常微分方程学习心得体会Word文档格式.docx
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常微分方程课程总结
理学院
组长:
杨文蛟组员:
倪宝珠
数学091班
:
XX1XX129)(XX1XX123)王向魁(XX1XX126)杨历(XX1XX128)党浩(XX1XX117)
XX/6/5
(学号
第一章绪论微分方程的基本概念
(1)常微分方程偏微分方程
微分方程:
凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
常微分方程:
未知函数为一元函数的微分方程。
dydxdydx
?
axy,a为常数
px
?
y?
Q
x?
偏微分方程:
未知函数为多元函数,从而出现偏导数的微分方程。
2?
u?
2?
y?
f
x,y?
4
(2)线性与非线性
一般n阶线性微分方程具有形式:
(等式左面全是一次有理整式)
y
(n)
a1(x)y
(n?
1)
an?
1(x)y?
an(x)y?
f(x).
(3)解和隐式解
微分方程的解:
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.隐式解:
Φ(x,y)=0(4)通解和特解
通解:
微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.)特解:
确定了通解中任意常数以后的解.初始条件:
用来确定任意常数的条件.
初值问题:
求微分方程满足初始条件的解的问题.
(5)积分曲线:
微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。
第二章一阶微分方程的初等解法变量分离方程与变量变换
、变量分离方程
dydx
f(x)?
(y)?
dy
(y)
f(x)dx?
c
、可化为变量分离方程的类型
1.形如
g(
yx
),称为齐次微分方程,令u=
,即y=ux,于是
=x
dudx
+u,代入原方程,变形为x
+u=g(u),整理得
=
g(u)?
u
x
2.形如?
a1x?
b1x?
c1a2x?
b2x?
c2
的方程也可经变量变换化为变量分离方程
(1)
a1a2a1a2a1a2
b1b2b1b2b1b2
c1c2
k(常数),方程化为
=k,有通解y?
kx?
(2)?
k?
情形,令u=a1x?
b2y,这时有
=a2?
b2
ku?
c1u?
是分离变量方程
(3)?
情形,若c1、c2不全为零,方程右端分子、分母都是x、y的一次多项式,因此a1x?
c1=0,
a2x?
b2y?
c2=0,交点(?
?
),令X=x-?
,Y=y-?
,化为a1X?
b1Y?
0,a2X?
b2Y?
0。
则原方程变形
为
dYdX
a1X?
b1Ya2X?
b2Y
=g(
YX
)
线性微分方程与常数变易法
(1)一阶线性微分方程
P(x)y?
Q(x),其中P(x),Q(x)在区间上是x的连续函数。
若Q(x)=0,则变为
P(x)y,
称为一阶齐次线性微分方程,若Q(x)?
0,则称为一阶非齐次线性微分方程。
(2)
P(x)y是变量分离方程,解为y?
ce?
P(x)dx
(c是任意常数)。
(3)常数变异法,令y?
c(x)e?
,微分之,得到
P(x)dxdc(x)?
P(x)dx
e?
c(x)P(x)e?
代入原方程得到新方程,解得dx
c(x)?
P(x)dx?
Q(x)edx?
c?
P(x)dx?
得到通解y?
e?
(4)伯努利微分方程
dzdx
Q(x)y
n
n
令z?
y
1?
,从而?
(?
n)y
,均代入原方程得到
(1?
n)P(x)z?
n)Q(x),这是线性微分方程。
恰当微分方程与积分因子
恰当微分方程
(1)简单二元函数的全微分:
ydx?
xdy?
d(xy)
ydx?
xdy
2
d(
xy
)yx
ydx?
xdy
d()yx
d(ln)
xdyx?
d(lnarctan
12
d(ln
x?
yx?
积分因子
M?
N?
x
(x),积分因子?
(x)dx
。
一阶隐式微分方程与参数表示
(1)形如y?
f(x,
),
引入参数?
p,原方程变为y?
f(x,p),两边对x求导,并以?
p代入,得到p?
fdy?
pdx
,这是关于x,p
的一阶微分方程
(2)形如x?
f(y,
p,原方程变为x?
f(x,p),两边对y求导,并以
dxdy
1p
代入,得到
f?
fdp?
pdy
,这是关于y,p
的一阶微分方程,设求得通解为?
(y,p,c)?
0,则方程通解为?
(3)形如F(x,y?
)=0
3xy?
0
解:
令y?
p?
tx,则由方程得
9(1?
2t)t(1?
t)
3
33
f(y,p)
32
3t1?
t
,从而p?
3t
23
,于是dy?
形如F(y,y?
)dt,积分之,得到(4)
dt?
31?
4t
2(1?
=0
第三章一阶微分方程解的存在定理
解的存在性唯一性定理和逐步逼近法
1.存在性与唯一性定理:
(1)显式一阶微分方程
f(x,y)()
这里f(x,y)是在矩形域:
R:
|x?
x0|?
a,|y?
y0|?
b()上连续。
定理1:
如果函数f(x,y)满足以下条件:
1)在R上连续:
2)在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件,即存在常数L?
0,使对于R上任何一对点(x,y1),(x,y2)均有不等式f(x,y1)?
f(x,y2)?
Ly1?
y2成立,则方程()存在唯一的解y?
(x),在区间|x?
h上连续,而且满足初始条件
(x0)?
y0()
其中h?
min(a,
bM
),M?
maxf(x,y),L称为Lipschitz常数.
x,y?
R
思路:
1)求解初值问题()的解等价于积分方程y?
y0?
的连续解。
2)构造近似解函数列{?
n(x)}
任取一个连续函数?
0(x),使得|?
0(x)?
b,替代上述积分方程右端的
y,得到
xx0
f(x,y)dx
1(x)?
f(x,?
0(x))dx
如果?
0(x),那么?
0(x)是积分方程的解,否则,又用?
1(x)替代积分方程右端的y,得到?
2(x)?
1(x))dx
1(x),那么?
1(x)是积分方程的解,否则,继续进行,得到?
n(x)?
于是得到函数序列{?
n(x)}.
3)函数序列{?
n(x)}在区间[x0?
h,x0?
h]上一致收敛于?
(x),即lim?
(x)
n?
n?
1(x))dx()
存在,对()取极限,得到
lim?
lim
xx0
=y0?
(x))dx
即?
(x)?
(x))dx.
4)?
(x)是积分方程y?
f(x,y)dx在[x0?
h](转载于:
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常微分方程,学习心得体会)上的连续解.
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