∴∠CMN=30°,∴NC=MC=500米.
∴AN=AC-NC=2000-500=1500(米).
因此,AN的长为1500米.
名师点睛:
解决实际问题的关键在于明确题意,善于把实际问题转化为数学问题,要抓住问题的实质,不要被表面现象所迷惑.对于本题,正确作出高,证明△AMC是直角三角形是解题的关欲
4.280【解析】在Rt△ABC中,AC=ABsin34°=500×0.56≈280(米),所以这名滑雪运动员的高度下降了280米.
5.A【解析】因为斜坡AC的坡度为1:
2,所以可设CD=x米,AD=2x米,在Rt△ACD中,由勾股定理得x2+(2x)2=(3)2,所以x=3,所以CD=3米,AD=6米.在Rt△ABD中,由勾股定理得BD==8米,所以BC=BD-CD=8-3=5(米).故选A.
6.8【解析】如图,分别过点A,D作AF⊥BC,DG⊥BC,垂足分别为F,G.
在Rt△ABF中,AB=12米,∠B=60°,sinB=,所以AF=米,所以DG=米,在Rt△DGC中,因为CD=12米,DG=米,所以GC==18米.
在Rt△DEG中,因为tanE=,所以,所以GE=26米,所以CE=GE-CG=26-18=8(米),即CE的长为8米.
7.【解析】如图,过点B作BE⊥CA交CA的延长线于点E,延长DG交CA的延长线于点H,得Rt△ABE和矩形BEHG.
∵i==,BE=8米,∴AE=6米.
∵DG=1.5米,BG=l米,∴DH=DG+GH=1.5+8=9.5(米),AH=AE+EH=6+l=7(米).
在Rt△CDH中,∵∠C=∠FDC=30°,DH=9.5米,tanC=,∴CH=米.
又CH=CA+7,即=CA+7,∴CA≈9.4米.
因此,小船C到岸边的距离CA约是9.4米.
《应用举例
(2)》提升训练
1.[2017山东济南中考]如图,为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度),把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁,量出杆长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m,又量得杆底与坝脚的距离AB=3m,则石坝的坡度为()
A.B.3C.D.4
2.[2018河北石家庄二十七中课时作业]某数学兴趣小组同学进行测量大树CD(垂直于水平面AE)高度的综合实践活动,如图,在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°,然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处,再沿水平方向行走6米至大树底端点D处,斜坡AB的坡度(或坡比)i=1:
2:
4,那么大树CD的高度约为(参考数据:
sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)()
A.8.1米B.17.2米C.19.7米D.25.5米
3.[2018山西运城垣曲期末]小明坐在堤边垂钓,如图,河堤AC的坡角为30°,AC的长为米,钓竿0A的倾斜角是60°,其长为3米.若0A与钓鱼线0B的夹角为60°,则浮漂B与河堤下端C之间的距离是____米.
4.[2018四川成都石室中学课时作业]如图,在—条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C,灯塔C距码头的东端N20km.一轮船以36km/h的速度航行,上午10:
00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向,上午10:
40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向,且与灯塔C相距12km.
(1)若轮船照此速度与航向航行,何时到达海岸线l?
(2)若轮船不改变航向,该轮船能否停靠在码头?
请说明理由.(参考数据:
≈1.4,≈1.7)
5.[2017贵州黔东南州中考]如图,某校教学楼后方有一斜坡,已知斜坡CD的长为12米,坡角a为60°.根据有关部门的规定,∠a≤39°时,才能避免滑坡危险,学校为了消除安全隐患,决定对斜坡CD进行改造,在保持坡脚C不动的情况下,学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全?
(结果取整数)(参考数据:
sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81,≈1.41,≈1.73,≈2.24)
6.[2018江西南昌铁一中课时作业]一艘轮船向正东方向航行,在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向,航行40海里到达B处,此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向.
(1)求灯塔P到轮船航线的距离PD;(结果保留根号)
(2)当轮船从B处继续向东航行时,一艘快艇从灯塔P处同时前往D处,尽管快艇速度是轮船速度的2倍,但快艇还是比轮船晚15分钟到达D处,求轮船每小时航行多少海里.(结果精确到1海里,参考数据≈1.7)
参考答案
1.B【解析】如图,过点C作CM⊥AB,交AB的延长线于点M,在Rt△ADE中,由勾股定理,得AE===0.8.易知△ADE∽△ACM,所以,即,解得AM=4,CM=3,所以BM=AM-AB=4-3=1,所以石坝的坡度为=3.故选B.
2.A【解析】如图,过点B作BF⊥AE于点F.设BF=x米,易知四边形BDEF是矩形,则DE=BF=x米,DE=BF=x米.∵斜坡AB的坡度i=l:
2.4,∴BF:
AF=l:
2.4,则AF=2.4x米.
在Rt△ABF中,AB=13米,BF2+AF2=AB2,∴x2+(2.4x)2=132,∴x=5,∴DE=BF=5米,AF=12米,∴AE=AF+EF=18米.
在Rt△ACE中,tan∠CAE=,∴CE=AE·tan∠CAE=18×tan36°≈13.14(米),∴CD=CE-DE≈8.1米.故选A.
归纳总结:
此类题考查解直角三角形的应用,首先要明确仰角及坡度的意义,并能寻找直角三角形或添加辅助线构造直角三角形,把已知条件和待求线段放在直角三角形中,利用直角三角形的边角关系求解,找准对应关系是关键.此外,在求解过程中常通过设未知数,建立方程求解.
3.1.5【解析】如图,延长0A交BC的延长线于点D,则∠CAD=180°-∠ACD=90°.
在Rt△ACD中,AD=AC.tan∠ACD=AC=1.5米,CD=2AD=3米.∵∠DOB=∠ODB=60°,∴∠B0D是等边三角形,所以BD=OD=0A+AD=4.5米,所以BC=BD-CD=4.5-3=1.5(米).即浮漂B与河堤下端C之间的距离是1.5米.
4.【解析】
(1)如图,延长AB交直线l于点F.
由题意知∠CBE=60°,∠DAC=30°,∴∠BCE=30°,∠DCA=60°,∴∠ACB=90°.
在Rt△ABC中,BC=12km,AB=36×=24(km),∴∠BAC=30°,AC==12(km).
在Rt△ACD中,AD=AC×cos30°=12×=18(km).
在Rt△ADF中,∵∠DAF=60°,∴∠F=30°,AF=2AD=36km,36÷36=l(h),
∴轮船在11:
00到达海岸线l.
(2)该轮船能停靠在码头.理由如下:
在Rt△ADF中,DF=AF×sin60°=36×=18(km).
在Rt△ADC中,DC=AC=6km,∴CF=12km.
∵CN=20km,CM=2l.5km,12≈20.4,20<20.4<21.5.
∴该轮船能停靠在码头.
5.【解析】如图,假设点D移到D'的位置时,恰好∠a=39°,过点D作DE⊥AC于点E,过点D'作D'E'⊥AC于点E',∵CD=12米,∠DCE=60°,∴DE=CD·sin60°=12×=6(米),CE=CD·cos60°=12×=6(米).∵DE⊥AC,D'E'⊥AC,DD'∥CE’,
∴四边形DEE'D'是矩形,D'E'=DE=6米.
∵∠D'CE'=39°,∴CE'=≈≈l3(米),∴EE'=CE'-CE≈7米.
因此,学校至少要把坡顶D向后水平移动约7米才能保证教学楼的安全.
6【解析】
(1)过点B作BC⊥AP于点C.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴BC=AB=20海里,AC=AB·cos30°=20海里.
∵∠PBD=90°-15°=75°,∠ABC=90°-30°=60°,∴∠CBP=180°-75°-60°=45°,∴PC=BC=20海里,∴AP=PC+AC=(20+20)海里.
∵PD⊥AD,∠PAD=30°,∴PD=AP=(10+10)海里.
因此,灯塔P到轮船航线的距离PD是(10+10)海里.
(2)设轮船每小时航
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