第23讲巧用列方程解文档格式.docx
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44+4χ=74+χ
4χ-χ=74-44
χ=10(年)
答:
再过10年,爷爷的年龄是明明的4倍。
做一做:
明明今年8岁,妈妈今年32岁。
多少年前,妈妈的年龄是明明的7倍?
例2、实验小学一个小组的少先队员参加工地搬砖劳动,如果每人搬3块,则还剩5块不能搬走;
如果每人搬4块,则最后一个人就要少搬3块。
这批砖有多少块?
解法1:
设这批砖有χ块,则
(χ-5)÷
3=(χ+3)+4
从而4(χ-5)=3(χ+3)
χ=29(块)
解法2:
设少先队员的人数为y人,则
3y+5=4y-3
y=8
故这批砖有3×
8+5=29(块)
这批砖有29块。
光明小学买回一批图书,如果每班发12本,则少16本;
如果每班发10本,则剩下20本。
这个学校一共有多少个班?
买回图书多少本?
例3、东、西两地相距5400米,甲和乙从东地、丙从西地同时出发,相向而行,甲每分钟行55米,乙每分钟行60米,丙每分钟行70米。
多少分钟后,乙正好走到甲、丙两人之间的中点?
分析如下图,设χ(分)后,甲行到A点,乙行到AC的中点B,丙行到C点。
AB是在χ(分)里乙比甲多走的路程,即(60-55)χ(米);
BC路程是(5400-60χ-70χ)米,可根据AB=BC列出方程。
解设χ(分)后乙正好走到甲与丙两人之间的中点。
根据题意,得
(66-55)χ=5400-70χ-60χ
5χ=5400-130χ
135χ=5400
χ=40(分)
40分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点。
A,B,C三地在一条直线上,A,B两地相距2千米。
甲、乙两人分别从A,B两地同时向C地行走,甲每分钟行35米,乙每分钟行45米,问:
经过多少分钟后B地是甲、乙两人距离之间的中点?
二、培优竞赛·
更上层楼
例4、姐妹二人三年后的年龄之和是26岁,妹妹今年的年龄恰好是姐妹二人年龄之差的2倍。
三年后姐妹二人各是多少岁?
姐妹年龄差不变,抓住这个条件,可迅速理出题中关系。
设姐妹年龄差为χ(岁),则妹妹今年的年龄为2χ(岁),从而姐姐今年的年龄为2χ+χ=3χ(岁)。
三年后,妹妹(2χ+3)(岁),姐姐(3χ+3)(岁)。
根据题意列方程:
(2χ+3)+(3χ+3)=26
5χ+6=26
5χ=20
χ=4
三年后妹妹的年龄为2χ+3=2×
4+3=11(岁)
姐姐的年龄为3χ+3=3×
4+3=15(岁)
解法:
设姐姐今年的年龄为χ(岁),妹妹今年的年龄为y(岁),则二人年龄差(χ-y)的2倍为y,即χ-y=
。
根据题意得:
X+y=20
X-y=
问题变成典型的和差问题,可得
y=(20-
)÷
2
2y=20-
2.5y=20,即=y=8
又χ+y=20,χ+8=20,χ=12。
故在三年后,姐妹二人的年龄分别为12+3=15(岁)和8+3=11(岁)。
三年后姐姐15岁,妹妹11岁。
今年小刚年龄的3倍与小芳年龄的5倍相等,10年后小刚年龄的4倍与小芳年龄的5倍相等。
小刚今年的年龄是多少岁?
例5、有两支同样粗细的蜡烛,第一支5小时燃尽,第二支4小时燃尽。
如果同时点燃这两支蜡烛,并且燃烧的速度不变,那么当第一支蜡烛的长度是每二支蜡烛长度的3倍时,点燃了多少小时?
若设点燃了χ小时,显然是以“第一支的长度是第二支长度的3倍”为等量关系。
但题目中没有具体的长度,这就需要根据燃尽的时间定义长度。
解:
规定1小时燃烧的长度为1个单位长,则第一支是5个单位长,第二支是4个单位长,点燃χ个小时就燃烧了χ个单位长。
由题意有
5-χ=3(4-χ)
2χ=12-5χ=3.5(时)
所以,点燃了3.5小时。
有两支长短相等、粗细不同的蜡烛,粗蜡烛2小时燃尽,细蜡烛1小时燃尽。
如果同时点燃这两支蜡烛,那么当粗蜡烛的长度是细蜡烛长度的2倍时,点燃了多少分钟?
例6、如下图,平行四边形ABCD的周长为75厘米,以BC为底时高是14厘米,以CD为底时高是16厘米,求平行四边形的面积。
常规解法会抓住面积相等这个等量关系来列方程,解答较复杂;
若抓住周长来建立等量关系,问题便能便能迎刃而解。
设平行四边形的面积为χ(厘米2)
=
+
等号两边同时乘以112,得
75×
56=8χ+7χ
χ=280(厘米2)
即平行四边行的面积为280平方厘米。
如下图,△ABC为直角三角形,四边形BEFD为正方形。
已知AB,BC的长度分别是12厘米,20厘米,那么正方形BEFD的面积是多少平方厘米?
三、(选学)决胜总决赛·
勇夺冠军
例7、一台天平的右盘上有若干重量相等的白球,左盘上有若干重量相等的黑球,这时两边平衡。
如果从右盘取走一个白球放于左盘,再从左盘取两个黑球置于右盘,同时给左盘加20克砝码,这时两边也平衡;
如果从右盘移两个白球到左盘,从左盘移一个黑球到右盘,则需再放50克砝码于右盘上,两边才平衡。
白球、黑球每个重多少克?
设白球每个重χ(克),黑球每个重y(克)。
第一次换球时,右盘增加2个黑球,减少1个白球,左盘增加1个白球及20克砝码,减少2个黑球,两边平衡,故有
2y-χ=χ+20-2y
第二次换球时,右盘增加1个黑球及50克砝码,减少2个白球,左盘增加2个白球,减少1个黑球,两边平衡,又有
y+50-2χ=2χ-y
于是,得方程组
2y-x=x-2y+20化简得:
4y-2x=20
Y-2x+50=2x-y2y-4x+50=0
解,得x=20
y=15
白球每个重20千克,黑球每个重15千克。
甲、乙、丙、丁四位同学共有77张画片,如果甲拿出自己画片数的,乙收到与自己的同样多的画片,丙拿出自己画片的,丙拿出自己画片的,丁收到与自己的同样多的画片,那么四位同学的画片就变成一样多。
原来每人各有多少张画片?
巧练习——温故知新
1.今年爷爷78岁,三个孙子的年龄分别是27岁、23岁、16岁,问:
经过几年后爷爷的年龄等于三个孙子的年龄之和?
2.一个自然数与它本身相加、相减所得的和、差、商再相加,结果是1991,那么原来的自然数是多少?
3.五年级举行竞赛,共12道题。
评分标准是:
做对一题得10分,做错一道扣3分,没有做的题得零分。
已知小红得了64分,又知道她有3道没有做,问:
小红做对了多少道题?
4.小阎有一个存钱筒,存放的都是硬币,其中2分硬币比5分硬币多22个,按钱算5分硬币比2分硬币多4角,另外还有36个1分硬币。
小阎的存钱筒里硬币的总值是多少元?
5.甲、乙、丙、丁四位小朋友共有81本书。
如果把他们的书的本数按照甲加2,乙减2,丙乘以2丁除以2计算,则四个中每人所有书的本数相等。
甲、丁原来各有书多少本?
6.甲、乙两们同学原计划每天自学同样的时间,若甲每天增加自学时间半小时,乙每天减少自学时间半小时,则乙自学6天的时间相当于甲自学一天的时间。
甲、乙原定每天自学的时间是多少?
7.某日停电,房间里同时点燃了两支同样长的蜡烛。
两支蜡烛可点燃的时间不同,一支可点燃3小时,另一支可点燃5小时。
当来电时吹灭蜡烛,发现其中一支剩下的长度是另一支剩下长度的3倍,问:
这次停电多长时间?
8.甲、乙两人星期天一起上街买东西,两人身上带的钱共计86元。
在人民商场,甲买一双运动鞋花去了所带钱数的4/9,乙买一件衬衫花去了人民币16元,这样两人身上剩下的钱正好一样多。
甲、乙两人原来各带多少钱?
9.上午8点8分,小明骑自行车从家里出发,8分钟后爸爸骑摩托车追他,在离家4千米的地方追上了他,然后爸爸立刻回家,到家里后又立刻回头追小明,再次追上他的时候,离空恰好是8千米。
这时是几点几分?
10.甲、乙、丙三个车站位于同一条直线上,乙站到甲、丙两站的距离相等。
小明和小强分别从甲、丙两站同时出发相向而行,小明过乙站100米后与小强相遇,然后两人又继续前进;
小明走到丙站立即返回,经过乙站300米又追上小强。
甲、丙两站之间的距离是多少米?
11.大盒放有若干支同样的钢笔,小盒放有若干支同样的圆珠笔,两盒笔的总价值相等。
如果从大盒中取出8支圆珠笔放入小盒,从小盒中取出10支圆珠笔放入大盒,则必须在大盒中添两支同样的钢笔,两盒笔的总价值才相等。
如果从大盒中取出10支钢笔放入小盒,从小盒中取出8支圆珠笔放入大盒,那么大盒内笔的总价比小盒内笔的总价少44元,问:
每支钢笔多少钱?
12.停车场停着10辆汽车,每隔4分钟有一辆汽车开出。
在第一辆汽车开出后2分钟,有一辆汽车开进来。
以后每隔6分钟,有一辆汽车开进来。
开进来的汽车又依次相隔4分钟在原有10辆汽车之后开出。
从第一辆汽车开出后,经过多长时间停车场内没有汽车停留?
13.铁路旁的一条与铁路平行的小路上,有一行人与骑车人同时向南行进,行人速度为3.6千米/时,骑车人速度为10.8千米/时。
这时有一列火车从他们背后开过来,火车通过行人用22秒,通过骑车人用26秒,这列火车的车身长总长是多少?
14.一条船往返于甲、乙两港之间,由甲至乙是顺水行驶,由乙至甲是逆水行驶。
已知船在静水中的速度为8千米/时,平时逆行与顺行所用的时间比为2:
1.某天恰逢暴雨,水流速度为原来的2倍,这条船往返共用9小时。
甲、乙两港相距多少千米?
巧总结
本节我的收获是:
。
不足之处有:
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