初中数学专题复习《数学探究性问题的探索》资料Word格式.docx
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这本次探究性活动,它的研究方法很象是学习圆和圆的位置关系,只是把一个圆变成正方形,由学生通过自己的操作、试验、观察得到几个特殊的结论,在由这几个特殊的结论继续探究出更复杂和全面结论。
让学生在操作、观察、试验、分析中得到发展。
五、“猜测、推断”型探究性问题:
这本次探究性活动,它是借助“勾股定理”做为知识基础和研究背景,先通过特殊正方形、半圆、等边三角形得到共同的结论,在拓展为一般性的结论,最后,教师给出“希波克拉蒂月牙问题”和“勾股树”让学生在数学美的氛围中思维升华。
【教学目标】
1、知识与技能目标:
(1)对基本题目进行一题多变,初步向学生渗透动态的观念,让学生渐渐的习惯于用运动的眼光看待数学问题,培养学生的发散性思维和创造性思维的能力。
(2)通过对基本题目进行挖掘与引申,使学生在探究性的学习过程中,学会解题的策略方法;
学会将知识纳入已有的知识结构中,自主地进行知识的自我建构。
2、过程与方法目标:
以相互关联的知识为主线,探究性问题为载体,渗透特殊与一般、化归的数学思想方法。
3、情感与态度目标:
使学生通过学习提高自己的数学思维能力,学会对面临的问题进行数学的思考,逐渐的提高自己的数学素养,注重培养学生合作交流的能力。
【教学策略】
根据本节课的内容特点及学生的认知特点,为使课堂生动、有趣、高效,我采用启发式教学、循序渐进的原则,采取类比、观察、讨论、归纳等方法,注重创设问题情景,充分暴露思维过程,发展学生的思维能力。
注意师生之间的情感交流,并教给学生“多观察、动脑想、大胆猜、勤钻研”的研讨式学习方法。
向学生提供更多的活动机会和空间,引导学生通过实践、思考、探索、交流,获得知识,形成技能,发展思维,学会学习。
促使学生在教师的指导下,生动活泼地、主动地、富有个性地学习。
”
【教学媒体】
本节课主要采取以学生为主体,教师为主导,课件为辅助的互动式教学模式,并借助多媒体课件《几何画板》辅助教学。
《几何画板》打破了传统的用尺规教学的方法。
它具有动态直观、数形结合、色彩鲜艳、变化无穷的特点,能极大的增强学生的学习兴趣,对成绩较差的学生更是如此。
对开发学生的智力,提高思维能力很有帮助。
特别是《几何画板》为我们创设了一个数学实验室,提供了一个理想的做数学的环境。
学生可从“听”数学转变到“做”数学,即以研究者的方式,参与包括发现、探索在内的获得知识的全过程。
【教学过程】(第一课时)
基本题目:
已知如图AB∥CD,P为任意一点,请用一个等式来表示,∠B、∠D、∠P之间的数量关系,并说明你们的理由。
变化1:
让点P动起来
在刚才的基本题目“已知AB∥CD,P为任意一点,请用一个等式来表示,∠B、∠D、∠P之间的数量关系”中,有一句话“P为任意一点”,你是怎样理解的?
引导学生,找点P的不同位置,最终可以归纳为以下几种位置:
然后学生进行分小组合作,每个小组选择一种点P的位置进行研究,然后进行成果展示。
这样做可以节省出很多时间,避免不必要的重复,可以得到事半功倍的效果。
这是一个小组交流和成果展示的过程,学生吸纳别人的优点,弥补自己的不足,在交流、认识和体验中获得知识和方法。
同时,初步向学生渗透动态的观念,让学生渐渐的习惯于用运动的眼光看待数学问题,看待实际问题,看待周围的事情。
变化2:
让点P多起来
在刚才让点P动起来的探究基础上,再对基本题目进行挖掘与引申,让点P多起来,让点P由1个变为2个,再由2个变为3个,再由3个变为4个,……逐渐增加到n个,再次让学生进行探究性学习,进一步培养和发展“探究意识”。
已知AB∥CD,P1、、P2、P3、P4、……Pn为任意n点,请用一个等式来表示,∠B、∠D、∠P1、、∠P2、∠P3、∠P4、……∠Pn之间的数量关系。
刚才的n个点都是在两线的内部,如果都在外部,情况又会怎样?
新的问题,新的挑战又摆在了学生面前。
在此过程中,使学生在探究性的学习过程中,以相互关联的知识为主线,以探究性问题为载体,学会探索规律,进行归纳,渗透特殊到一般的数学思想方法。
学会解题的策略方法;
如果上面的n个点P,一内一外交替摆放,情况又会怎样?
(本问题将作为学生的课后作业继续探究。
)
一维形数:
第1项
第2项
第3项
第4项
第5项
…
第n项
1
2
3
4
5
n
对应点组:
二维形数:
6
10
15
由此你能够看出“一维形数”与“二维形数”的内在联系吗?
三维形数:
20
35
由此你能够看出“一维形数”、“二维形数”、“三维形数”的内在联系吗?
下面又给出另一组“一维形数”:
7
9
2n-1
16
25
14
30
55
对于形数问题你有了什么更深刻的理解?
根据上面的研究,再给你一组“一维形数”,你能够得到对应的点组以及相关的“二维形数”、“三维形数”及其对应点组吗?
试一试!
4
7
10
13
3n-2
根据上面的研究,你对于“形数问题”有什么理解和看法,请发表一下自己的见解。
(如发展到4维、5维、…、n维;
数形结合的思想方法)
“聪明线”的定义:
如果一条线段,经过多边形的一个顶点,并且把这个多边形的面积二等分,我们就把这样的线段叫作这个多边形的“聪明线”。
如:
AD是△ABC的中线,则△ABD与△ACD等底等高,因此△ABD与△ACD的面积相等,线段AD就是△ABC的“聪明线”。
又如:
四边形ABCD,连接对角线AC,过点B作AC边的平行线交DC的延长线于点E,△ABC与△AEC等底等高,因此△ABC与△AEC的面积相等,这样四边形ABCD的面积就等于△AED的面积,再作△AED的中线AP,那么线段AP就是四边形ABCD的“聪明线”。
探究问题1:
请仿照上面找出五边形ABCDE的一条“聪明线”。
探究问题2:
请仿照上面找出六边形ABCDEF的一条“聪明线”。
探究问题3:
你能够找到n边形的一条“聪明线”吗?
你是怎么做的,请说一说。
“自由聪明线”:
点M是△ABC边上的任意一点,MN把△ABC的面积二等分,我们把这样的线段叫作△ABC的“自由聪明线”。
你知道△ABC的“自由聪明线”MN是怎样找到的吗?
对于四边形ABCD,AP是它的一条“聪明线”你能够找出四边形ABCD的一条“自由聪明线”
对于五边形ABCDE,你能够找出它的一条“自由聪明线”吗?
六边形、七边形、n边形呢?
(第二课时)
设边长为2a的正方形的中心A在直线l上,它的一组对边垂直于直线l,半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动,点A、O间距离为d.
(1)如图①,当r<a时,根据d与a、r之间关系,将⊙O与正方形的公共点个数填入下表:
d、a、r之间关系
公共点的个数
d>a+r
d=a+r
a-r<d<a+r
d=a-r
d<a-r
所以,当r<a时,⊙O与正方形的公共点的个数可能有 个;
(2)如图②,当r=a时,根据d与a、r之间关系,将⊙O与正方形的公共点个数填入下表:
a≤d<a+r
d<a
所以,当r=a时,⊙O与正方形的公共点个数可能有 个;
(3)如图③,当⊙O与正方形有5个公共点时,试说明r=
a;
拓展与延伸:
经过对本题
(1)和
(2)的解决,以及(3)的铺垫,
(4)就r>a的情形,请你仿照“当……时,⊙O与正方形的公共点个数可能有
个”的形式,至少给出一个关于“⊙O与正方形的公共点个数”的正确结论.
如图,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1、S2、S3表示,那么S1、S2、S3之间有什么关系?
(1)分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1、S2、S3表示,那么S1、S2、S3之间有什么关系?
(2)如图,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明;
(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,为使S1、S2、S3之间仍具有与
(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件?
证明你的结论;
(4)类比
(1)、
(2)、(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.
(5)将原题“生长”一次,如图:
你会得到什么结论?
再“生长”一次呢?
一棵美丽的“勾股树”
(6)古希腊“希波克拉蒂月牙问题” :
分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,围成两个月牙,那么这两个月牙的面积和等于什么?
五、感悟与收获:
由学生谈体会、说感想、讲收获,学生相互补充,自我反思。
(这里包括具体知识、解题方法、思考方式、行为习惯、研究态度、观点信念等)
【课后留疑】
1、如果上面的n个点P,一内一外交替摆放,情况又会怎样?
(注意奇偶性)
这样做的主要目的是,让学生带着问题来,带着问题走,也是本节课探究性学习的一种延伸和继续。
留给学生课下自主探究的空间。
2、问题背景:
某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题:
1如图1,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60°
,则BM=CN.
2
如图2,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90°
则BM=CN.
然后运用类比的思想提出了如下的命题:
3
如图3,在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108°
,则BM=CN.
任务要求
(1)请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明;
(2)请你继续完成下面的探索:
1如图4,在正n(n≥3)边形ABCDEF…中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,问当∠BON等于多少度时,结论BM=CN成立?
(不要求证明)
2如图5,在五边形ABCDE中,M、N分别是DE、AE上的点,BM与CN相交于点O,当∠BON=108°
时,请问结论BM=CN是否还成立?
若成立,请给予证明;
若不成立,请说明理由.
3、如图⑴凸四边形ABCD,如果点P满足∠APD=∠APB=α,且∠BPC=∠CPD=β,则称点P为四边形ABCD的一个半等角点。
1在图⑶正方形ABCD内画一个半等角点P,且满足α≠β。
2在图⑷四边形ABCD中画出一个半等角点P,保留画图痕迹(不需写出做法)。
3若四边形ABCD有二个半等角点P1、P2(如图⑵),证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点。
D
C
A
4.仿照例题,填写下表,并且给出相应的图形表示:
5.对于五边形ABCDE,你能够找出它的一条“自由聪明线”吗?
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