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】设函数f(x)=lg(1-x2),集合A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)},则图中阴影部分表示的集合为( )A.[-1,0]B.(-1,0)C.(-∞,-1)∪[0,1)D.(-∞,-1]∪(0,1)
题型三 与不等式综合考查
【例3】若集合A={x|x2-x-2<
0},B={x|-2<
x<
a},则“A∩B≠∅”的充要条件是( )
A.a>
-2B.a≤-2C.a>
-1D.a≥-1
【精题狂练】
1.已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B等于( )
A.(0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.(1,2]
2.已知集合A={x|x2+x-2=0},B={x|ax=1},若A∩B=B,则a等于( )
A.-或1B.2或-1C.-2或1或0D.-或1或0
3.已知集合A={x|x2-2x>
0},B={x|-<
},则( )
A.A∩B=∅B.A∪B=RC.B⊆AD.A⊆B
4.(2014·
浙江)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁UA等于( )
A.∅B.{2}C.{5}D.{2,5}
5.已知M={y|y=2x},N={(x,y)|x2+y2=4},则M∩N中元素个数为( )
A.0B.1C.2D.不确定
6.设集合S={x|x>
2},T={x|x2-3x-4≤0},则(∁RS)∩(∁RT)等于( )
A.(2,4]B.(-∞,-1)C.(-∞,2]D.(4,+∞)
7.若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a等于( )
A.4B.2C.0D.0或4
8.已知集合A={x∈R||x-1|<
2},Z为整数集,则集合A∩Z中所有元素的和等于________.
9.已知集合A={3,m2},B={-1,3,2m-1}.若A⊆B,则实数m的值为________.
10.对于E={a1,a2,…,a100}的子集X={
,
,…,
},定义X的“特征数列”为x1,x2,…,x100,其中
=
=…=
=1,其余项均为0.例如:
子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0,…,0.
(1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前3项和等于________;
(2)若E的子集P的“特征数列”p1,p2,…,p100满足p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99;
E的子集Q的“特征数列”q1,q2,…,q100满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为________.
11.已知函数f(x)=的定义域为集合A,函数g(x)=lg(-x2+2x+m)的定义域为集合B.
(1)当m=3时,求A∩(∁RB);
(2)若A∩B={x|-1<
4},求实数m的值.
12.已知集合A={x|3≤x<
7},B={x|2<
10},C={x|x<
a},全集为实数集R.
(1)求A∪B;
(2)(∁RA)∩B;
(3)如果A∩C≠∅,求a的取值范围.
第2练 常用逻辑用语中的“常考题型”
常用逻辑用语应突出“逻辑”二字,处理好逻辑关系是做好一切事情的根本,可以起到很快很好的效果.本部分内容在各地区文理科的高考题中也都有所考查,主要形式为充分必要条件问题以及逻辑用语等方面,内容包罗万象,上至大学新信息、新定义题,下至初中、小学所学过的平面几何等知识,所以一定要学好这部分内容.
题型一 充分必要条件问题
【例1】
(1)若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数,则“f(x)与g(x)都为增函数”是“f(x)+g(x)是增函数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
(2)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>
0,ω>
0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ=”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
题型二 逻辑联结词、命题真假的判定
【例2】下列叙述正确的个数是( )
①l为直线,α、β为两个不重合的平面,若l⊥β,α⊥β,则l∥α;
②若命题p:
∃x0∈R,x-x0+1≤0,则綈p:
∀x∈R,x2-x+1>
0;
③在△ABC中,“∠A=60°
”是“cosA=”的充要条件;
④若向量a,b满足a·
b<
0,则a与b的夹角为钝角.
A.1B.2C.3D.4
1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的( )
2.命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是( )
A.若α≠,则tanα≠1B.若α=,则tanα≠1C.若tanα≠1,则α≠D.若tanα≠1,则α=
3.下面是关于公差d>
0的等差数列{an}的四个命题:
p1:
数列{an}是递增数列;
p2:
数列{nan}是递增数列;
p3:
数列是递增数列;
p4:
数列{an+3nd}是递增数列.
其中的真命题为( )A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4
4.已知p:
<
1,q:
(x-a)(x-3)>
0,若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1)B.[1,3]C.[1,+∞)D.[3,+∞)
5.命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为( )
A.对任意x∈R,都有x2<
0B.不存在x∈R,使得x2<
0C.存在x0∈R,使得x≥0D.存在x0∈R,使得x<
6.若命题p:
函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),命题q:
函数y=x-的单调递增区间是[1,+∞),则( )A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题C.非p是真命题D.非q是真命题
7.下列关于命题的说法中错误的是( )
A.对于命题p:
∃x∈R,使得x2+x+1<
0,则綈p:
∀x∈R,均有x2+x+1≥0
B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件
C.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:
“若x≠1,则x2-3x+2≠0”
D.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题
8.下列命题中,是真命题的是( )
A.存在x∈,使sinx+cosx>
B.存在x∈(3,+∞),使2x+1≥x2
C.存在x∈R,使x2=x-1D.对任意x∈,使sinx<
x
9.“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
10.下列命题中错误的是( )
A.命题“若x2-5x+6=0,则x=2”的逆否命题是“若x≠2,则x2-5x+6≠0”
B.若x,y∈R,则“x=y”是“xy≤2中等号成立”的充要条件
C.已知命题p和q,若p∨q为假命题,则命题p与q中必一真一假
D.对命题p:
∃x∈R,使得x2-2ax-a2<
∀x∈R,x2-2ax-a2≥0
11.设m,n是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列选项中不正确的是( )
A.当n⊥α时,“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件
B.当m⊂α时,“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
C.当m⊂α时,“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件
D.当m⊂α时,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件
12.对于原命题“单调函数不是周期函数”,下列陈述正确的是( )
A.逆命题为“周期函数不是单调函数”B.否命题为“单调函数是周期函数”
C.逆否命题为“周期函数是单调函数”D.以上三者都不正确
第3练 突破充要条件的综合性问题
有关充要条件主要有两类题目:
一类是判断充要条件,另一类是根据充分必要条件求参数范围.解决这些问题的关键在于审清题意,分清何为条件,何为结论,然后看谁能够推出谁.
题型一 充分必要条件的判断方法
【例1】“ea>
eb”是“log2a>
log2b”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
题型二 根据充要条件求参数范围
【例2】函数f(x)=有且只有一个零点的充分不必要条件是( )
A.a<
0B.0<
a<
C.<
1D.a≤0或a>
1
1.甲:
x≠2或y≠3;
乙:
x+y≠5,则( )
A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件
2.设命题p:
|4x-3|≤1;
命题q:
x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若非p是非q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.(-∞,0)∪D.(-∞,0)∪
3.设a>
0且a≠1,则“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
湖北)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6.“m=-1”是“直线l1:
2x-my=2m-1与直线l2:
x+2my=m-2垂直”的( )
7.给定两个命题p,q.若綈p是q的必要而不充分条件,则p是綈q的( )
8.已知下列各组命题,其中p是q的充分必要条件的是( )
A.p:
m≤-2或m≥6;
q:
y=x2+mx+m+3有两个不同的零点B.p:
=1;
y=f(x)是偶函数
C.p:
cosα=cosβ;
tanα=tanβD.p:
A∩B=A;
A⊆U,B⊆U,∁UB⊆∁UA
9.在直角坐标系中,点(2m+3-m2,)在第四象限的充分必要条件是________.
10.已知命题p:
实数m满足m2+12a2<
7am(a>
0),命题q:
实数m满足方程+=1表示的焦点在y轴上的椭圆,且p是q的充分不必要条件,a的取值范围为________.
11.给出下列命题:
①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan+1}为等比数列”的充分不必要条件;
②“a=2”是“函数f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件;
③“m=3”是“直线(m+3)x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直”的充要条件;
④设a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=,则“A=30°
”是“B=60°
”的必要不充分条件.其中,真命题的序号是________.
12.下面有四个关于充要条件的命题:
①“向量b与非零向量a共线”的充要条件是“有且只有一个实数λ使得b=λa”;
②“函数y=x2+bx+c为偶函数”的充要条件是“b=0”;
③“两个事件为互斥事件”是“这两个事件为对立事件”的充要条件;
④设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的充分不必要条件.其中,真命题的序号是________.
第4练 再谈“三个二次”的转化策略
函数与不等式是高考的热点和重点,其中“二次”又是各不等式的基础.“三个二次”经常相互转化,相辅相成,可以说是“密不可分”,是一个有机的整体,解决好这部分题目时要学会触类旁通.
题型一 函数与方程的转化
【例1】设定义域为R的函数f(x)=则关于x的函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点的个数为________.
题型二 函数与不等式的转化
【例2】已知一元二次不等式f(x)<
0的解集为{x|x<
-1或x>
},则f(10x)>
0的解集为( )
A.{x|x<
lg2}B.{x|-1<
lg2}C.{x|x>
-lg2}D.{x|x<
-lg2}
题型三 方程与不等式的转化
【例3】已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围;
(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的取值范围.
1.若A={x|x2+(p+2)x+1=0,x∈R},B={x|x>
0},且A∩B=∅,则实数p的取值范围是( )
A.p>
-4B.-4<
p<
0C.p≥0D.R
2.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上的最大值为3,最小值为2,则m的取值范围为( )
A.[1,+∞)B.[0,2]C.(-∞,-2]D.[1,2]
3.方程x2-x-m=0在x∈[-1,1]上有实根,则m的取值范围是( )
A.m≤-B.-<
m<
C.m≥D.-≤m≤
4.已知函数f(x)=若关于x的方程f2(x)-af(x)=0恰有5个不同的实数解,则a的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(0,3)
5.(2013·
重庆)若a<
c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( )
A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内
6.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2.若f(x1)=x1<
x2,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根的个数为( )A.3B.4C.5D.6
7.若关于x的不等式(2x-1)2<
ax2的解集中整数恰好有3个,则实数a的取值范围是__________.
8.已知函数f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,则a的取值范围________.
9.已知函数f(x)=2ax2+2x-3.如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,则实数a的取值范围为______________.
10.已知定义在R上的单调递增奇函数f(x),若当0≤θ≤时,f(cos2θ+2msinθ)+f(-2m-2)<
0恒成立,则实数m的取值范围是________.
11.已知函数f(x)=2asin2x-2asinxcosx+a+b(a≠0)的定义域是,值域是[-5,1],求常数a,b的值.
12.已知函数f(x)=ax2+ax和g(x)=x-a,其中a∈R,且a≠0.若函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A、B,O为坐标原点,试求△OAB的面积S的最大值.
题型一函数与方程的转化
【例1】设定义域为R的函数f(x)=则关于x的函数y=2f2(x)-3f(x)+1的
零点的个数为________.
1.若A={x|x2+(p+2)x+1=0,x∈R},B={x|x>
4.已知函数f(x)=若关于x的方程f2(x)-af(x)=0恰有5个不同的实数解,则a的取值范围是( )
A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(0,3)
x2,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根的个数为( )
A.3B.4C.5D.6
第5练 如何用好基本不等式
题型一 利用基本不等式求解最大值、最小值问题
(1)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最小值时,x+2y-z的最大值为( )
A.0B.C.2D.
(2)函数y=的最大值为________.
题型二 利用基本不等式求最值的综合性问题
】如图所示,在直角坐标系xOy中,点P(1,)到抛物线C:
y2=2px(p>
0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB的中点Q(m,n)在直线OM上.
(1)求曲线C的方程及t的值;
(2)记d=,求d的最大值.
1.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<
b),其全程的平均时速为v,则( )
v<
B.v=C.<
D.v=
2.若函数f(x)=x+(x>
2)在x=a处取最小值,则a等于( )
A.1+B.1+C.3D.4
0,b>
0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为( )
A.8B.4C.1D.
4.已知m=a+(a>
2),n=x-2(x≥),则m与n之间的大小关系为( )
A.m<
nB.m>
nC.m≥nD.m≤n
5.已知正数x,y满足x+2≤λ(x+y)恒成立,则实数λ的最小值为( )
6.已知a>
0,若不等式--≤0恒成立,则m的最大值为( )
A.4B.16C.9D.3
7.若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是________.
8.已知a>
0,函数f(x)=x2+(ab-a-4b)x+ab是偶函数,则f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为________.
9.若对任意x>
0,≤a恒成立,则a的取值范围是________.
10.
(1)已知0<
,求y=2x-5x2的最大值;
(2)求函数y=(x>
-1)的最小值.
11.如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>
0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,
试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?
请说明理由.
12.为了响应国家号召,某地决定分批建设保障性住房供给社会.首批计划用100万元购得一块土地,该土地可以建造每层1000平方米的楼房,楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高20元.已知建筑第5层楼房时,每平方米建筑费用为800元.
(1)若建筑第x层楼时,该楼房综合费用为y万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和),写出y=f(x)的表达式;
(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,应把楼层建成几层?
此时平均综合费用为每平方米多少元?
第6练 处理好“线性规划问题”的规划
题型一 不等式组所确定的区域问题
【例1】已知点M(x,y)的坐标满足不等式组则此不等式组确定的平面区域的面积S的大小是( )A.1B.2C.3D.4
题型二 求解目标函数在可行域中的最值问题
【例2】若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值与最小值的和为________.
题型三 利用线性规划求解实际应用题
【例3】某旅行
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