届辽宁省沈阳市高三上学期第一次模拟考试数学理试题Word版含答案.docx
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届辽宁省沈阳市高三上学期第一次模拟考试数学理试题Word版含答案
2021届辽宁省沈阳市高三上学期第一次模拟考试
数学(理)试题
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数
A.B.C.D.
2.已知全集,,,则
A.B.
C.D.
3.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图,甲乙两组数
据的平均数分别为、,标准差分别为,则
A.,B.,
C.,D.,
4.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后,剩余
几何体的三视图如图所示,则截去的几何体是
A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱
5.下列命题中真命题的是
A.若为假命题,则,均为假命题;
B.“”是“”的充要条件;
C.命题:
若,则或的逆否命题为:
若或,则;
D.对于实数,,或,则p是q的充分不必要条件.
6.已知,则
A.B.C.D.
7.若实数满足,则的最小值为
A.B.C.D.
8.已知函数是定义在上的奇函数,且函数在上单调递增,则实数的值为
A.B.C.1D.2
9.某次文艺汇演,要将A、B、C、D、E、F这六个不同节目编排成节目单,如下表:
序号
1
2
3
4
5
6
节目
如果A、B两个节目要相邻,且都不排在第3号位置,则节目单上不同的排序方式有
A.192种 B.144种 C.96种 D.72种
10.函数(其中>0,<)的图象如图所示,为了得到
的图象,只需将的图象
A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度
11.设点为双曲线的左焦点,点为右支上一点,点为坐标原点,若是底角为的等腰三角形,则的离心率为
A.B.C.D.
12.已知函数的导函数为,且对任意的实数都有(是自然对数的底数),且,若关于的不等式的解集中恰唯一一个整数,则实数的取值范围是
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知的展开式中,二项式系数和为,各项系数和为,则.
14.已知抛物线的焦点为,点在轴上,线段的中点在抛物线上,则.
15.在正四面体中,其侧面积与底面积之差为,则该正四面体外接球的表面积为.
16.如图,设的内角所对的边分别为,,且.若点是外一点,,则当四边形面积最大值时,.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
已知等差数列的公差为,且关于的不等式的解集为,
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列前项和.
18.(本小题满分12分)
随着移动支付的普及,中国人的生活方式正在悄然发生改变,带智能手机而不带钱包出门,渐渐成为中国人的新习惯.2017年我国的移动支付迅猛增长,据统计某平台2017年移动支付的笔数占总支付笔数的.
(Ⅰ)从该平台的2017年的所有支付中任取10笔,求移动支付笔数的期望和方差;
(Ⅱ)现有500名使用移动支付平台的用户,其中300名是城市用户,200名是农村用户,调查他们2017年个人支付的比例是否达到,得到列联表如下:
个人移动支付比例达到了
个人移动支付比例未达到
合计
城市用户
270
30
300
农村用户
170
30
200
合计
440
60
500
根据上表数据,问是否有的把握认为2017年个人支付比例达到了与该用户是否是城市用户还是农村用户有关?
附:
0.050
0.010
3.841
6.635
19.(本小题满分12分)
在四棱锥中,侧面底面,底面为直角梯形,,,,,,分别为,的中点.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
20.(本小题满分12分)
已知,,点是动点,且直线和直线的斜率之积为.
(Ⅰ)求动点的轨迹方程;
(Ⅱ)设直线与(Ⅰ)中轨迹相切于点,与直线相交于点,且,求证:
.
21.(本小题满分12分)
已知函数,曲线在点处的切线方程为
(1)求的值;
(2)证明:
.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(10分)【选修4-4:
坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中,曲线的方程是:
,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)设过原点的直线与曲线交于,两点,且,求直线的斜率.
23.(10分)【选修4-5:
不等式选讲】
已知函数,不等式的解集为.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)若不等式的解集为,求实数的取值范围.
2021届辽宁省沈阳市高三上学期第一次模拟考试
数学(理)试题参考答案
一、选择题
1.D2.B3.C4.B5.D6.C7.C8.A9.B10.C11.A12.B
二、填空题
13.214.315.16.
三、解答题
17.解:
(1)由题意,得解得┄┄┄┄┄┄4分
故数列的通项公式为,即.┄┄┄┄┄┄6分
(2)据
(1)求解知,所以,┄┄┄┄┄┄8分
所以
┄┄┄┄┄┄12分
18.解:
(Ⅰ)设移动支付笔数为,则,┄┄┄┄┄┄2分
所以.┄┄┄┄┄┄6分
(Ⅱ)因为,┄
┄┄┄┄10分
所以没有95%的把握认为2017年个人移动支付比例达到了80%与该用户是城市用户还是农村用户有关.┄┄┄┄12分
19.
(1)证明:
连接交于,并连接,,
,,为中点,,且,
四边形为平行四边形,┄┄┄┄┄┄2分
为中点,又为中点,
,┄┄┄┄┄┄4分
平面,平面,平面.┄┄┄┄┄┄6分
(2)(法一)由为正方形可得,.
取中点,连,,,侧面底面,且交于,,面,又,为二面角的平面角
┄┄┄┄┄┄9分
又,,,
,所以二面角的余弦值为.┄┄┄┄┄┄12分
(法二)由题意可知面,,如图所示,以为原点,、、分别为、、建立直角坐标系,则,,,.┄┄┄┄┄┄7分
平面法向量可取:
┄┄┄┄┄┄8分
平面中,设法向量为,则
取┄┄┄┄┄┄10分
,所以二面角的余弦值为
┄┄┄┄┄┄12分
20.解:
(1)设,则依题意得,又,,所以有
,
整理得,即为所求轨迹方程.┄┄┄┄┄┄5分
(2)设直线:
,与联立得
,即,
依题意,即,┄┄┄┄┄┄8分
∴,得,
∴,而,得,又,
┄┄┄┄┄┄10分
又,则.知,
即.┄┄┄┄┄┄12分
21.
(1)解:
,由题意有,解得
┄┄┄┄┄┄4分
(2)证明:
(方法一)由
(1)知,.设
则只需证明
,设
则,在上单调递增
,
,使得┄┄┄┄┄┄7分
且当时,,当时,
当时,,单调递减
当时,,单调递增┄┄┄┄┄┄8分
,由,得,
,┄┄┄┄┄┄10分
设,,
当时,,在单调递减,
,因此
┄┄┄┄┄┄12分
(方法二)先证当时,,即证
设,则,且
,在单调递增,
在单调递增,则当时,
┄┄┄┄┄┄8分
(也可直接分析显然成立)
再证
设,则,令,得
且当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
,即
又,┄┄┄┄┄┄12分
法三:
要证不等式等价于
令,,分别求最值.
22.解:
(1)曲线:
,即,
将,代入得,曲线的极坐标方程为.
┄┄┄┄┄┄5分
(2)法1:
由圆的弦长公式及,得圆心到直线距离,
如图,在中,易得,可知直线的斜率为.
┄┄┄┄┄┄10分
法2:
设直线:
(为参数),代入中得
,整理得,
由得,即,
解得,从而得直线的斜率为.┄┄┄┄┄┄10分
法3:
设直线:
,代入中得
,即,
由得,即,
解得直线的斜率为.┄┄┄┄┄┄10分
法4:
设直线:
,则圆心到直线的距离为,
由圆的弦长公式及,得圆心到直线距离,
所以,解得直线的斜率为.┄┄┄┄┄┄10分
23.解:
(Ⅰ)由知,而的解集为,所以.
┄┄┄┄┄┄5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,即的解集为,
令,则,
所以,故.┄┄┄┄┄┄10分
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