三角形中的边角关系命题与证明学习指导Word格式.docx
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同位角相等两直线平行。
(2)两直线平行内错角相等、同旁内角互补。
内错角相等两直线平行。
同旁内角互补两直线平行。
(3)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
(4)线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
(5)三角形内角和定理和推论。
三角形中位线定理。
(6)三角形全等:
“SSS、“SAS、“ASA。
全等三角形的对应边相等,对应角相等。
(7)等腰三角形的判定与性质。
(8)直角三角形的判定与性质。
9.反证法
①假设,②推理,③矛盾,④结论。
《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》练习题
一、填空题:
1•三角形的一边是8,另一边是1,第三边如果是整数,则第三边是,这个三角形是
三角形。
2•已知三角形两边的长分别为1和2,如果第三边的长也是整数,那么第三边的长为。
3.三角形的三边长分别为a-1,a,a+1,则a的取值范围是。
4.三角形的三边为1,1-a,9,则a的取值范围是。
5.已知a,b,c为厶ABC的三条边,化简Q(a+b-c)2-|b—a-c|=。
6.在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,AABD的周长为30cm求AD的长。
7.如图,CE平分/ACB且CE!
DB/DAB=ZDBAAC=18cm,△CBD的周长为28cm,贝UDB=。
8.已知等腰三角形两边长分别为4和9,则第三边的长为。
题图
9.等腰三角形的周长为20cm,
(1)若其中一边长为6cm,则腰长为;
(2)若其中一边长为5cm,则腰长为。
10.等腰△ABC中,AB=AC,BC=6cm则厶ABC的周长的取值范围是。
11.
等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和6厘米两部分,则此三角形的底边长为
13.写出“等腰三角形两底角相等”的逆命题
14•已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:
4,则这个等腰三角形顶角的度数为。
15•三角形的最小角不大于___度,最大角不小于___度。
16.三角形的三个内角中至少有___个锐角,三个外角中最多有___个锐角。
17.在△ABC中,若/C=2(/A+ZB),则/C====_=^度。
11
18.在△ABC中,ZA=—ZB=—ZC,则ZB=。
23
19.如果△ABC的一个外角等于150°
且ZB=ZC,则ZA=。
20.如图,已知Z1=20°
Z2=25°
ZA=50°
,则ZBDC的度数是。
21.如图,在△ABC中,ZA=80°
ZABC和ZACB的外角平分线相交于点D,那么ZBDC=
22.纸片△ABC中,ZA=65°
ZB=75°
将纸片的一角折叠,使点C落在△ABC内(如图),若Z1=
20。
,则Z2的度数为。
24.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段,完成所提出的问题。
探究1:
如图1,在△ABC中,O是ZABC与ZACB的平分线BO和CC的交点,通过分析发现1
ZBOC=90°
+-ZA,理由如下:
2
•/BO和CO分别是ZABC和ZACB的角平分线,
•••Z1=—ZABCZ2=—ZACB
22
1
•Z1+Z2=—(ZABC+ZACB)
又tZABC+ZACB=180°
—ZA
•••/1+Z2=(180°
-ZA)=90°
—/A
•ZBOC=180°
—(Z1+Z2)=180°
—(90°
—_ZA)=90°
+—ZA。
请
(只
探究2:
如图2中,O是ZABC与外角ZACD勺平分线BO和CO的交点,试分析ZBOC与ZA有怎样的关系?
说明理由。
探究3:
如图3中,O是外角ZDBC与外角ZECB的平分线BO和CO的交点,则ZBOCWZA有怎样的关系?
写结论,不需证明)。
结论:
。
(第25题图)(第26题图)
(第27题图)
28.如图,△ABC的外角ZACD的平分线CP与内角ZABC的平分线
BP交于点P,若ZBPC=40
,则ZCAP=
度。
1.
2.
3.
4.
5.
5
6.
7.
、选择题:
在下列长度的四根木棒中,能与3cm,
A.7cmB.4cm
若△ABC的三边长分别为整数,周长为
A.7B.6C.5
若厶ABC的三边之长都是整数,周长小于
A.6个B.7个
三角形的三边分别为3,1—2a,8,则
A.—6vav—3B.—5vav—2
7cm两根木棒围成一个三角形的()
C.3cmD.10cm
11,且有一边为4,则这个三角形的最大边长为(
D.4
10,则这样的三角形共有(
C.8个
a的取值范围是(
C.2vav5
4和2011,
D
)
D.a
一个三角形的周长为奇数,其中两条边长分别为
A.3B.4
D.6
10,可以组成三角形的组数为()
C.2D.1
15和12两部分,则此三角形底边之长为
C.7或11D
2:
3:
7,这个三角形一定是
4、6、8、
四条线段的长度分别为
A.4B.3
等腰三角形一腰上的中线分周长为
A.7B.11
一个三角形三个内角的度数之比为
v—5或a>
—2
则满足条件的三角形的个数是(
C.
:
)
•不能确定
A.直角三角形B
.等腰三角形
C
.锐角三角形
D.钝角三角形
9.
已知一个三角形三个内角度数的比是
1:
5:
6,
则其最大内角的度数(
A.60°
B
.75°
.90°
.120°
10.
.如果三角形的一个内角等于其它两个内角的和,这个三角形是(
A.锐角三角形B.
钝角三角形
直角三角形
D.
斜三角形
.三角形的一个外角大于相邻的一个内角,
则它是(
A.直角三角形B.
锐角三角形
不能确定
12.
.在厶ABC中,如果/A—ZB=90°
,
那么△ABC>
()
13.
三角形中,最大角:
-
的取值范围是(
A.090
B.
60
:
:
180
C.60_:
-:
90
D.60
-:
14.
.在厶ABC中,AB=AC
D在AC上,且
BD=BC=AD则ZA的度数为(
A.30°
.36°
.45°
8.
D.72°
15.直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是(
A.45°
B.135
16.如图,△ABC中,/A=50°
,点
230°
A.130°
B.
17.已知如图,/A=32°
A.120°
B.115
C.45
E分别在AB
或
AC上,
180°
135°
则/
则/DFE等于(
1+Z2的大小为(
D.310°
以上答案都不对
(第16题图)
(第17题图)
18.在△ABC中,/B=50°
A.0°
<
ZAv180°
AB>
AC,则/A的取值范围是()
B.0°
ZA<
800
C.50°
130
D.80°
19•若:
•、■->
是三角形的三个内角,而
x-•-,鸟二-,z=-:
-,那么x、y、z中,锐
.可能有一个锐角
.最多一个锐角
2倍,且等于它不相邻内角的4倍,那么这个三角形一定是
C•钝角三角形D•正三角形
角的个数的错误判断是(C)A•可能没有锐角B
C.可能有两个锐角D
20•如果三角形的一个外角等于它相邻内角的
A•锐角三角形B•直角三角形21.在ABC中
⑴如图1,若P点是/ABC和/ACB的角平分线的交点,则/P=90°
/A
⑵如图2,若P点是/ABC和外角/ACE的角平分线的交点,则/P=/A;
⑶如图3,若P点是外角/CBF和/BCE的角平分线的交点,则/P=90°
——/A。
22.如图所示,在△ABC中,已知点D、E、F分别为边BGADCE的中点,且S^Bc=4cm2,则S阴影
等于()
24.如图,在△ABC中,D是BC上一点,若/B=ZC,/1=Z3,则/1与/2的关系为(
A./1=2/2
C.―:
_I'
B.:
?
3Z1-Z2=18O°
B1)C
图3
(第22题图)
(第23题图)
(第24题图)
25.如图,把△ABC纸片沿DE折叠,使点
A落在四边形BCDE外部A的位置,则/A'
、/1与/2的数量关系,结
26.
27.
论正确是()
A.Z1=/2+ZA'
C.2/1=72+ZA'
如图,△
如图,
A.45
B
ABC的两个外角的平分线相交于D,
B.80°
C
ABC的外角平分线CP和内角平分线
O
若/B=50°
.65°
BP相交于点
.71=272+27A'
.71=27A'
+72,则7ADC=()
D.40°
若7BPC=35°
则7CAP=()
D.65°
P,
B.50
C.55°
(第25题图)
解答下列各题:
(第26题图)
1.△ABC的三边长分别为4、9、X,
⑴求x的取值范围;
⑵求△ABC周长的取值范围;
⑶当x为偶数时,求X;
⑷当△ABC的周长为偶数时,求x;
⑸当△ABC周长是5的倍数时,求x;
⑹若△ABC为等腰三角形,求X。
2.已知△ABC的三条边为整数,且
a252-48-2匕,5=0,求c的值。
3.对于同一平面内的三条直线a、b、c,给出下列五个论断:
(1)a//b;
(2)b丄c;
(3)a丄b;
(4)a//c;
(5)a丄c。
以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个你认为正确的命题。
4.证明:
两条平行直线被第三条直线所截,一组同旁内角的平分线互相垂直。
5.有5根木条,其长度分别为4,8,8,10,12,用其中三根可以组成几种不同形状的三角形?
6.如图,在△ABC中,/A=96°
,延长BC到D,/ABC与/ACM平分线相交于A,/ABC与ZA,CD的平分线相交于A,依此类推,ZA^BC与ZA4CD的平分线相交于A,则ZA的大小是多少?
第3题图
7.在△ABC中,/A=50°
,高BECF所在的直线交于点0,求/B0C勺度数。
&
(1)已知如图(a),在厶ABC中,/C>
ZB,ADLBC于D,AE平分/BAC则/EAD与/B,ZC有何数量关系?
(a)
(2)如图(b),AE平分/BACF为其上一点,且FD丄BC于D,这时/EFD与/B、/C又有何数量关系?
(3)如图(c),AE平分/BACF为AE延长线上一点,FD丄BC于D,这时/AFD与/B/C又有何数量关系?
9.如图,PABC内任意一点,求证:
⑴/BPC>
/A;
⑵/BPC=ZABP+ZA+ZACP
⑶AB+AC>
PB+PC,
10.如图中的几个图形是五角星和它的变形
11.如图已知△ABC中,/B和/C外角平分线相交于点P。
(1)若/ABC=30°
/ACB=70°
求/BPC度数。
(2)若/ABC=a,/BPC=B,求/ACB度数。
12.AABC是一个三角形的纸片,点D、E分别是△ABC边上的两点。
(1)如果纸片沿直线脚折叠,使点A'
正好落在线段AC上,如图1,此时/A与/BDA的关系是
(2)如果纸片沿直线DE折叠,使点A'
落在△ABC的内部,如图2,试猜想/A和/BDA、/CEA的关系是
(3)如果纸片沿直线DE折叠,使点A落在△ABC的外部,如图3,则此时/A和/BDA、/CEA的关系是,请说明理由。
如图所示,BE、CD交于A点,/C和/E的平分线相交于F。
(1)试求:
/F与/B,ZD有何等量关系?
(2)当/B:
ZD:
ZF=2:
4:
x时,x为多少?
14.若△ABC的三边之长都是整数,周长小于10,则这样的三角形共有几个?
15•有一位同学在数学竞赛辅导书上看到这样一道题:
“已知△ABC的三边长分别是a,b,c。
且a、b、c
的值满足等式|b+c—2a|+(b+c-5)=0,求b的取值在什么范围?
”。
你能解答这道题吗?
16.在△ABC中,/A>
ZB>
ZC,且/A=4/C,求/B的范围。
17.在△ABC中,/A是最大角,/C是最小角,且/A=2/C,求/C的取值范围。
《第13章三角形中的边角关系》练习题答案
1.8,等腰。
2.2。
3.a2。
4
「9:
a
-7
5.2b
—2c。
6.AD=13cmo7.8cm;
8.9
15
9.
(1)6cm或7cm;
(2)cm。
10.
周长〉12。
11
.1。
12
.10厘米或
丝厘米。
3
13.有两个角相等的三角形是等腰三角形;
14.
20°
120°
;
.60,60;
16.2,1;
17.120°
18.60°
19.30°
或120°
;
20.
95°
21
.50°
22.解:
如图,fCEF^Z
CFE+ZC=ZA+ZB+ZC,
•••ZCEF+ZCFE=ZA+ZB=85°
+55°
=140°
又将纸片的一角折叠,使点C落在△ABC内,
•ZC'
EF+ZC'
F=ZCEF+ZCFE=140°
•ZCEC+ZCEC=140°
+140°
=280°
vZ1=20°
•Z2=180°
X2-ZCEC+ZCEC-Z1=360°
—280°
—20°
=60°
故答案为:
60。
23.解:
如图,
vZA=65°
•ZC=180°
—ZA—ZB=180°
—65°
—75°
=40°
又v将三角形纸片的一角折叠,使点C落在△ABC外,
=ZC=40°
而Z3+Z2+Z5+ZC=180°
Z5=Z4+ZC=Z4+40°
Z2=20°
•Z3+20°
+Z4+40°
+40°
=180°
•Z3+Z4=80°
•Z1=180°
—80°
=100°
故答案为100。
24.ZBOG=丄ZAZBOG=90°
—丄ZA;
25.
(1)130°
(2)100°
或80°
26.2;
27.解:
延长BA做PN^ADPF丄BAPMLBC,
设ZPCD=x°
vCP平分ZACD
•ZBCP=ZPCD=x°
PM=PN,
vBP平分ZABC,
•ZABP=ZPBCPF=PN
•PF=PM,
vZAPC=50°
•ZBAP=ZPAC=(x—50)°
••ZABG=ZBCD-ZBAC=2x°
—(x°
—50°
)—(x°
—50°
)=100°
••ZCBF=100
在Rt△PFB和Rt△PMB中,
PA=PAPM=PF,
三、解答下列各题:
1.⑴5vxv13;
⑵18vAABC的周长v26;
⑶当x为偶数时,x=6、8、10、12;
⑷当△ABC的周长为偶数时,x=7、9、11;
⑸当△ABC周长是5的倍数时,x=7、12;
⑹若△ABC为等腰三角形,x=9o
2.a=2,b=1,1:
c-3,则整数c=2。
3.答案不惟一,如果a//b,b_c,那么a_c;
如果b_c,a_b,那么a//c;
如果b_c,a_c,那么a//b等。
4.要画图,写已知、求证、证明。
5.6种(4、&
8;
4、8、10;
10;
8、12;
8、10、12、4、10、12)
6.3°
o
7./BOC=50°
或130°
解:
(1)TAD丄BC,•••/ADC=90°
•/CAD=90°
—/C
•/AE平分/BAC,•/EAC=—/BAC
•••/BAC=180°
—/B—/C
111
丄EAG=丄(180°
-ZB-ZC=90°
—丄/B-/C,
222
•••ZEAD=ZEAC-ZCAD
=90。
—丄ZB-ZC-(90°
-ZC)
=-(ZC-ZB)。
(2)如图(b),过A作AG丄BC于G由
(1)知ZEAG=丄(ZC-ZB)。
、
•/AG丄BC,•/FD丄BC,
•ZAGC=ZFDG=90°
•FD//AG
•ZEFD=ZEAG
•ZEFD=丄(ZC-ZB)。
(3)如图(c),过点A作AGLBC于G,由
(1)知/EAG=—(ZC-ZB)。
•/AGLBC,•/FD丄BC,
•ZAGB=ZFDC=90°
•FD//AB,
•ZAFD=ZEAG
•ZAFD=(ZC-ZB)。
说明:
在处理三角形中角的问题时,有时需要从整体出发进行思考,有时也可以通过适当添加辅助线使未知问题转化成已解决的问题,像本题这种类型的题目,既要看到图形的变化,又要抓住变化中的内在联系。
9.延长BP交AC于Db
⑴ZBPOZPDC>
ZA;
⑵ZBPC=ZPDOZACPZPDC=ZA+ZABP
ZBPC=ZA+ZAB却ZACP
⑶•••AB+AD>
BDb
PD+DC>
PCo
•AB+AD^PD+DC>
BD+PG
•AB+AC>
PB+PC>
10.
(1)180°
(2)无变化。
理由:
ZCADFZB+ZC+ZE=ZCADFZEAD^ZBAC=180°
(3)无变化。
ZCAD^ZB+ZACE^ZD+ZE=ZAC聊ZACE^ZECD=180°
11.解:
(1)/BPC=180
=180
-(ZEBC+ZBCF)=180°
2
--(180
1(180°
-ZABC+180°
-ZACB)
30°
+180°
-70°
=50°
12.解:
(1)ZBDA=2ZA;
根据折叠的性质可知ZDAE=ZA,ZDAE+ZA=ZBDA,故ZBDA=2ZA;
(2)ZBDA+ZCEA=2ZA,
E中,ZA+ZDAE+Z
ADA+ZA'
E=360°
—ZADA
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