第15章电磁场基本理论Word文件下载.docx
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l|dt
一步揭示了感应电动势对应的非静电场强是由变化的磁场产生的涡旋电场的场强。
、感应电场(涡旋电场)麦克斯韦假设
■:
E非dl旦SSBeBdS表明感应电场是有旋场。
L非SftSftB
1、麦克斯韦假设:
不论有无导体或导体回路,变化的磁场都将在其周围空间激发一种具有闭合电场线的电场。
(1)变化的磁场激发的电场,称为感应电场(涡旋电场)
(2)感应电场对导体中电荷的有力的作用,感应电场力即为对应感生电动势的非静电力。
四、涡旋电场强度及感生电动势计算
例15-1:
如图15-1所示,均匀磁场B被局限在半径为R的圆筒内,B与筒轴平行,dB0,求筒内外E涡二?
dt
解:
根据磁场分布的对称性,可知,变化磁场产生的涡旋电场,其闭合的电力线是一系
列同心圆周,圆心在圆筒的轴线处
(1)筒内P点E涡二?
取过P点电力线为闭合回路丨,绕行方向取为顺时针,可知
dl=-^dt
E涡方向如上图所示,即电力线与l绕向相反(实际上,用楞次定律可方便地直接判出电力线的绕行方向)。
(2)筒外Q点E涡二?
③E涡方向可用楞次定律判断。
T
dBT
④回路无导体时,只要d-^0,则E涡=0
例15-2:
均匀磁场B‘被限制在半径为R的圆筒内,B与筒轴平行,哽■0。
回路abcdadt
中ad、bc均在半径方向上,ab,dc均为圆弧,半径分别为r、r'
、二已知。
求该回路感生电动势。
根据磁场分布的对称性,可知,变化磁场产生的涡旋电场的电力线示是一系列同心圆,圆心为Q
<方法一>用■:
i=[E
涡dI解取abcda为绕行方向,
TTTT
dl+
坷=涡dl=丘E涡
■■在be、da上,dl垂直于E
二E涡d「-0
二;
i=,E涡dl+
Lab
TT
be
TT—?
E涡dl+[dE涡
涡。
cd
cdE涡d1
=[bE涡dl込0「+匸恳
r1dB
=—r「dl-
02dt
=1rdBrdl-
2dt0
RR2dBdl02rdt呕r'
dl2rdt0
dB
=1仝
2dt
=1v(r2_R2)
i0-;
i为逆时针方向。
<方法二>用•--解
通过回路l的磁通量等于阴影面积磁通量
门二BS=BS=B(R2r
22
亠d①1fl/2八dB
q(r-R)——
dt2dt
「:
:
0■;
i逆时针方向。
2)
d
lcos二
R2dB
2rdt
r
图15-2
T—
-E涡垂直于dl
讨论:
在半径方位上不产生电动势,应用:
涡电流现象。
Swf:
15-1-3涡电流的热效应15-1-4用涡电流加热金属电极15-1-5电磁炉
15-1-6电磁阻尼115-1-7电磁阻尼2
15-2位移电流全电流定律
法拉第电磁感应定律发现后,麦克斯韦为了解释感生电动势的产生,提出了变化的磁场产生电场的假说,麦克斯韦又认为电场和磁场具有对称性,变化的磁场既然能激发
电场,变化的电场也必然能激发磁场。
就其产生磁场来说,变化的电场与一电流等效,这个等效电流被称为位移电流。
下面介绍有关位移电流的概念。
、问题的提出
对于稳恒电流,有.Hd\\I,对于非稳恒电流,此式是否成立?
在讨论此问题
\内
之前,先说一下电流的连续性问题。
在一个不含电容器的闭合电路中,传导电流是连续的,即在任一时刻,通过导体上某一截面的电流等于通过任何其他截面的电流。
但在含电容器的电路中,情况就不同了,无论是电容器充电还是放电,传导电流都不能在电容器的两极间通过,这时电流就不连续了。
如图15-3所示,在电容器充电过程中,电路中I随时间改变,是非平衡的。
现在在
对S而言,有-Hd\-I,对S2而言,有-\Hd=0。
上述积分应相等,.••出现了矛盾。
故在非平衡电流下,安培定律图10-3d^ZI不成立,必然要找新的规律。
矛盾的根源在于传导电流在电容器极板间中断了,因而整个电路传导电流是不连续的,虽然电容器极板上积累的电荷不能跨越极板而形成传导电流,但它在极板间产生了电场,下面研究这个电场如何随时间变化。
二、位移电流的假设Swf:
15-2-2位移电流假设
如图15-3所示,设某一时刻A板上有电荷+q,面密度为+匚,B板上有电荷-q电荷面密度为一二。
充电时,则导线中传导电流为I,
I二屯二埜口(s为极板面积)
dtdt
传导电流密度为(大小)j=-
在极板间:
I二j=0(电流不连续)
我们知道,充电中二是变化的。
•••D「丁和门=DS(电位移通量)也是随时间变化的,它的变化率为
dD_dcr
~d^=~dt
d①d(SD)d(口S)
♦dtdtdt
从上述方程看出,极板间电通量随时间的变化率在数值上等于导线内传导电流;
极
板间电位移随时间变化等于导线内传导电流密度,并且进一步分析知j和竺同向,.
dtdDd①
可设想dD和d分别表示某种电流密度和电流,能把极板A、B间中断的电流接下来,
构成电流的连续性。
于是,麦克斯韦引进了位移电流假设。
d「e
可见,上面出现的矛盾能够解决了,即前面二个积分相等了
注意:
位移电流和传导电流的关系
①共同点:
都能产生磁场
②不同点:
位移电流是变化电场产生的(不表示有电何疋向运动,只表示电场变化),不产生焦尔热;
传导电流是电何的宏观定向运动产生的,产生焦尔热。
三、安培环路定理的普遍形式
如果电流中同时存在传导电流与位移电流,那么安培环路定理可表示为
-jd:
'
J
•Hdl「IId「ID
1ii内dt
即■:
Hdl八IdD(15-5)
1i内dt
式(15-3)称为安培环路定理。
该式右边第一项为传导电流对磁场贡献,第二项为位移电流(既变化电场)对磁场的贡献。
它们产生的磁场都来源于电场。
麦克斯韦位移电流假设的根源就是变化的电场激发磁场。
安培环路定理普遍适用。
15-3麦克斯韦方程组
英国伟大的科学家麦克斯韦在总结前人得到的实验规律的基础上,以发非凡的智慧,大胆地提出了“变化磁场产生电场”和“位移电流”的假设。
把静电场和静磁场以
及电磁感应规律中的核心部分推广到由随时间变化的电荷、电流所产生的变化的电磁场,高度概括为具有优美数学形式的4个方程,我们称为麦克斯韦方程组。
在一般情况下,电场可能包括静电场和涡旋电场,
二E=E静-E涡
I"
"
I"
亠"
亠d①md1-cB-
EdlE静dlE涡dl二iE涡dlmBdsds
l|$dtdtLsct
同理,在一般情况下,磁场既包括传导电流产生的磁场也包括位移电流产生的磁场,即
--D
•Hdl八ID
一般情况下,电磁规律可由下面四个方程来描述
厂--
qD,ds=无q念s内
匸.■d①m
(15-6)
■-Bds=0
s
上面四个方程称为麦克斯韦方程组(积分形式)。
麦克斯韦方程组是电磁场的普遍规律,它不仅可以解释当时存在的一切电磁现象,
而且从麦克斯韦方程组很容易导出电磁场所满足的波动方程,从而麦克斯韦预言了电磁
波的存在。
而且从波动方程得到的电磁波的速度恰好为真空中的光速,进而麦克斯韦大胆预言了光波就是电磁波。
麦克斯韦电磁理论的建立是物理学史上的一个伟大的创举,爱因斯坦称赞它是“自牛顿以来物理上经历的最深刻、最有成果的一次真正观念上的变革”它开辟了无线电时代的新纪元,对科学技术和人类文明的发展起到了不可估量的作用。
例15-3:
有平行板电容器,由半径为R的两块圆形极板构成,用长直导线电流给它充电,
使极板间电场强度增加率为住,求距离极板中心连线r处的磁场强度
(1)r■:
R;
(2)
忽略电容边缘效应,极板间电场可看作局限在半径为R内的均匀电场,由对称性可知,变化电场产生的磁场其磁力线是以极板对称轴上点为圆心的一系列圆周
(1)r:
:
R取半径为r的磁力线为绕行回路l,绕行方向同磁力线方向。
由全电流环流定
--d®
D
■HdlfID
Hdl二虹讣
1dt
■:
HdlHdlcos0“dl=H2二r
iii
时d=D・S=DScosO=「:
r>
0E
小:
工2dE2dE
r;
0H2二r-:
0——
dtdtdt
1dE1dE
可有H°
rB=0i-0r
2dt2dt
(2)rR
取半径为r的磁力线为回路,绕行方向同磁力线方向,由
--D
Hdlb
ldt
H2二r=dbS丨-d二R2;
0EiiR2;
0匹
B=%H=R0;
图15-4
15-4:
从公式证明平行板电容器与球形电容器两极板间的位移电流均为"
呼,其
中c为电容,v为板间电压。
证:
(1)平行板电容器
I厂仏」bsl/Q/q/CvIcWdtdtdt
(2)球形电容器
cQ
D2
dtqdt
jd
4二r
_坐_g_q__dtdt|-4:
r24二r
Id
dcvcdv
■>
;
=T
2
dt4rdt
sjddsh;
jdds=jdsds=jd4「:
r2
dQ1
dt4:
例15-5:
平行板电容器的正方形极板边长为0.3m,当放电电流为1.0A时,忽略边缘效应,
(1)
(2)
(3)
(1)Id
求:
两极板上电荷面密度随时间变化率;
通过极板中如图15-5所示的正方形回路abcda区间的位移电流大小;
环绕此正方形回路的[Bdl的大小。
dDbs】」is竺
d二1,1.0
Id2
dtS0.32
=11.1cs'
m2
Id_.jddS-jdsabcd
(2)sabcd
=11.10.1
(3)■Bdl二?
abcda
sabcddt
=0.111(A)
aHdadl"
dFWS)
图15-5
aBdad^J0:
二10'
0."
仁仁910gm)
15-4电磁波简介
按照麦克斯韦电磁场理论,变化的电场在其周围会激发涡旋磁场,变化的磁场在其周围会激发涡旋电场,这样变化的电场和变化的磁场相互连续激发,在空间交替扩散,就形成由近及远传播的电磁波。
、电磁波的形成swf:
15-4-1电磁波的产生15-4-7变化电场激发的磁场的方向
变化的电场产生变化的磁场,变化的磁场产生变化的电场
、电磁波的波动方程
设电磁波在无限大均匀介质中传播,介质中无订,jo即‘0=0,jo=0则有,
▽D=0-
-B'
、E=
-戲
VB=0-
„-cD
H=a
P亠亠
代入上式,消去D和H得:
PE=0
▽B=0
—
《可xB=屮
然后进行有关矢量运算可得到电场和磁场满足的方程:
在直角坐标系中,上述方程可写为:
二E.二E二E1:
2e
222
x:
y:
z
传播速度
、磁波的性质
研究表明,电磁波的性质主要有如下几点:
1、如图15-6所示,电磁波是横波,也就是电磁波强度E与磁场强度H的振动方向与电磁波的传播方向
(单位矢量)垂直,即:
E_k,H_k。
2、电场强度E与磁场强度H垂直,即E_Ho
3、E与H随时间的变化是同步的(以后将介绍这种情况称为同位相),并且电磁波的传播方向k就是EH的方向。
图15-6示意了平面电磁波某一时刻的波形情况。
4、E与H幅值成比例,令Eo,Ho代表E与H的幅值,理论计算表明,E。
和H。
的关系为:
.;
o;
rEo二"
o"
rHo
5、电磁波的传播速度,计算表明,电磁波在介质只传播速度的大小为:
1
v=.
.;
oJoS
如果在真空中传播,;
r="
r-1,电磁波的速度为:
c=1拓3汇1。
8m/s
即真空中电磁波的传播速度,正好等于光在真空中的传播首都。
麦克斯韦根据这一事实,预言光波就是一种电磁波。
1886年赫兹便从实验上证实了电磁波的存在。
15-4-2赫兹实验115-4-3赫兹实验2四、电磁振荡
电磁场的周期性的变化称为电磁振荡。
15-4-4电磁振荡115-4-5电磁振荡215-4-6电磁振荡3
无阻尼自由电磁振荡电路是由一个已充电的电容器和一个自感线圈串联而成的LC
回路,如图15-7所示。
设某时刻t,回路中瞬时电流为i,C上的电量为q,磁场和电
场总能不变:
We+Wm=常量
图15-7
LCdt
令「2—贝卩d4■2^0其解为:
q=qmcos(‘t•)
其中im二qm
dqti
iqmSinC,tJ.i=imcos(「t)
dt2
12-11
LC周期”lc频率称为固有周期和固
有频率,只与L,C有关。
五、振荡偶极子辐射的电磁波:
提高电路辐射电磁波的功率的方法:
1频率要足够高(减少L、C值)。
2电路必须开放(电磁场分散到空间)。
振荡电路为一直线,电流在其中往复振荡,两端出现正、负交替的等量异号电荷,此电路称为振荡偶极子。
它能够发射电磁波并向周围空间传播,如图15-8所示。
图15-8
15-4-8LC电路15-4-9RL电路15-4-10开放的LC电路115-4-11开放的LC电路2
六、电磁波谱:
自从用电磁振荡方法产生电磁波,并证明它的性质和光波的性质完全相同以后,人们陆续发现,不仅光波是电磁波,还有X射线、丫射线等也都是电磁波。
所有这些电磁波在本质上完全相同,仅在波长上有差别。
如果按照它们的波长或频率的次序排列成谱,这谱称为电磁波谱。
15-4-12电磁波谱
内容概要
一、理论框架和逻辑关系
麦克斯韦系统地总结了前人在电磁学研究上的全部成就,并在此基础上加以发展,
提出了“涡旋电场”和“位移电流”假设,建立了完整的电磁场理论并预言了电磁波
的存在,揭示了光波和电磁波的统一性。
这是继牛顿力学之后物理学的又一次大综合。
麦克斯韦继承和发展了法拉第提出的场的观点,把电磁现象认为是电磁场的运动。
试图建立既适用于静电场和恒定磁场,也适用于变化的电场和变化的磁场的统一的电磁理论。
麦克斯韦应用场这一观点把前人已经得到的电磁学理论成果总结成下列的方程组
静电场的规律:
底SDdS=q0二V0dV
Edl=0
恒定磁场的规律:
BdS=0
S
.lHdlJo
法拉第电磁感应定律=…
麦克斯韦把静电场的环路定理.lEdl=0推广到普遍情况的思路。
麦克斯韦在分析、寻找感生电动势对应的非静电力时发现,已有的电磁理论从未涉及到感生电动势对应的非静电力的问题。
当然也不能解释感生电动势对应的非静电力是什么。
他认为这是电磁学的新现象。
对于导体不动,磁场随时间变化时产生的感生电动
些dS
Sdt
BdS—
dtdtS
考虑到磁感应强度B是空间位置和时间的函数,上式可写成
汨
dS
Sct
而电动势的定义是;
非dl
如果把上两式结合起来,写成
LE非dl「sdS
汨「
飞进「」
麦克斯韦认为上式应该是变化的电磁场的普遍规律。
于是提出涡旋电场假设:
变化的磁场能够在其周围产生涡旋电场。
变化的磁场在其周围产生涡旋电场的场强Ei的规律是
--cB_
罕Eidl八SdS
S:
t
普遍情况下的电场E等于静电场Es与涡旋电场E的矢量和。
即
EsEi
如果承认涡旋电场假设,普遍情况下的电场E的环路定理为
上式本质上是一个假设
麦克斯韦把恒定磁场的环路定理用LH推广到普遍情况的思路
Si
麦克斯韦考察了下列简单的非稳恒电路:
S2
io
对于任意闭合回路L和以闭合回路L为边界的任一曲面Si,恒定电流的环路定理
WlHdl=io
是成立的。
对于以闭合回路L为边界的另一任意曲面S2,恒定电流的环路定理为
■■
\Hdl=0
L
在非恒定情况沿闭合回路L的线积分丘LHdl必定有唯一确定值。
现在有两个不同的值,这显然是一个矛盾。
这说明,恒定磁场的环路定理在非恒定情况下是不适用的。
那
_■—■
么,在非恒定情况沿闭合回路L的线积分lHdl等于什么?
已有的电磁学理论不能回答这个问题。
或者说,“在非恒定情况磁场的环路定理应该是什么”这是电磁学的又一个新问题。
为了解决这个问题,麦克斯韦考虑到在导线中有电流,在电容器中没有电流,但有
电场。
考察导线中的电流与以闭合回路L为边界的任意曲面S2上电位移D对时间变化率
的通量—dS在数值上是相等的。
如果把导体中的电流i0与曲面S2上电位移D对时Sct
乳-&
D_
间变化率的通量—dS加起来,即令i=io•VdS,则可以使得对于以闭合回
吧吐Sct
路L为边界的任意曲面(不管是S还是S2)的线积分
WlHdl=i
应该注意:
(1)按已有的电磁学理论,是不能“把导体中的电流io与曲面S2上电位移D
对时间变化率的通量-dS加起来”的。
(2)1,Hdl二i只有对上述最简单的情
七空L
况“成立”。
麦克斯韦把%Hdl=i
推广到普遍情况。
把它当成普遍情况下,电磁场的基本规律之一,这是一个假设。
称为位移电流假设。
上式称为普遍情况的安培环路定理。
上面的分析只能说明提出位移电流假设具有一定的合理性。
wD-cD..cD-
id=SdS称为位移电流,称为位移电流密度;
i=io.SdS称为
SctctSct
■-■
全电流。
由于传导电流io=sj°
dS,所以,安培环路定理可写成
jDHdl二s(jo—)dS
LS瞇
麦克斯韦没有发现静电场的高斯定理
%DdS=(PodV
和恒定磁场的高斯定理SBd=0
在普遍情况下有什么不适用的情况,直接把它们推广到普遍情况。
从而得到
•:
B-
SDdS=v"
oCVlEdl=-s石dS
jD
\BdS=0\Hdl=(jo)dS
S'
LSo:
上面四个方程式称为积分形式的麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程组是电磁场理论的基本假设。
它在电磁场中的地位相当于牛顿运动定律在经典力学中的地位。
麦克斯韦方程组的微分形式是
根据麦克斯韦方程组的微分形式考虑到在真空中的麦克斯韦方程组的微分形式。
B
i;
D
H=j。
一D
ct
\=0、j^0的条件,可得到真空中
„-cB
、E二a
由此可推导出电场强度E和磁感应强度B在真空中的波动方程
£
2Ex*2Eyc2Ee2E
xyz0
-2-2-20-020
xyz;
e2Bf2Byc2b$2b
xyz:
麦克斯韦据此预言电磁波的存在,并得到电磁波的速度
11c3108msJ
J4兀x10’x8.85x10°
c正是当时已知的光在真空中速度,麦克斯韦据此提出光的电磁本性。
根据电磁波的波动方程可以计算出电磁波的传播特性。
1886年德国科学家赫兹实验证实了电磁波的存在。
赫兹在进一步研究中证明电磁波具有干涉、衍射和偏振特性。
1888年赫兹向柏林科学院报告了他的研究结果。
至此,麦克斯韦电磁理论得到验证。
二、本
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- 15 电磁场 基本理论