天津市 学年九年级上期中考试数学试题Word下载.docx

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C、代入x＝0求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确；

D、由a＝1＞0及抛物线对称轴为直线x＝

，利用二次函数的性质，可得出当x

＞

时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．综上即可得出结论．

A、∵a＝1＞0，

∴抛物线开口向上，选项A不正确；

B、∵﹣

＝

，

∴抛物线的对称轴为直线x＝

C、当x＝0时，y＝x2﹣x＝0，

∴抛物线经过原点，选项C正确；

D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x＝

∴当x＞

时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．故选：

【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误是解题的关键．

5.如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°

，∠APD＝70°

，则

∠B等于（）

A．30°

B．35°

C．40°

D．50°

【分析】欲求∠B的度数，需求出同弧所对的圆周角∠C的度数；

△APC中，已知了∠A及外角∠APD的度数，即可由三角形的外角性质求出∠C的度数，由此得解．

∵∠APD是△APC的外角，

∴∠APD＝∠C+∠A；

∵∠A＝30°

∴∠C＝∠APD﹣∠A＝40°

；

∴∠B＝∠C＝40°

故选：

【点评】此题主要考查了圆周角定理的应用及三角形的外角性质．熟练掌握定理及性质是解题的关键．

6.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，一共碰杯55次，设参加酒会的人数为

x，则可列方程为（）

x（x﹣1）＝55B．x（x﹣1）＝55

x（x+1）＝55D．x（x+1）＝55

【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程．

设参加酒会的人数为x人，根据题意得：

x（x﹣1）＝55，

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

7.若一元二次方程x2﹣8x﹣33＝0的两根分别为x1、x2，则（x1+1）（x2+1）的值为（）

A．﹣24B．24C．﹣40D．40

【分析】直接利用根与系数的关系得出答案即可．

∵一元二次方程x2﹣8x﹣33＝0的两根分别为x1、x2，

∴x1+x2＝8，x1x2＝﹣33．

∴（x1+1）（x2+1）＝x1+x2+x1x2+1＝8+1﹣33＝﹣24，故选：

【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解题关键是会利用根与系数的关系来求方程中的字母系数．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系

数的关系为：

x1+x2＝﹣

，x1•x2＝

．

8.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°

得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（）

A．∠ABD＝∠EB．∠CBE＝∠CC．AD∥BCD．AD＝BC

【分析】由旋转的性质得到∠ABD＝∠CBE＝60°

，AB＝BD，推出△ABD是等边三角形，得到∠DAB＝∠CBE，于是得到结论．

∵△ABC绕点B顺时针旋转60°

得△DBE，

∴∠ABD＝∠CBE＝60°

，AB＝BD，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠DAB＝60°

∴∠DAB＝∠CBE，

∴AD∥BC，

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

9.如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C在弦AB上，且AC＝

AB，则OC

的长为（）

A．2

B．2

C．

D．4

【分析】过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，先根据垂径定理求出AD的长，再由勾股定理求出OD的长，在Rt△OCD中根据勾股定理即可得出OC的长．

过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，

∵AB＝8，AC＝

AB，

∴AC＝2，BC＝6，

∴AD＝

×

8＝4．在Rt△AOD中，

∵OA＝5，AD＝4，

∴OD＝

＝3，在Rt△OCD中，

∵OD＝3，CD＝AD﹣AC＝4﹣2＝2，

∴OC＝，

C．

【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理；

根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

10.为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为

100m，则池底的最大面积是（）

A．600m2B．625m2C．650m2D．675m2

【分析】先求出最大面积的表达式，再运用性质求解．

设矩形的一边长为xm，则其邻边为（50﹣x）m，若面积为S，则S＝x（50﹣x）

＝﹣x2+50x

＝﹣（x﹣25）2+625．

∵﹣1＜0，

∴S有最大值．

当x＝25时，最大值为625，故选：

【点评】本题主要考查二次函数的应用，关键是求出面积的表达式，再运用函数的性质解题．

11.

如图，函数y＝ax2﹣2x﹣1和y＝a（x﹣1）（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）

【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．

A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：

a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1

的图象应该开口向下，故选项错误；

B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：

a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图

象应该开口向上，对称轴x＝﹣

＞0，故选项正确；

C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：

＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；

D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：

a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．

【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数

y＝ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：

开口方向、对称轴、顶点坐标等．

12.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其顶点坐标为（﹣2，

﹣9a），有下列结论：

①4a+2b+c＞0②9a﹣b+c＝0；

③若方程a（x+5）（x﹣

1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1④若方程|ax2+bx+c|

＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中，正确结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【分析】根据定点坐标求出b＝4a，c＝﹣5a，即可求解①②；

根据图象平移和韦达定理即可确定③④．

函数顶点坐标为（﹣2，﹣9a），则：

＝﹣2，

＝﹣9a，

则：

b＝4a，c＝﹣5a，由韦达定理得：

＝﹣4，

①把x＝2代入二次函数表达式，则：

y＝4a+2b+c＞0，正确；

②9a﹣b+c＝9a﹣4a﹣5a＝0，正确；

③函数y＝ax2+bx+c向上平移1个单位即为：

y＝a（x+5）（x﹣1）+1，而函数y

＝ax2+bx+c（a≠0）于x轴的交点为（﹣5，0）和（1，0），

故：

方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确；

③方程y＝ax2+bx+c向上下平移1个单位，可得到新抛物线：

y＝ax2+bx+c+1和

y＝ax2+bx+c﹣1，

设新抛物线y＝ax2+bx+c+1与x轴的交点坐标为（x3，0），（x4，0），由韦达定理得：

x3+x4＝﹣

同理：

y＝ax2+bx+c﹣1与x轴交点横坐标和为﹣4，故：

正确；

【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a

与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13.若x3m﹣1﹣2x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为1．

【分析】本题根据一元二次方程的一般形式，即可得到3m﹣1＝2，即可求得m

的值．

依题意得：

3m﹣1＝2，解得m＝1．

故答案是：

1．

【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为

2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．

14.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AB＝10，∠A＝30°

，则BC的长为

5．

【分析】根据圆周角定理，易知∠ACB＝90°

．在Rt△ABC中，已知了斜边AB

的长以及∠A的度数，很容易就能求出BC的长．

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°

在Rt△ABC中，∠A＝30°

，AB＝10；

因此BC＝

AB＝5．

【点评】本题综合考查了圆周角定理的推论以及特殊直角三角形的性质．

15.在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°

，所得到的对应点P′的坐标为（3，﹣2）．

【分析】将点P绕原点O顺时针旋转180°

，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标．

根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，

∵P点坐标为（﹣3，2），

∴点P′的坐标（3，﹣2）．故答案为：

（3，﹣2）．

【点评】本题考查了坐标与图形的变换﹣旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键．

16.将抛物线C：

y＝x2先向左平移2个单位长度，然后再向上平移1个单位长度后，所得抛物线C′的解析式为y＝（x+2）2+1．

【分析】根据题意得新抛物线的顶点（﹣2，1），根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可设新抛物线的解析式为：

y＝（x﹣h）2+k，再把（﹣2，1）点代入即可得新抛物线的解析式．

原抛物线的顶点为（0，0），向左平移2个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，那么抛物线C′的顶点为（﹣2，1），

可得抛物线C′的解析式为：

y＝（x+2）2+1，故答案为：

y＝（x+2）2+1．

【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．

17.某种植基地2017年蔬菜产量为100吨，预计2019年蔬菜产量将达到144

吨，据此估计该种植基地蔬菜产量的年平均增长率（百分数）为20%．

【分析】根据2019年的产量＝2017年的产量×

（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．

设该种植基地蔬菜产量的年平均增长率（百分数）为x，

根据题意，得100（1+x）2＝144，

解这个方程，得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2．经检验x2＝﹣2.2不符合题意，舍去．

即：

该种植基地蔬菜产量的年平均增长率（百分数）为20%．故答案是：

20%．

【点评】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2018年和2019年的产量的代数式，根据条件找准等量关系，列出方程．

18.

如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第26秒时点E在量角器上对应的读数是156度．

【分析】首先连接OE，由∠ACB＝90°

，易得点E，A，B，C共圆，然后由圆周角定理，求得点E在量角器上对应的读数．

连接OE，

∵∠ACB＝90°

∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上，

∴点E，A，B，C共圆，

∵∠ACE＝3×

26＝78°

∴∠AOE＝2∠ACE＝156°

∴点E在量角器上对应的读数是：

156°

．故答案为156．

【点评】本题考查的是圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写岀文字说明、演算步骤或推理过程）

19．（8分）如图，在平面直角坐标系中、△ABC的顶点坐标分别为A（4，6），B（5，2），C（2，1）．

（1）求△ABC的面积；

（2）在图中画出△ABC绕点C逆时针旋转90°

得到的△A′B′C′并写出点A

的对应点A′的坐标．

【分析】

（1）利用割补法求解可得；

（2）根据旋转变换的定义和性质作出点A与点B旋转后的对应点，再顺次连接即可得．

（1）△ABC的面积为3×

5﹣

1×

3﹣

2×

5＝7；

（2）如图所示，△A′B′C′即为所求．

由图知点A的对应点A′的坐标为（﹣3，3）．

【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出旋转变换后的对应点及割补法求三角形的面积．

20．（8分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣m＝0

（1）当m＝1时，求方程的根；

（2）若方程有两个不相等的根，求m的取值范围．

（1）把m＝1代入方程，求出方程的根即可；

（2）计算根的判别式，由题意得关于m的不等式，求解不等式即可．解

（1）把m＝1代入方程，得2x2﹣3x﹣1＝0

△＝（﹣3）2﹣4×

（﹣1）

＝17＞0

∴x＝

∴x1＝

（2）∵方程有两个不相等的根，

∴△＝（﹣3）2+8m＞0，即9+8m＞0，

解得m＞﹣

【点评】本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式．一元二次方程的解法有：

直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，灵活选择解法可以事半功倍．

21．（10分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点（0，﹣2），且

过点A（﹣1，1）和B（4，6）．

（1）求二次函数的解析式，并写出其图象的顶点坐标；

（2）当2≤x≤5时，求二次函数的函数值y的取值范围．

（1）利用待定系数法求解可得其解析式，将其配方成顶点式可得其顶点坐标；

（2）先由y＝（x﹣1）2﹣3知当x＞1时y随x的增大而增大，据此求出x＝2

和x＝5时y的值即可得答案．

（1）根据题意，将（0，﹣2），（﹣1，1），（4，6）代入解析式，得：

所以二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，

∴该二次函数的图象的点的坐标为（1，﹣3）．

（2）∵y＝（x﹣1）2﹣3，

∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＝2时，y＝﹣2；

当x＝5时，y＝13；

∴当2≤x≤5时，二次函数的函数值y的取值范围为﹣2≤y≤13．

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：

在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；

当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；

当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．

22．（10分）已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．

（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；

（2）

如图②，若∠CAB＝60°

，求BD的长．

（1）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；

利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD＝CD＝5

（2）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD＝OB＝OD＝5．

（1）如图①，∵BC是⊙O的直径，

∴∠CAB＝∠BDC＝90°

∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，

∴由勾股定理得到：

AC＝

＝8．

∵AD平分∠CAB，

∴

＝

∴CD＝BD．

在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，

∴易求BD＝CD＝5

（2）如图②，连接OB，OD，

∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°

∴∠DAB＝

∠CAB＝30°

∴∠DOB＝2∠DAB＝60°

又∵OB＝OD，

∴△OBD是等边三角形，

∴BD＝OB＝OD．

∵⊙O的直径为10，则OB＝5，

∴BD＝5．

【点评】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．

23．（10分）某商品现在的售价为毎件60元，每月可卖出300件．市场调査反

映：

如调整价格，毎涨价1元，每月要少卖出10件．该商品的进价为每件40

元，设每件涨价x元．

（1）根据题意，填写下表：

每件涨价/元

4

8

…

x

每件利润/元

20

24

28

20+x

月卖出量/件

300

260

220

300﹣

10x

（2）若该商品上个月的销售利润为5250元，求上个月该商品的定价．

（1）由毎涨价1元每月要少卖出10件，即可得出结论；

（2）根据月销售利润＝每件的利润×

月销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

（1）300﹣10×

4＝260，20+8＝28，

当每件涨价x元时，每件的利润为（20+x）元，每月可卖出（300﹣10x）件．故答案为：

260；

28；

20+x；

300﹣10x．

（2）根据题意得：

（20+x）（300﹣10x）＝5250，整理得：

x2﹣10x﹣5＝0，

解得：

x1＝﹣5，x2＝15．

答：

上个月该商品的定价为15元．

24．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．以点B为中心，顺时针旋转矩形BADC，得到矩形BEFG，点A、D、C的对应点分别为E、F、G．

（1）如图①，当点E落在CD边上时，求线段CE的长；

（2）如图②，当点E落在线段DF上时，求证：

∠ABD＝∠EBD；

（3）在

（2）的条件下，CD与BE交于点H，求线段DH的长．

（1）由旋转性质知BA＝BE＝5，由矩形性质知BC＝AD＝3，再在Rt△

BCE中根据勾股定理可得；

（2）由旋转性质知∠BEF＝∠A＝90°

，BE＝BA，结合点E落在线段DF得∠

BED＝∠A＝90°

，再利用“HL”证△ABD≌△EBD即可得；

（3）设DH＝x，从而得CH＝5﹣x，再由矩形的性质知∠ABD＝∠CDB，结合

∠ABD＝∠EBD知∠CDB＝∠EBD，从而得DH＝BH＝x，在Rt△BCH中，根据CH2+BC2＝BH2求解可得．

（1）由旋转的性质知BA＝BE＝5，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝3，∠C＝90°

∴CE＝

＝4；

（2）由旋转的性质知∠BEF＝∠A＝90°

，BE＝BA，

∵点E落在线段DF，

∴∠BED＝∠A＝90°

，在△ABD和△EBD中，

∵

∴△ABD≌△EBD（HL），

∴∠ABD＝∠EBD；

（3）设DH＝x，

∴AB∥CD，AB＝CD＝5，

∴CH＝CD﹣DH＝5﹣x，∠ABD＝∠CDB，又∵∠ABD＝∠EBD，

∴∠CDB＝∠EBD，

∴DH＝BH＝x，

在Rt△BCH中，∵CH2+BC2＝BH2，

∴（5﹣x）2+32＝x2，

x＝

∴DH＝

【点评】本题是四边形的综合题，主要考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．

25．（10分）抛物线y＝ax2+bx+5的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B（点E在点B的左侧），点P为拋物线上一点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，当点P在AC上方时，作PD

平行于y轴交AB于点D，求使四边形APCD的面积最大时点P的坐标；

（3）设N为x轴上一点，