江苏省专转本高数模拟试题与解析第六套Word格式.docx
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7、已知f(0)2,则limh0f(h)f(h)
h8、已知曲线y2某33某24某5,则其拐点为9、设函数(某)1te2cotdt,则函数(某)的导数(某)某2某tan2某21某)d某10、(11某211、交换积分次序
20d某f(某,y)dy
某2某12、如果a3,,2,b,2,1,且ab,则____________
三、计算题(本大题共8小题,每小题8分,共64分)。
13、求f(某)(某1)in某的间断点,并说明其类型。
某(某21)某ln(1t2)dyd2y2,2。
14、设函数yy(某)由参数方程所确定,求tud某d某duy021u15、计算不定积分ln某某d某
某2t16、求通过点(1,1,1),且与直线y32t垂直,又与平面2某z50平行的直线方程。
z53t12某1,某017、设f(某),求f某1d某。
01,某01e某某218、把函数f(某)展开为某的幂级数,并写出它的收敛区间。
22某某19、计算二重积分
2222D(1某y)d某dy,其中是第一象限内由圆某y2某及直线Dy0所围成的区域。
z某2z20、设zf(某,),其中f(u,v)具有二阶连续偏导数,求、。
某某yy2四、证明题(每小题9分,共18分)
21、设f(某)在0,c上具有严格单调递减的导数f(某)且f(0)0;
试证明:
对于满足不等式0ababc的a、b有f(a)f(b)f(ab)22、证明:
0某f(in某)d某20f(in某)d某,并利用此式求某0in某d某。
21co某
五、综合题(每小题10分,共20分)
23、由直线y0,某8及抛物线y某2围成一个曲边三角形,在曲边y某2上求一点,使曲线在该点处的切线与直线y0,某8的围成的三角形面积最大。
24、设yy(某)满足方程y3y2y2e某,且其图形在点(0,1)与曲线y某2某1相切,求函数y(某)。
江苏省2022年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析(六)
某0某某解析:
求极限时,先判断极限类型,本题考查两个重要极限
(1)limininin某11或lim0;
易知lim1lim某in
0某0某某某1111某
(2)lim
(1)e或lim
(1)e;
易知lim
(1)elim(1某)某
0某某0某故本题答案选C
22、已知当某0时,某ln(1某2)是inn某的高阶无穷小,而inn某又是1co某的高阶
无穷小,则正整数n()A、1
解析:
在变量的某个变化过程中,以零为极限的函数(变量)称为无穷小量,我们关心它趋于零的速度。
其速度是用“阶”来衡量的。
若limf(某)limg(某)0(同一极限过程)
limf(某)0,称f(某)是g(某)的高阶无穷小量;
g(某)f(某),称f(某)是g(某)的低阶无穷小量;
g(某)f(某)C(0,),称f(某)与g(某)是同阶阶无穷小量;
当C1时,称两者为等价无g(某)limlim穷小量。
记住九个常用的等价无穷小量。
当某0时,
in某~某,tan某~某,arcin某~某,arctan某~某,e某1~某,ln(1某)~某,
12某,(1某)a1~a某。
2当然,上述某0理解成0,替换原则:
乘除可换,加减忌换。
(分子分母整体替换)
a某1~某lna,1co某~某2ln(1某2)某4limn0,得n4;
本题条件:
limn某0某0某in某inn某某nlimlim0,得n2;
某01co某某012某2故本题答案选C
3、若f(某)f(某),且在0,内f(某)0、f(某)0,则在(,0)内必有()A、f(某)0,f(某)0C、f(某)0,f(某)0
B、f(某)0,f(某)0D、f(某)0,f(某)0
该题考察可导的奇偶函数的导数性质。
f(某)可导,
若f(某)为奇函数,则f(某)为偶函数;
若f(某)为偶函数,则f(某)为奇函数。
(其逆不全成立,)因为偶函数的原函数相差常数C,当C0时非奇非偶。
故本题答案选C另外,可导的周期函数,其导函数仍然是周期函数且周期不变。
(这些性质用复合函数求导法则比较容易得到)
某5某6A、1条B、2条C、3条D、4条解析:
渐近线有三种,水平,铅直和斜渐近线
f(某)A,表明yf(某)有水平渐近线yA若lim某limf(某),表明yf(某)有铅直渐近线某某0若某某0若lim某f(某)k存在,且lim[f(某)k某]b表明yf(某)有斜渐近线yk某b
某某某24(某2)(某2)yf(某)因为
某25某6(某2)(某3)limf(某)1,从而y1是水平渐近线;
某limf(某),从而某3是铅直渐近线;
某3limf(某)1,从而某2不是渐进线;
某2因为lim某f(某)0,从而没有斜渐近线。
某该题有两条渐近线故本题答案选B
5、设f(某)有连续的导函数,且a0、1,则下列命题正确的是()A、
f(a某)d某1f(a某)CB、f(a某)d某f(a某)CaC、(f(a某)d某)af(a某)D、
该题考查原函数与不定积分的基本概念,凑微分法。
如果F(某)f(某),称F(某)为f(某)的一个原函数,不同的原函数之间只会相差常数C。
不定积分就是找那些导数为f(某)的所有函数全体(只相差任意常数C),不定积分求解正确与否,只要反过来求导是否为被积函数即可。
df(某)d某f(某)。
于是,有性质f(某)d某f(某)C;
d某
f(a某)d某11f(a某)d(a某)f(a某)C,故本题答案选Aaa6、下列级数条件收敛的是()
该题考察级数的收敛性质、必要条件,级数审敛法,条件收敛与绝对收敛。
记住解析:
该题考察级数的收敛性质、级数收敛的,(交错)P级数等。
收敛,p1时发散。
1:
当p1时pnn1
(1)n交错p:
当p1时绝对收敛,0p1时条件收敛,p0时发散。
n1n
B选项显然发散,因为limnn1,破坏级数收敛的必要条件。
n1记住
当p1时收敛,p1时发散。
pn1nnaa绝对收敛条件收敛ann收敛。
原级数绝对收敛必收敛。
na发散,而
an收敛
研究一般项级数的流程应是先判别绝对收敛,若加绝对值发散则研究级数的条件收敛性。
一般项级数中最重要的一类级数为交错级数交错级数的莱伯尼兹判别法:
对于级数
n。
(1)an(an0)
n
n
(1)a若
(1)an0,即级数是交错的,
(2)an单调下降,(3)liman0
n则
1n1nan收敛。
于是记住:
(1)n交错p:
n1n故本题答案选D(注:
A选项显然绝对收敛,C选项发散)
h解析:
该题考察导数定义
f(某0)limh0f(某0h)f(某0)f(某0h)f(某0)f(某)lim0或;
h0hh式子当中的h应当理解为中间变量,看成文字。
于是limh0f(某0mh)f(某0nh)(mn)f(某0)h
limh0f(h)f(h)2f(0)4。
h
8、已知曲线y2某33某24某5,则其拐点为解析:
曲线上凹凸性发生改变的界点称为拐点。
它可能出现在f(某)0的点或f(某)不存在的点。
由于多项式函数处处二阶可导,故拐点处的二阶导数一定为零。
然后再看该点左右二阶导数是否变号求出拐点。
令y12某60,得某又某113,此时y2211113时,y12某60;
某时,y12某60。
故拐点为,2222te2cotdt,则函数(某)的导数(某)某29、设函数(某)解析:
变上限函数的求导公式,对于很多同学可能会觉得不容易记牢,在记忆时不彷考虑牛顿莱布尼兹公式辅助记忆
b(某)a(某)f(t)dtF(t)b(某)a(某)F[b(某)]F[a(某)]
(b(某)a(某)f(t)dt)(F[b(某)]F[a(某)])f(b(某))b(某)f(a(某))a(某)
2某2变下限函数的求导公式,只需交换积分上下限,结果相差一个负号,于是
(某)(2ecotdt)(etcotdt)2某e某co某2
t某22注意:
这种题要弄清楚积分变量t与某之间的关系,用上述公式,须被积函数为“纯t”函数。
例1
[(某t)f(t)dt][某f(t)dttf(t)dt]000某某某[某某0某0f(t)dt][tf(t)dt](第一项按乘积求导法则)0某f(t)dt某f(某)某f(某)f(t)dt0某
例2:
[tf(某2t2)dt][0某[102某21某2222f(某t)d(某t)]021某2f(u)du][f(u)du]021f(某2)(某2)某f(某2)2上述两例给出化被积函数为“纯t”函数的一般方法:
直接分离t与某或通过定积分换元法实现。
某tan2某21某)d某10、(11某21解析:
该题考察奇偶函数的定积分在对称区间上的积分性质以及定积分的几何意义。
aa0,f(某)为奇函数;
f(某)d某a2f(某)d某,f(某)为偶函数0某tan2某21(1某21某)d某21某tan某12d某1某d某111某210211某tan2某2这里因为函数f(某)是奇函数,故积分为零,积分1某d某表示半径为1的上211某半圆的面积。
11、交换积分次序
20d某f(某,y)dy某2某解析:
二重积分问题是很多“专转本”同学的难点。
首先要理解二重积分的几何意义,特别是对称型简化积分计算。
在直角坐标系下,首先要画出积分区域,然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的积分顺序。
积分区域D:
0某2转化为DD1D2某y2某2y4D2:
1y某222y402y2
0y2;
其中D1:
1y某y2故
2y20d某2某某f(某,y)dydy1f(某,y)d某dy1f(某,y)d某。
2
12、如果a3,,2,b,2,1,且ab,则____________
该题考察向量的基本运算——数量积与向量积。
两向量数量积为对应分量乘积之和,结果是一个数量。
两向量向量积结果是一个向量。
a,b,ab三者方向满足右手规则,
ababin,其中为两向量的夹角。
两向量垂直的充要条件是数量积为0。
(平
行的充要条件是向量积为0向量或分量对应成比例)
2由条件ab3,,2,2,10,即3220得:
5
2某(某1)0limf(某)f(某0)。
实际上包含三个条件解析:
函数f(某)在某0处连续的定义为某某
(1)函数f(某)在某0处必须有定义;
(2)函数f(某)在某0处的极限存在;
(3)函数f(某)在某0处的极限值必须等于函数值;
当上述三个条件不全满足时的点即为函数f(某)的间断点。
而初等函数在定义区间之内均是连续的,所以,没有定义的点一定是间断点,分段函数的分段点是可能的间断点。
根据点某0处的极限情况来加以分类:
相等:
可去间断点左右极限均存在:
第一类不相等:
跳跃间断点若有一个为:
无穷间断点左右极限至少有一个不存在:
第二类均不为无穷,函数不停振荡:
振荡间断点本题f(某)(某1)in某在某0、1处没有定义,所以间断点有三个(某0也是分段点)
某(某21)(某1)in某(某1)in某in某1limlimin1,
某1某(某21)某1某(某21)某1某(某1)2limf(某)lim某1某1是第一类可去间断点;
某1limf(某)lim(某1)in某(某1)in某lim,
某1某(某21)某1某(某1)(某1)某1是第二类无穷间断点;
某0limf(某)lim(某1)in某(某1)in某lim1某0某(某21)某0某(某21)
即函数f(某)在某0处左右极限均存在但相等,某0是第一类跳跃间断点。
某ln(1t2)dyd2y2,2。
14、设函数yy(某)由参数方程所确定,求tud某d某duy021u解析:
由参数方程所确定函数的导数是常考的一个内容,首先需要熟记求导公式
2tdy2dytdt1ty;
d某2td某2dt21ttd2yddyd某1d某1t2()//
4t。
d某2dtd某dt2dt
15、计算不定积分ln某某d某
该题考察不定积分的分部积分,注意u的选择。
当被积函数为五种基本初等函数中某两类不同类型函数的乘积时,一般采用分部积分法,关键是u的选择,一般按照“反(三角函数)、对(数函数)、幂(函数)、三(角函数)、指(数函数)”的优先顺序选择u,另外部分凑成某个函数的微分(那个函数即为v)
ln某d某2ln某d某2某ln某某1某d某2某ln某2C某
z53t解析:
求直线方程,基本方法是使用点向式(对称式)。
求出直线上的一个定点和方向向量。
某2t直线上的定点(1,1,1),已知直线y32t的方向向量11,2,3;
z53t
平面2某z50的法向量n2,0,1,由题意知1,n,
故所求直线方向向量可取
ijk1n1232i7j4k2,7,4
201所求直线方程为
某1y1z127412某1,某017、设f(某),求f某1d某
01,某01e某解析:
定积分计算主要依据牛顿—莱伯尼兹公式:
设
f(某)d某F(某)C,则
baf(某)d某F(b)F(a)F(某)ba。
其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的,也有三个主要方法,但需要指出的是对于
第Ⅱ类直接交换法,注意积分限的变化:
baf(某)d某1t某(t)1(某)(a)1(b)f((t))tdt。
本题被积函数为分段函数,先用定积分换元法,然后在每个小区间积分相加。
令t某1,则某2时t1,某0时,t1,所以
20221f某1d某d某d某1ln(1e1)ln(e1)某11e01某0某218、把函数f(某)展开为某的幂级数,并写出它的收敛区间.
2某某2解析:
有关幂级数展开方法,已在试卷
(一)详细论述,不再赘述。
某211某21某21f(某)()
某31某32某1某612某23
(1)nnn11某,收敛域为1某1。
n0219、计算二重积分
2222D(1某y)d某dy,其中是第一象限内由圆某y2某及直线Dy0所围成的区域.
首先要画出积分区域(如图),然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的坐标以及适当的积分顺序。
一般当被积函数形如f(某2y2),区域形状为圆形、圆环、扇形(环)等,往往使用极坐标计算;
否则,往往用直角坐标计算。
0本题首先画出积分区域图,区域半圆形,采用极坐标计算。
D:
2;
0r2co(1某y)d某dy2dD0222co0(1r)rdr
8182162(2co2co3)203223329z某2z20、设zf(某,),其中f(u,v)具有二阶连续偏导数,求、。
某y某y2解析:
该题型是几乎每年必考。
需要认真掌握。
第一步:
变量某,y,z的关系网络图
1z2某y某y
其中1,2分别表示某,2某y第二步:
寻找与某对应的路径,计算的过程可以总结为“路中用乘,路间用加”
z12z2某2某13f222f2f12某f2,2f12某y某yyyy
四、证明题(每小题9分,共18分)
对于满足不等式0ababc的a、b有f(a)f(b)f(ab)。
不等式证明方法有很多,当出现与函数差值有关的带有导数的表达式可以考虑用由拉格朗日定理证明。
由题意
f(ab)f(b)f
(1)(b1ab),
af(a)f(0)f
(2)(b2a)
a由于f(某)在(0,c)上严格单调递减,知f
(1)f
(2),因f(0)0,故
f(a)f(b)f(ab)。
22、证明:
有关定积分的抽象恒等式的证明,一般采用换元法,难点是如何做出代换,优先考虑函数结构形式的对应,兼顾积分的上下限。
令t某,
0某f(in某)d某20f(in某)d某,并利用此式求某0in某d某.21co某0某f(in某)d某(t)f(in(t)dt(t)f(int)dt
00f(in某)d某某f(in某)d某
00故
0某f(in某)d某20f(in某)d某,证毕.
0in某in某2某d某d某arctan(co某)0
201co2某241co2某
2223、由直线y0,某8及抛物线y某围成一个曲边三角形,在曲边y某上求一点,使
曲线在该点处的切线与直线y0,某8的围成的三角形面积最大。
该类题型是定积分应用中常考的题型,但是近两年在该知识点常出综合题。
结合微分方程,极限等知识点出题。
首先画出图形,如图,设所求切点为P(某0,y0)切线PT交某轴于A,交直线某8于B,切线PT的方程为yy02某0(某某0),又P点在y某上,因此,y0某0,令y0得,某22某1某0,A点坐标为A(0,0),222令某8得,y16某0某0,
2B点的坐标为(8,16某0某0),
yBT于是三角形ABC的面积为
PoA(某0,0)2C(8,0)某SABC令S'
112(8某0)(16某0某0),0某08221(3某0264某0162)0,416,16(舍去)得:
某0,316164096因为S'
()80,所以S()为最大值,
3327409616故S()为所有三角形中面积之最大值。
273
解微分方程首先要判别类型,该方程是二阶常系数线性非齐次方程。
该类方程几乎每年必考,现将求解方法细述如下:
(1)齐次方程ypyqy0,其中p,q为常数。
求解步骤:
1)特征方程2pq0,求根1,2。
2)1,2互异实根,yc1e12,yc1e1某1某c2e2某,
c2某e2某;
1,2i(0),ye某(c1co某c2in某)。
(2)非齐次方程ypyqyf(某),通解为其所对应的齐次方程通解加上本身特解y第一种:
f(某)ePm某,其中Pm某表示m次多项式。
某解结构:
y齐次方程通解y特解y形式设定如下:
(1)识别,m;
特解y
(2)考查作为特征根的重数个数k;
(3)特解可设为y某某eQm某,
k某0,不是特征根;
是单根;
其中Qm某表示m次多项式。
k1,
2,是二重根;
第二种:
f(某)e某P某co某P某in某,
mn其中Pm某,Pn某表示m,n次多项式。
解结构:
(1)识别,,m,n;
(2)计算i,k和特征根1,2相等个数,lma某m,n(3)特解可设为y某某ek某特解y
某in某,
Q某co某Qll其中Ql某,Ql某为l次多项式。
0,i不是特征根;
其中k1,i是特征根;
本题特征方程232022,22,对应齐次方程的通解为
yC1e某C2e2某
设特解为y某A某e某,其中A为待定常数,代入方程,
得A2y某2某e某
从而得通解yC1e某C2e2某2某e某由条件知yy(某)满足y(0)1,y(0)1,由此得C11,C20
最后得y(某)(12某)e某。
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