七年级数学寒假专题代数式Word格式文档下载.docx
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2,可简记为2xy。
2.带分数和字母相乘时,若要省略乘号,须把带分数化成假分数,如:
,记作
,不能写成
,另外,当一个因数是1时,通常省略不写,如1×
a,不能写成1a,而应记作a。
3.代数式中出现除法运算时,一般按照分数的写法来写,如:
s÷
t应记作
,ah÷
2记作
。
4.写代数式的答案时,若是乘、除关系的,单位名称直接写在式子的后面,如:
正方形面积是12a平方厘米,无需加括号;
若是加减关系时,必须把式子用括号括起来,再写单位,如:
三角形的周长是(a+b+c)米。
(三)掌握列代数式的要点
列代数式就是把问题中与数量关系相关的语句,用含有数、字母和运算符号的式子表示出来。
首先弄清问题中的数量关系,如:
和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、增加到、减少到、增加了、减少了等,并把这些语言转化为算式。
其次是弄清问题中的运算顺序,特别是注意括号的运用。
最后要明确列代数式与小学的算术列式类似,所不同的是把数改为表示数的字母来列式。
例1.设甲数为x,用代数式表示乙数
(1)乙数比甲数的2倍小3;
(2)乙数比甲数大16%,
解:
(1)中的甲数转化为“x”,“小”转化为运算符号“-”,先表示甲数的2倍2x,再表示比2x小3的数是2x-3。
(2)中甲数的16%即为:
16%·
x,“大”转化为运算符号“+”,即“x+16%·
x或(1+16%)x。
例2.设甲数为x,乙数为y,用代数式表示
(1)甲乙两数的平方和(即平方的和)。
(2)甲乙两数的和与甲乙两数的差的积。
(1)中就是:
甲数的平
方+乙数的平方,注意先平方后和,即x2+y2。
(2)中就是:
(甲数+乙数)×
(甲数-乙数),注意先算和、差,再相乘,和、差要添括号,即(x+y)(x-y)。
(四)准确求出代数式的值
一般地,把用数值代替代数式里的字母,按照
代数式中指明的运算,计算出的结果,叫做代数式的值,在这个概念中,实际上也指出了求代数式的值的方法,即一是代入、二是计算,当代数式中有多个字母时,代入值不要混淆,式中的同一个字母其值应该是相同的,在进行运算时,既要分清运算的种类,又要注意运算顺序。
某些求代数式的值的题目,没有直接给出代数式中相关字母的值,而是给出某种关系,这时要认真仔细观察题目特征,运用整体代换的方法来进行求值。
例3.若代数式2x+3y+7的值是8,那么4x+6y+10的值是多少?
本题没有给出x、y的值,而是已知2x+3y+7=8,这时易知2x+3y=1,然后再观察4x+6y+10这个代数式,其式中的4x+6y正好是2x+3y的2倍,即4x+6y=2(2x+3y),所以4x+6y=2,此时4x+6y+10的值就是2+10=12了。
(五)会应用代数式解决实际问题
应用数学知识解决实际问题是学习数学的目的,灵活应用代数式,可以解决许多实际问题。
例4.用a米长的篱笆材料,在空地上围成一个绿化场地。
现有两种设计方案:
一种是围成正方形的场地;
另一种是围成圆形的场地。
试问选用哪一种方案,围
成的场地面积较大?
并说明理由。
设S1、S2分别表示围成的正方形场地和圆形场地的面积,则
∵π<4,∴
∴S2>S1,故应选用围成圆形场地的方案,它的面积较大。
例5.暑假里父亲、儿子、女儿准备外出旅行,咨询时了解到,甲旅行社规定:
大人买一张全票,两个孩子的费用可按全票价的一半优惠;
乙旅行社规定:
三人旅行可按团体票计价,即按原价的60%收费。
已知两个旅行社的原价相同,问选择哪个旅行社,能多省钱?
解:
设两个旅行社的原票价为a(a>
0)元,则甲旅行社的收费为a+2×
0.5a=2a(元),乙旅行社的收费为3×
60%a=1.8a(元)。
因为2a>
1.8a,所以选择乙旅行社能多省钱。
(六)在列代数式中培养创新能力
“创新是一个民族的灵魂。
”我们每个中学生都应具有创新意识,在数学学习中创新,就是要对自然界和社会中的数学现象具有好奇心,会从数学的角度发现和提出问题,并加以探索和解决。
例6.给出下列算式:
32-12=8=8×
1,52-32=16=8×
2
72-52=24=8×
3,92-72=32=8×
4
观察上面一系列等式,你能发现什么规律?
用代数式表述这个规律。
分析:
观察可知左边是连续奇数的平方差(大数减小数),右边是8的倍数,其规律可用代数式表述为(2n+1)2-(2n-1)2=8n(n为自然数)。
例7.问题:
你能很快算出19952吗?
为了解决这个问题,我们考察个位数为5的自然数的平方,
任意一个个位数为5的自然数可用代数式表示为10n+5,问题即转化求(10n+5)2的值(n为自然数),试分析n=1,n=2,n=3,…这些简单情况,从中探索其中的规律,并归纳、猜想出结论(在下面横线上填上你的探索结果)。
(1)通过计算,探索规律:
152=225,可写成100×
1×
(1+1)+25,
252=625,可写成100×
2×
(2+1)+25,
352=1225,可写成100×
3×
(3+1)+25,
452=2025,可写成100×
4×
(4+1)+25,
752=5625,可写成_____________。
852=7225,可写成_____________。
……
(2)从第
(1)题的结果,归纳、猜想得:
(10n+5)2=_____________。
(3)根据上面的归纳、猜想,请算出:
19952=______
(1)l00×
7×
(7+1)+25,100×
8×
(8+1)+25;
(2)100n(n+1)+25,n为自然数;
(3)100×
199×
(199+1)+25=398002
5。
本例的实质是先用代数式表示出一般情况,再求特殊情况下代数式值的计算规律,归纳出一般性结论,再求这个一般性结论中代数式的值,体现了“特殊——一般——特殊”的思想方法,这正是用字母代数(从特殊到一般)后再求代数式的值(从一般到特殊)这种思想方法的反复应用。
发现是创新的前提,以上两例要求同学们从具体、特殊的事例中探究其存在的规律,并把潜藏在现象中的本质挖掘出来,并用代数式加以表示。
规律被找出,即是完成了一个创新过程。
四.思想方法
1.代数思想:
用字母表示数,并让字母和数一样参加运算是数学中重要的思想方法.在解决一些实际问题时,通过用字母表示某些量进行计算,可使运算非常简捷。
2.分类思想:
字
母可以表示正数,也可以表示负数或0,在具体的求值中,如果没有明确字母的具体取值,则需要对字母的取值分类讨论。
在求代数式的值或比较代数式的值的大小时,应注意分类思想的应用。
3.整体思想:
代数式的化简,有时可以从整体的角度思考问题,即将局部放在整体中去观察分析探究问题的解决方法,从而使问题得以简捷巧妙解决。
在代数式的化简中应注意这种数学思想的应用。
【典型例题】
1.列代数式
和列代数式有关的题目主要包含以下几点:
①根据实际问题列代数式;
②用代数式解决实际问题;
③已知代数式,从实际问题角度出发说出代数式所能表示的实际问题。
解决问题的关键是理解题目中的数量关系,注意一些公式的应用。
例1.如图1,某长方形广场的四个角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地,若圆形的半径为r米,长方形的长为a米,宽为b米.则空地面积用代数式表示为_____。
图1
分析:
本题是一道数形结合题,要用代数式表示空地的面积,观察图形可知:
空地的面积等于长方形的面积减去四个四分之一圆的面积,也就是长方形的面积减去一个半径为r米的圆的面积.因为长方形的面积为ab平方米,圆的面积为
平方米,所以空地的面积为(ab-
)平方米。
解:
(ab-
)
评注:
根据图形中的数量关系列代数式也是一个重要类型,解决此类问题需要了解图形的一些特征,如长方形的面积的公式,圆的面积的公式等。
例2.代数式
的两个实际意义是:
,。
此类问题的答案较多,只要能用代数式表达出实际意义即可.如:
大正方形的边长为m,小正方形的边长为n,大正方形与小正方形的面积差是多少.再如,摩托车每辆m元,自行车每辆n元,m辆摩托车比n辆自行车贵多少钱
解:
略
评注:
说出代数式的实际意义,一定要注意所写的实际问题要有意义.能够和代数式相吻合。
2.代数式的化简
与代数式的化简有关的题目主要涉及先去括号,再合并同类项.解决问题的关键是正确使用去括号法则以及合并同类项的法则,并注意乘法分配律的使用。
例3.化简(8xy-3x2)-5xy-3(xy-2x2+3)
分析:
本题是一道综合化简题,首先要根据去括号法则去括号,然后再根据合并同类项的法则合并同类项。
(8xy-3x2)-5xy-3(xy-2x2+3)
=8xy-3x2-5xy-3xy+6x2-9
=3x2-9.
使
用乘法分配律注意不要漏乘括号内的项,括号前是“-”时,去括号应注意变号。
例4.化简3(x-y)-2(x+y)-5(x-y)+4(x+y)+3(x-y)
此题的一般解法是去括号,然后合并同类项,若按常规的方法,需去5个括号,计算较繁琐,若将(x+y),(x-y)各看作一整体,进行整体合并,则化简快捷方便。
解:
3(x-y)-2(x+y)-5(x-y)+4(x+y)+3(x-y)
=3(x-y)-5(x-y)+3(x-y)-2(x+y)+4(x+y)
整体思想是一种重要的数学思想,解题时应注意这种思想的应用。
3.代数式的求值
和求代数式的值有关的题目主要分两类:
一是直接代入求值,这类问题比较简单,常以选择或填空题的形式出现;
二是先化简,后求值.这类问题比较常见。
例5.先化简,再计算:
(3a2-ab+7)-(5ab-4a2+7),其中a=2,b=
本题主要考查去括号及合并同类项.解决问题的基本步骤是先去括号,后合并同类项.去括号时,应注意去括号法则的应用。
(3a2-ab+7)-(5ab-4a2+7)=3a2-ab+7-5ab+4a2-7=7a2-6ab
当a=2,b=
时,原式=28-4=24.
化简求值,一定要保证化简的正确性,否则,代入求值做的就是无用功了。
4.探索规律
探索规律型问题是考试的一个重点,常见的探索规律型问题与图案中的规律探索有关.解决规律探索问题,一般可采用归纳猜想的方法求解,然后进行特殊验证。
例6.如图2,用灰白两色正方形瓷砖铺设地面,第
个图案中白色瓷砖的块数为_________块.
图2
观察第1个图案中白色瓷砖的块数为1+3+1=5块,第2个图案中白色瓷砖的块数为2+4+2=8块,第3个图案中白色瓷砖的块数为3+5+3=11块,依此规律可以得到第n个图案中白色瓷砖的块数为n+(n+2)+n=3n+2块。
3n+2
探索规律型问题的解法有时比较多,可以从不同的角度思考问题,但结果都是一样的。
本题也可以从5,8,11,…数字之间的关系发现规律。
5.探究说理题
探究型问题是在代数式化简的基础上,通过对题目的变式提问等方式设计出来的一种题目,解决这类题目的关键还是代数式的化简。
例7.有一道题“先化简,再求值:
17x2-(8x2+5x)-(4x2+x-3)+(-5x2+6x+2006)-3,其中x=2006。
”小芬做题时把“x=2006”错抄成了“x=2060”。
但她计算的结果却是正确的,请你说明这是什么原因?
本题可通过将多项式进行去括号,合并同类项再进行说理。
实际上,当x=2006和x=2060时,多项式的值不变,说明合并同类项后,结果与x无关。
17x2-(8x2+5x)-(4x2+x-3)+(-5x2+6x+2006)-3
=17x2-8x2-5x-4x2-x+3-5x2+6x+2006-3
=(17-8-4-5)x2+(-5-1+6)x+(3+2006-3)
=2006
由计算的结果不含字母x,可知此多项式的值与字母x的取值无关.所以小芬将x=2006错抄成x=2060时,计算的结果不变。
与代数式有关的说理型问题,主要是通过代数式的化简进行说理的.正确的化简是说理的基础。
6.用字母表示数的实际应用
对于有关的实际问题,可以通过用字母表示数,得到有关代数式,通过代数式的化简来解决问题。
例8.扑克牌游戏:
小明背对小亮,让小亮按下列四个步骤操作:
第一步:
分发左、中、右三堆牌,每堆牌不少于两张,且各堆牌现有的张数相同;
第二步:
从左边一堆拿出两张,放入中间一堆;
第三步:
从右边一堆拿出一张,放入中间一堆;
第四步:
左边一堆有几张牌,就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆.
这时,小明准确说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌现有的张数是张。
因为第一步各堆牌的张数相同,所以可设为n张,则第二步后左边一堆为(n-2)张,中间一堆为(n+2)张;
第三步后,中间有(n+2+1)张;
第四步,中间一堆为(n+3)-(n-2)=5(张)。
5
本题是字母表示数的思想方法应用的重要展现,在解决实际问题时注意对这种思想方法的应用。
【模拟试题】
(答题时间:
70分钟)
考点1:
列代数式
一.选择题
1.下面的代数式中,书写表达符合要求的是().
A.ab3B.
C.4
xy2D.x+y克
2.如果a是有理数,则下面的代数式始终有意义的是().
A.
B.
C.
D.
3.用代数式表示“x的2倍与y的平方的差”正确的是().
A.(2x-y)2B.x-2y2C.2x2-y2D.2x-y2
4.a是一个两位数,b是一个一位数,如果把b放在a的左边组成一个三位数,则这个三位数表示为().
A.100b+aB.100a+bC.10b+aD.10a+b
5.从山顶到山脚共s千米,某人上山用了a小时,下山用了b小时,那么这人在往返过程中的平均速度表示为().
A.
千米/小时B.
千米/小时
C.
(
+
)千米/小时D.(
)千米/小时
二.填空题
6.两个数之和为100,其中一个用x表示,那么另一个数表示为______,它们的积表示为___________。
7.体育用品商店的老板进了某种型号的篮球10个,另一种型号
的足球20个,已知这种篮球的进价是a元/个,足球的进价是b元/个,那么老板共用去了________元钱。
8.小明家去年总收入为x元,今年的总收入比去年提高了20%,则今年总收入是________元。
9.如图1,阴影部分的面积表示为__________。
10.一棵小树苗,刚栽下时高1.5米,以后每年长0.6米,则n年后树高为________米。
三.解答题
11.将左边的语句与右边的式子用线连接起来。
①a与b的平方和A.
②a与b和的倒数B.a2-b2
③a与b的差的平方C.(a+b)2
④a与b的和的平方D.
⑤a与b的倒数的和E.a2+b2
⑥a与b的平方差F.(a-b)2
12.某生活小区有一块长为am,宽为bm的长方形绿地,现打算在绿地中建两条小径,如图2所示,那么建好小径后,陆地的面积用代数式表示为多少?
13.某一个电影院内共有50排座位,第一排座位有25个,以后每一排比它的前一排多一个座位。
(1)请求出第10排有多少个座位?
(2)请表示出第n排(n是不超过50的正整数)的座位数。
考点2:
求代数式的值
1.已知x的相反数是-2,y的倒数是2,那么代数式x2+y2+2xy的值是().
A.0B.16C.
D.
2.下列说法:
①代数式a2+b2的值一定是非负数,②代数式(a+b)2的值一定是非负数;
③a2-b2的值一定是非负数,其中正确的有().
A.①②B.①③C.②③D.①②③
3.当x分别等于1和-1时,多项式x4+2x2+5的值( ).
A.互为相反数B.互为倒数
C.相等D.异号
4.已知|x|=5,|y|=4,且x+y<0,那么xy的值等于().
A.20B.-20C.20或-20D.以上答案都不对
5.已知y=ax5+bx3+cx,当x=2时,y=100;
则当x=-2时,y的值为().
A.-100B.-98C.-102D.98
二.填空题
6.当代数式3x2-2x-4的值为2时,
的值为_________。
7.小明今年m岁,他爷爷的岁数是他的5倍,那么5年后,爷爷的年龄是______岁。
8.12世纪,数学家斐波拉契提出了有名的“兔子繁殖问题”,经研究得到一列数:
1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,y,z,…,根据你的观察,计算出2y+x-z=____。
9.两个圆的直径之和为10㎝,其中一个圆的半径为r㎝,则另一个圆的周长为__________㎝。
10.已知a+b=10,ab=-11,那么5a+5b-2ab的值为_________。
三.解答题
11.用火柴棒搭了如图3的一些图形。
(1)填表
第n个图形
①
②
③
火柴棒根数
(2)用含有n的代数式表示第n个图形中火柴棒的根数。
12.某商店出售一批水果,最初以每箱a元的价格出售m箱;
后来每箱降价了b元,又售出m箱;
最后剩下的30箱以c元每箱的价格售完。
(1)用代数式表示这批水果共卖了多少元?
(2)如果这批水果每箱的进价为20元,试计算当m=20,a=35,b=7,c=22时,该店共赚了多少元?
考点3:
合并同类项及去括号法则
一.选择题.
1.下列式子中正确的是().
A.3ab-2ba=abB.3xy2-2xy2=1
C.15x+5x3=20x4D.a2+a2=a4
2.下列各组整式中,不是同类项的是().
A.3a2b与-2ba2B.22a3b与22b3a
C.ab2c3与104ab2c3D.-3a2b与23ba2
3.下列各式中去括号正确的是().
A.a-2(2b-3c+d)=a-4b-3c+d
B.a-2(2b-3c+d)=a-2b+3c-d
C.a-2(2b-3c+d)=a-4b+6c+2d
D.a-2(2b-3c+d)=a-4b+6c-2d
4.若多项式3x2+
xy与3y2-3axy+5的和中不再会有xy的项,则a的值为()。
A.1B.-1C.
D.-
5.一个长方形的一边长是2a+3b,另一边长是a+b,则这个长方形的周长是().
A.12a+16bB.6a+8bC.3a+4bD.以上都不对
二.填空题:
6.代数式-5xy2z3的系数是______,次数是________。
7.若-2x
y6与3xy
是同类项,则m=_______,n=_________。
8.代数式a-2b-3c的相反数是_________。
9.若M=-5a+3b,N=2a-7b,则M+N=_________,M-N=__________。
10.在下面的括号内填入适当的式子,使从左到右的变形是正确的:
x-2y+3z-4p=x+(_________)=x-(_________)=x-2(_________)。
11.先化简,再求值:
(8a2-9a)-2(1-5a+4a2),其中a=-2。
12.三角形的一边长为(2x2-3x-4)㎝,另一边长是(x2+x+1)㎝,第三边长是这两边差的2倍,求这个三角形的周长。
考点4:
整式的加减法及应用
一.选择题:
1.一个多项式减去x2—2y2等于x2+y2,则这个多项式是()。
A.2x2-y2B.-2x2-y2C.x2-2y2D.-x2+2y2
2.已知-x+2y=3,则3(x-2y)2-4(x-2y)-1的值为()。
A.24B.25C.38
D.39
3.
与A的和是x,则A表示的式子是().
A.
B.-
C.
D.-
4.如果用a、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字,交换这个两位数的十位数字和个位数字后,得到一个新的两位数,这两个两位数的差一定能够()。
A.被6整除B.被9整除C.被10整除D.被11整除
5.要使(ax2-2xy+y2)-(-x2+bxy+4y2)=5x2—6xy+cy2始终成立,则a、b、c的值分别是()。
A.4,4,3B.-4,4,-3C.4,-4,-3D.4,4,-3
6.某个学习小组中12岁的学生有a人,13岁的学生有b人,14岁的
学生有c人,那么这个小组的平均年龄是_________。
7.一个三位数,十位数字为x,百位数字比十位数字的2倍少3,个位数字比十位数字多2,那么这个三位数表示为_________。
8.如果A=m-n,B=n-p,并且A+B+C=0,则C=_________。
9.图4中阴影部分的面积为_________。
10.已知甲、乙两地
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