第四章《一元二次方程》导学案.docx
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第四章《一元二次方程》导学案
第一课时一元二次方程
一、学习目标
1正确理解一元二次方程意义,并能判断一个方程是否是一元二次方程;
2知道一元二次方程的一般形式是是常数,),能说出二次项及其系数,一次项及其系数和常数项;
3理解并会用一元二次方程一般形式中a≠0这一条件
4通过问题情境,进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性,体会数学知识来源于生活,又能为生活服务,从而激发学习热情,提高学习兴趣。
二、知识准备:
1、只含有____________个未知数,且未知数的最高次数是___________的整式方程叫一元一次方程
2、方程2(x+1)=3的解是________________
3、方程3x+2x=0.44含有_______个未知数,含有未知数项的最高次数是_______________,它____________(填“是”或“不是”)一元一次方程。
三、学习内容
1、根据题意列方程:
⑴正方形桌面的面积是2㎡,求它的边长。
设正方形桌面的边长是xm,根据题意,得方程_______________,这个方程含有_____个未知数,未知数的最高次数是_____。
⑵如图4-1,矩形花园一面靠墙,另外三面所围的栅栏的总长度是19m,如果花园的面积是24㎡,求花园的长和宽。
设花园的宽是xm,则花园的长是(19-2x)m,根据题意,得:
x(19-2x)=24,去括号,得:
______________这个方程含有____________个未知数,含有未知数项的最高次数是________。
⑶如图,长5m的梯子斜靠在墙上,梯子的底端与墙的距离是3m。
若梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等,求梯子滑动的距离。
(3+x)+设梯子滑动的距离是xm,根据勾股定理,滑动的梯子的顶端离地面4m,则滑动后梯子的顶端离地面(4-x)m,梯子的底端与墙的距离是(3+x)m。
根据题意,得:
去括号,得:
_____________________移项,合并同类项,得:
-_________________此方程含有_____________个未知数,含有未知数项的最高次数是______。
2、概括归纳与知识提升:
⑴像,,这样的方程,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的方程叫一元二次方程。
〖思考感悟〗判断下列方程是否是一元二次方程?
并说明理由。
,,,.
(2)任何一个关于x的一元二次方程都可以化成下面的形式:
是常数,)这种形式叫做一元二次方程的一般形式,其中分别叫做二次项、一次项和常数项,a、b分别叫做二次项系数和一次项系数。
练习:
把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项:
(1)x(11-x)=30
(2)(20+2x)(40-x)=1200
(3)(4)
四、知识梳理
含有_____________个未知数,并且含有未知数的最高次数是_____________的整式方程叫一元二次方程,它的一般形式是_______________________,二次项是_________,一次项是_________,常数项是_________。
五、达标检测
1、方程x(4x+3)=3x+1化为一般形式为_____________,它的二次项系数是______________,一次项系数是_______________,常数项是____________________
2、
(1)方程中,有一个根为2,则n的值.
(2)一元二次方程有一个解为0,试求的解
3、根据题意列方程
(1)一个矩形纸盒的一个面中长比宽多2㎝,这个面的面积是15㎝2,求这个矩形的长与宽;
(2)两个连续正整数的平方和是313,求这两个正整数;
(3)两个数的和为6,积为7,求这两个数;
(4)一个长方形的周长是30㎝,面积是54㎝2,求这个长方形的长与宽。
(六)、学习反馈:
1、本节课有困惑的题目是:
2、本节课的学习收获是:
第二课时一元二次方程的解法
一、学习目标
1、了解形如的一元二次方程的解法——直接开平方法。
2、会用直接开平方法解一元二次方程。
3、理解直接开平方法与平方根的定义的关系。
4、使学生了解转化的思想在解方程中的应用,渗透换元思想。
二、知识准备
1、把下列方程化为一般形式,并说出各项及其系数。
(1)
(2)
(3)
2、要求学生复述平方根的意义。
(3)4的平方根是,81的平方根是,
100的算术平方根是。
三、学习内容
1、如何解方程呢?
由平方根的定义可知即此一元二次方程两个根为。
我们把这种解一元二次方程的方法叫直接开平方法。
形如方程可变形为的形式,用直接开平方法求解。
2、形如的方程的解法。
说明:
(1)解形如的方程时,可把看成整体,然后直开平方程。
(2)注意对方程进行变形,方程左边变为一次式的平方,右边是非负常数,
(3)如果变形后形如中的K是负数,不能直接开平方,说明方程无实数根。
(4)如果变形后形如中的k=0这时可得方程两根相等。
3、试一试
解方程
(1)
(2)
(3)(x+1)2-4=0;(4)12(2-x)2-9=0.
四、知识梳理
1、用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤;
2、对于形如(a≠0,a≥0)的方程,只要把看作一个整体,就可转化为(n≥0)的形式用直接开平方法解。
3、任意一个一元二次方程都可以用直接开平方法解吗?
五、达标检测
1、解下列方程:
(1)x2=169;
(2)45-x2=0;(3)12y2-25=0;(4)4x2+16=0
2、解下列方程:
(1)(x+2)2-16=0
(2)(x-1)2-18=0;(3)(1-3x)2=1;(4)(2x+3)2-25=0
(六)、学习反馈:
1、本节课有困惑的题目是:
2、本节课的学习收获是:
第三课时一元二次方程的解法
一、学习目标
1、经历探究将一元二次方程的一般(n≥0)形式的过程,进一步理解配方法的意义
2、使学生掌握配方法的推导过程,熟练地用配方法解一元二次方程。
3、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程,体会转化的思想方法
二、知识准备
1、请写出完全平方公式。
(a+b)2=(a-b)2=
2、用直接开平方法解下例方程:
(1)
(2)
3、思考:
如何解下例方程
(1)
(2)
三、学习内容
问题1、请你思考方程与有什么关系,如何解方程呢?
问题2、能否将方程转化为(的形式呢?
由此可见,只要先把一个一元二次方程变形为(x+m)2=n的形式(其中m、n都是常数),如果n≥0,再通过直接开平方法求出方程的解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
四、典型例题
例1、解下例方程
(1)-4x+3=0.
(2)x2+3x-1=0
例2、解下列方程
(1)-6x-7=0;
(2)+3x+1=0.
四、知识梳理
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
1、把常数项移到方程右边;
2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方,使左边成为完全平方;
3、利用直接开平方法解之。
思考:
为什么在配方过程中,方程的两边总是加上一次项系数一半的平方?
五、达标检测
1、将下列各式进行配方:
⑴+8x+_____=(x+____)⑵-5x+_____=(x-____)
(3)-6x+_____=(x-_____)
2、.填空:
(1)()=()
(2)-8x+()=()
(3)+x+()=()(4)4-6x+()=4()
3、用配方法解方程:
(1)+2x=5;
(2)-4x+3=0.
(3)+8x-2=0(4)-5x-6=0.
(5)
4、试用配方法证明:
代数式x2+3x-的值不小于-。
(六)、学习反馈:
1、本节课有困惑的题目是:
2、本节课的学习收获是:
第四课时一元二次方程的解法
一、知识目标
1、会用配方法二次项系数不为1的一元二次方程
2、经历探究将一般一元二次方程化成(形式的过程,进一步理解配方法的意义
3、在用配方法解方程的过程中,体会转化的思想。
重点:
使学生掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
难点:
把一元二次方程转化为的(x+m)2=n(n≥0)形式
二、知识准备
1、用配方法解下列方程:
(1)x2-6x-16=0;
(2)x2+3x-2=0;
2、请你思考方程x2-x+1=0与方程2x2-5x+2=0有什么关系?
三、学习内容
如何解方程2x2-5x+2=0?
点拨:
对于二次项系数不为1的一元二次议程,我们可以先将两边同时除以二次项系数,再利用配方法求解
四、典型例题
例1、解方程:
例2、-
五、知识梳理
1、对于二次项系数不为1的一元二次方程,用配方法求解时要注意什么?
2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么?
系数化一,移项,配方,开方,解一元二次方程
六、达标检测
1、填空:
(1)x2-x+=(x-)2,
(2)2x2-3x+=2(x-)2.
(3)a2+b2+2a-4b+5=(a+)2+(b-)2
2、用配方法解一元二次方程2x2-5x-8=0的步骤中第一步是。
3、方程2(x+4)2-10=0的根是.
4、用配方法解方程2x2-4x+3=0,配方正确的是()
A.2x2-4x+4=3+4B.2x2-4x+4=-3+4
C.x2-2x+1=+1D.x2-2x+1=-+1
5、用配方法解下列方程:
(1);
(2)
(3)(4)3y2-y-2=0
6、已知(a+b)2=17,ab=3.求(a-b)2的值.
(六)、学习反馈:
1、本节课有困惑的题目是:
2、本节课的学习收获是:
第五课时一元二次方程的解法
一、知识目标
1、会用公式法解一元二次方程
2、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程,明确运用公式求根的前提条件是b2-4ac≥0
3、在公式的推导过程中培养学生的符号感
重点:
掌握一元二次方程的求根公式,并应用它熟练地解一元二次方程
难点:
求根公式的结构比较复杂,不易记忆;系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误
二、知识准备
1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么?
2、用配方法解下例方程
(1)
(2)
三、学习内容
如何解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)?
1、阅读下列解方程的过程:
因为,方程两边都除以,得
移项,得
配方,得
即
当,时,
,即。
2、思考:
(1)为什么要求?
(2)这个公式说明了什么?
(这个公式说明方程的根是由方程的系数、、所确定的,利用这个公式,我们可以由一元二次方程中系数、、的值,直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。
)
(3)若b2–4ac<0,方程还有根吗?
3、请你利用求根公式解下列方程:
⑴x2+3x+2=0⑵2x2-7x=4
四、知识梳理
1、用公式法解一元二次方程时要注意什么?
2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗?
举例说明。
3、若解一个一元二次方程时,b2-4ac<0,请说明这个方程解的情况。
五、达标检测
1、把方程4-x2=3x化为a
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