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5.平行
6.垂直
7.有趣的七巧板
8.图案设计
第五章一元一次方程
1.你今年几岁了
2.解方程
3.日历中的方程
4.我变胖了
5.打折销售
6.“希望工程”义演
7.能追上小明吗
8.教育储蓄
第六章生活中的数据
1.100万有多大
2.科学记数法
3.扇形统计图
4.月球上有水吗
5.统计图的选择
第七章可能性
1.一定摸到红球吗
2.转盘游戏
3.谁转出的四位数大
课题学习
制成一个尽可能大的无盖长方体
总复习
北师大版初中数学定理知识点汇总[七年级上册(北师大版)]
第一章丰富的图形世界知识点
一、生活中的立体图形
1、立体图形分类两个方法
①按柱体、锥体、球体分类
柱体圆柱:
底面是圆形(平面),侧面是一个曲面。
只有一个侧面,两个底面,并且互相平行
棱柱:
底面是多边形,每个侧面都是平面,多个侧面,,两个底面,并且底面互相平行
圆柱与棱柱共同点:
都有两个底面
锥体圆锥底面是圆形(平面),侧面是一个曲面,只一侧面一底面
棱锥一个底面是多边形,多个侧面,底面与侧面都是平面
圆锥与棱锥共同点:
都只有一个底面
球体只有一个曲面组成
②按组成面是曲面或平面分
2、图形是由点、线、面构成的,面可以分为平面和曲面,面与面相交得到线,线与线相交得到点,反过来,点动成线,线动成面,面动成体。
二、展开与折叠
1、平面图形围成几何体需满足两点:
①上、下底面分别在两侧。
②长方形个数与上、下底面边数必须相等。
规律:
一个正n棱柱有n条侧棱,3n条棱,2n个顶点,2个底面,n个侧面,(n+2)个面。
2、基本几何体的展开。
圆柱展开是两个圆和一个长方形(侧面)
圆锥展开是一个圆和一个扇形(侧面),展开后圆必须在弧上
正方体展开共11种
1—4—1型6个
2—3—1型3个一个“探头”
2—2—2型1个楼梯形
3—3型1个两个“探头”
注意:
(1)田字型与凹字型的全错。
(2)正方体展开至少和最多都只剪开7条棱。
三、截一个几何体
正方体的截面:
三角形(等腰、等边)、正方形、矩形、梯形、五边形、六边形
圆柱的截面:
圆、矩形、椭圆、类似于“拱门形”(抛物线)
圆锥的截面:
三角形、圆、椭圆、类似于“拱门形”(抛物线)
三棱柱的截面:
三角形、四边形、五边形
特别提示:
一个几何体的截面的边数不多于这个几何体的面数(面与面相交得到线,一个面与几何体的每个面都相交得到边数最多的多边形)
四、从不同的方向看
(1)物体的三视图:
主视图、左视图、俯视图
(2)物体三视图之间的关系:
1、主视图和俯视图的长度相等,且相互对正,即“长对正”。
2、主视图和左视图的高度相等,且相互平齐,即“高平齐
3、俯视图与左视图的宽相等,即“宽相等”
(3)已知俯视图画主视图和左视图的方法:
1、主视图与俯视图列数相同,主视图的列数从左往右依次是俯视图从左往右的列数,一一对应。
其每列小正方形数是俯视图该列中的最多小正方体的个数
2、左视图的列数与俯视图行数相同,左视图从左往右的列数与俯视图从上往下是一一对应的,(俯视图的第一行是左视图的第一列,以此类推)其每列的小正方形数是俯视图该行中的最多小正方体的个数
五、生活中的平面图形
多边形相关知识点
从一个n多边形的一个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点能得到n-2个三角形,
从一个n多边形的一个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点有n-3条对角线
一个n多边形共有
(n-3)条对角线
圆上两点之间的部分叫做弧,弧是一条曲线。
扇形:
由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形。
凸多边形和凹多边形都属于多边形。
有弧或不封闭图形都不是多边形。
典型例题
1、一个几何体是由若干个相同的正方体组成的,其主视图和左视图如图所示,则这个几何体最多可由多少个这样的正方体组成?
( )B
A.12个B.13个
C.14个D.18个
2、如图,都是由边长为1的正方体叠成的图形.
第
(1)个图形的表面积为6个平方单位,第
(2)个图形的表面积为18个平方单位,第(3)个图形的表面积是36个平方单位,依此规律,则第(5)个图形的表面积 个平方单位.
第二章有理数及其运算知识点
※数轴的三要素:
原点、正方向、单位长度(三者缺一不可)。
※任何一个有理数,都可以用数轴上的一个点来表示。
(反过来,不能说数轴上所有的点都表示有理数)
※如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。
(0的相反数是0)
※在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的侧,且到原点的距离相等。
¤
数轴上两点表示的数,右边的总比左边的大。
正数在原点的右边,负数在原点的左边。
※绝对值的定义:
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。
数a的绝对值记作|a|。
※正数的绝对值是它本身;
负数的绝对值是它的数;
0的绝对值是0。
或
※绝对值的性质:
除0外,绝对值为正数的数有两个,它们互为相反数;
互为相反数的两数(除0外)的绝对值相等;
任何数的绝对值总是非负数,即|a|≥0
※比较两个负数的大小,绝对值大的反而小。
比较两个负数的大小的步骤如下:
①先求出两个数负数的绝对值;
②比较两个绝对值的大小;
③根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断。
1.①对任何有理数a,都有|a|≥0。
即绝对值不可能为负数。
2.②若|a|=0,则|a|=0,反之亦然
3.③若|a|=b,则a=±
b
4.④对任何有理数a,都有|a|=|-a|
5.几个数的绝对值和为0,则每个绝对值都为0
6.绝对值为正数的数有两个,它们互为相反数。
7.绝对值相等的两个数,它们相等或者互为相反数
※有理数加法法则:
①同号两数相加,取相同符号,并把绝对值相加。
②异号两数相加,绝对值相等时和为0;
绝对值不等时取绝对值较大的数的符号,并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。
③一个数同0相加,仍得这个数。
※加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。
灵活运用运算律,使用运算简化,通常有下列规律:
①互为相反的两个数,可以先相加;
②符号相同的数,可以先相加;
③分母相同的数,可以先相加;
④几个数相加能得到整数,可以先相加。
※有理数减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数。
有理数减法运算时注意两“变”:
①改变运算符号;
②改变减数的性质符号(变为相反数)
有理数减法运算时注意一个“不变”:
被减数与减数的位置不能变换,也就是说,减法没有交换律。
有理数的加减法混合运算的步骤:
①写成省略加号的代数和。
在一个算式中,若有减法,应由有理数的减法法则转化为加法,然后再省略加号和括号;
②利用加法则,加法交换律、结合律简化计算。
(注意:
减去一个数等于加上这个数的相反数,当有减法统一成加法时,减数应变成它本身的相反数。
)
※有理数乘法法则:
①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。
②任何数与0相乘,积仍为0。
※如果两个数互为倒数,则它们的乘积为1。
(如:
-2与
、
…等)
※乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。
有理数乘法运算步骤:
①先确定积的符号;
②求出各因数的绝对值的积。
乘积为1的两个有理数互为倒数。
①零没有倒数
②求分数的倒数,就是把分数的分子分母颠倒位置。
一个带分数要先化成假分数。
③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。
※有理数除法法则:
①两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
②0除以任何非0的数都得0。
0不可作为除数,否则无意义。
※有理数的乘方
※注意:
①一个数可以看作是本身的一次方,如5=51;
②当底数是负数或分数时,要先用括号将底数括上,再在右上角写指数。
※乘方的运算性质:
①正数的任何次幂都是正数;
②负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;
③任何数的偶数次幂都是非负数;
④1的任何次幂都得1,0的任何次幂都得0;
⑤-1的偶次幂得1;
-1的奇次幂得-1;
⑥在运算过程中,首先要确定幂的符号,然后再计算幂的绝对值。
※有理数混合运算法则:
①先算乘方,再算乘除,最后算加减。
②如果有括号,先算括号里面的
1、若|m-1|=m-1,则m_______1.若|x|=|-4|,则x=_______.
若|-x|=|
|,则x=_______.若|m-1|>
m-1,则m_______1.
2、若|x-2|+|y+3|+|z-5|=0
计算:
(1)x,y,z的值.
(2)求|x|+|y|+|z|的值.
3、若2<
a<
4,化简|2-a|+|a-4|
4、
(1)若
=1,求x
(2)若
=-1,求x.
5、若│a│=6,│b│=2,求a-b的值
6、计算
第三章字母表示数知识点
※代数式的概念:
用运算符号(加、减、乘除、乘方、开方等)把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
①代数式中除了含有数、字母和运算符号外,还可以有括号;
②代数式中不含有“=、>
、<
、≠”等符号。
等式和不等式都不是代数式,但等号和不等号两边的式子一般都是代数式;
③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义,是实际问题的要符合实际问题的意义。
※代数式的书写格式:
①代数式中出现乘号,通常省略不写,如vt;
②数字与字母相乘时,数字应写在字母前面,如4a;
③带分数与字母相乘时,应先把带分数化成假分数后与字母相乘,如
应写作
;
④数字与数字相乘,一般仍用“×
”号,即“×
”号不省略;
⑤在代数式中出现除法运算时,一般按照分数的写法来写,如4÷
(a-4)应写作
分数线具有“÷
”号和括号的双重作用。
⑥在表示和(或)差的代差的代数式后有单位名称的,则必须把代数式括起来,再将单位名称写在式子的后面,如
平方米
※代数式的系数:
代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数。
如3x,4y的系数分别为3,4。
注意:
①单个字母的系数是1,如a的系数是1;
②只含字母因数的代数式的系数是1或-1,如-ab的系数是-1。
a3b的系数是1
※代数式的项:
代数式
表示6x2、-2x、-7的和,6x2、-2x、-7是它的项,其中把不含字母的项叫做常数项
在交待某一项时,应与前面的符号一起交待。
※同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
①判断几个代数式是否是同类项有两个条件:
a.所含字母相同;
b.相同字母的指数也相同。
这两个条件缺一不可;
②同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关;
③几个常数项也是同类项。
※合并同类项:
把代数式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项。
①合并同类项的理论根据是逆用乘法分配律;
②合并同类项的法则是把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。
①如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后结果为0;
②不是同类项的不能合并,不能合并的项,在每步运算中都要写上;
③只要不再有同类项,就是最后结果,结果还是代数式。
※根据去括号法则去括号:
括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不改变符号;
括号前面是“-”号去掉,括号里各项都改变符号。
※根据分配律去括号:
括号前面是“+”号看成+1,括号前面是“-”号看成-1,根据乘法的分配律用+1或-1去乘括号里的每一项以达到去括号的目的。
①去括号时,要连同括号前面的符号一起去掉;
②去括号时,首先要弄清楚括号前是“+”号还是“-”号;
③改变符号时,各项都变号;
不改变符号时,各项都不变号。
1、某电信公司调整电话收费标准,本地网营业区通话费是:
前3分钟内(含3分钟)为0.2元(不足3分钟按3分钟计算),以后每分钟再收0.1(不足1分钟按1分钟计算).
(1)请你写出通话时间x分钟(x为非负数)表示通话费用的代数式。
(2)昨天,小明共通话两次,分别为2分30秒和4分钟,每次应付多少元话费?
(3)调整前的电话收费标准是每3分钟0.2元(不足3分钟按3分钟计算),按此标准计算昨天小明的话费是多少?
2、已知
=3,求代数式2
—
的值。
3、若
+
=0,则m+2n的值为________
4、已知a+
=5,求代数式
+a-3+
5、已知
=
=k(k≠0),求代数式
6、当x=﹣1时,代数式2a
-3bx+8的值为18,求代数式9b﹣6a+2的值。
7、已知a-b=3,c+d=﹣2,求(b+c)-(a-d)的值。
8、将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放:
第1个图形有6个小圆,第2个图形有10个小圆,第3个图形有16个小圆,第4个图形有24个小圆,……,依次规律,第6个图形有个小圆.
第四章平面图形及位置关系知识点
一.线段、射线、直线
※1.正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别:
名称
图形
表示方法
端点
长度
直线
直线AB(或BA)
直线l
无端点
无法度量
射线
射线OM
1个
线段
线段AB(或BA)
线段l
2个
可度量长度
※2.直线公理:
经过两点有且只有一条直线.
二.比较线段的长短
※1.线段公理:
两点间线段最短;
两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离.
※2.比较线段长短的两种方法:
①圆规截取比较法;
②刻度尺度量比较法.
※3.用刻度尺可以画出线段的中点,线段的和、差、倍、分;
用圆规可以画出线段的和、差、倍.
三.角的度量与表示
※1.角:
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角;
这个公共端点叫做角的顶点;
这两条射线叫做角的边.
※2.角的表示法:
角的符号为“∠”
①用三个字母表示,如图1所示∠AOB
②用一个字母表示,如图2所示∠b
③用一个数字表示,如图3所示∠1
④用希腊字母表示,如图4所示∠β
※直线的性质:
经过两点有且只有一条直线。
※线段的性质:
两点之间的所有连线中,线段最短。
※两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离。
1º
=60’1’=60”
※角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。
如图5所示:
※一条射线绕它的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,所成的角叫做平角。
如图6所示:
※终边继续旋转,当它又和始边重合时,所成的角叫做周角。
如图7所示:
※从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
时针的时针与分针的夹角问题:
一大格=
=30°
,一小格=
=6°
分针一分钟转6°
,时针每小时转一大格即30°
一分钟转
=0.5°
M时n分,时针与分针夹角x=
※经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
※如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。
※互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
※平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
※如图8所示,过点C作直线AB的垂线,垂足为O点,线段CO的长度叫做点C到直线AB的距离。
1、已知线段AB=10cm,直线AB上有点C,且BC=4cm,M是线段AC的中点,则AM=
cm。
2、平面内有三个点,过任意两点画一条直线,则可以画直线的条数是()
A.2条B.3条C.4条D.1条或3条
3、已知:
如图,点C是线段AB上一点,且3AC=2AB.D是AB的中点,E是CB的中点,DE=6,求:
(1)AB的长;
(2)求AD:
CB.
4、已知,点O在直线DE上,AO⊥BO,OC⊥DE,∠COB=50°
,求:
∠AOC,∠DOC和∠AOE的度数
5、如图所示,∠AOC比∠BOC小30°
,∠AOD=∠BOD,求∠DOC的度数。
6已知OA⊥OB,∠AOB∶∠AOC=3∶1,则∠BOC=
第五章一元一次方程知识点
※在一个方程中,只含有一个未知数x(元),并且未知数的指数是1(次),这样的方程叫做一元一次方程。
※等式两边同时加上(或减去)同一个代数式,所得结果仍是等式。
※等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式。
※解方程的步骤:
解一元一次方程,一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等几个步骤,把一个一元一次方程“转化”成ax=b的形式。
关于ax=b形式的一元一次方程解得情况:
当a≠0时,x=
方程有唯一解
当a=0,b≠0时,方程无解
当a=0且b=0时,方程有无数个解(对于任意x的值都满足方程)
1、解关于x的方程kx+m=(2k-1)x+4
2、某月的日历上的一个竖列上的数之和为58,则这个竖列上第一数是
数字问题
3、有一个三位数,个位数字为百位数字的2倍,十位数字比百位数字大1,若将此数个位与百位顺序对调(个位变百位)所得的新数比原数的2倍少49,求原数。
4、一个五位数最高位上的数字是2,如果把这个数字移到个位数字的右边,那么所得的数比原来的数的3倍多489,求原数。
浓度问题
1、有含盐20%的盐水5千克,要配制成含盐8%的盐水,需加水______________千克。
2、某化工厂现有浓度为15%的稀硫酸175千克,要把它配成浓度为25%的硫酸,需要加入浓度为50%的硫酸多少千克?
3、今需将浓度为80%和15%的两种农药配制成浓度为20%的农药4千克,问两种农药应各取多少千克?
4、现有含盐16%的盐水30斤,要配制成含盐20%的盐水,需蒸发掉水多少斤?
打折销售
1、某服装店在某一时间以每件135元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,试问:
(1)卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏?
(2)把题目中的135改为任意正数a,情况如何?
2、某商品出售一件商品,按定价打九折赚215元,打八折亏125元,这件商品原价多少元?
“希望工程”义演
调配问题
1、甲、乙两车间各有工人若干,如果从乙车间调100人到甲车间,那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍;
如果从甲车间调100人到乙车间,这时两车间的人数相等,求原来甲乙车间的人数。
分配问题
1、学校春游,如果每辆汽车坐45人,则有28人没有上车;
如果每辆坐50人,则空出一辆汽车,并且有一辆车还可以坐12人,问共有多少学生,多少汽车?
配套问题
1、某厂生产一批西装,每2米布可以裁上衣3件,或裁裤子4条,现有花呢240米,为了使上衣和裤子配套,裁上衣和裤子应该各用花呢多少米?
工程问题
1、某工程由甲、乙两队完成,甲队单独完成需16天,乙队单独完成需12天。
如先由甲队做4天,然后两队合做,问再做几天后可完成工程的六分之五?
行程问题
1、在800米跑道上有两人练中长路,甲每分钟跑320米,乙每分钟跑280米,两人同时同地同向起跑,t分钟后第一次相遇,t等于___________分钟.
2、一列客车长200m,一列货车长280m,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相遇到两车尾相离经过16秒,已知客车与货车的速度之比是3∶2,问两车每秒各行驶多少米?
3、休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家,我们走了1小时后,爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里,便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追,如果我和妈妈每小时行2千米,从家里到外婆家需要1小时45分钟,问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗?
行船问题
1、一艘船在两个码头之间航行,水流速度是3千米每小时,顺水航行需要2小时,逆水航行需要3小时,求两码头的之间的距离?
2、一架飞机飞行在两个城市之间,风速为每小时24千米,顺风飞行需要2小时50分钟,逆风飞行需要3小时,求两城市间距离。
教育储蓄
1、某人将2000元钱按两种不同方式存入银行,将其中1000元按活期方式存一年,另1000元按定期方式存一年,一年后共取回2104.4.又知定期一年的存款月利率为0.63%。
求活期存款的月利率。
2、在“家电下乡”活动期间,凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴,村民小李购买了一台a型洗衣机,小王购买了一台b型洗衣机,两人一共得到财政补贴351元,又知b型洗衣机售价比a型洗衣机售价多500元。
求
(1)a型洗衣机和b型洗衣机的售价各是多少元?
(2)小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元?
3、国家规定个人发表文章、出版图书获得的稿费纳税方法是:
:
稿费x
纳税办法
x≤800
不纳税
800﹤x≤4000
超过800部分的14%
x>4000
全部稿费的12%
(1)宋老师若得到稿费4500元,需缴纳个人所得税多少元?
(2)宋老师得到一笔稿费,缴纳427元人所得税。
宋老师得稿费是多少元钱?
(3)若宋老师缴纳696元个人所得税,则这笔稿费是多少钱?
方案设计与成本分析:
1、我省某地生产的一种绿色蔬菜,在市场上若直接销售,每吨利润为1000元,经粗加工后销售,每吨利润可达4500元,经精加工后销售每吨获利7500元。
当地一家农工商企业收购这种蔬菜140吨,该企业加工厂的生产能力是:
如果对蔬菜进行粗加工,每天可以加工16吨,如果进行细加工,每天可以加工6吨,但两种加工方式不能同时进行。
受季节条件限制,企业必须在15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕,企业研制了三种可行方案。
方案一:
将蔬菜全部进行粗加工;
方案二:
尽可能多的对蔬菜进行精加工,来不及进行加工的蔬菜,在市场上直接销售;
方案三:
将一部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好用15天。
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